+4 =T3+3 3 §1矩阵的初等变换 §2矩阵的積 x3可取任何值,可令x3=c,C为任意常数,方程组的解可记为 3线性方程组的解 §4初等矩阵 C+4 4 +3 3 C 主讲:张少 标题页 从上面的引例可以看出解线性方程组用到三种变换: 44 (i)交换方程次序;⑦→⑦ (i)以不等于0的数乘以某的方程;⑦xk 第6页共41页 (i)一个方程加上另一个方程的k倍.⑦+k④ 上述三种变换是可逆的,因此变换前的方程组与变换后的方程组是同解的, 全屏显示 这三种变换是方程组的同解变换所以解(2)是方程组(1)的全解
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ x1 = x3 + 4 x2 = x3 + 3 x4 = −3 x3➀✒❄Û❾,➀✲x3 = c, c➃❄➾⑦ê, ➄➜⑤✛✮➀P➃ x = x1 x2 x3 x4 = c + 4 c + 3 c −3 = c 1 1 1 0 + 4 3 0 −3 , (2) ❧þ→✛Ú⑦➀➧✇Ñ✮❶✺➄➜⑤❫✔♥➠❈❺: (i) ✂❺➄➜❣❙; i ↔ j (ii) ➧Ø✤✉0✛ê➛➧✱✛➄➜; i × k (iii) ➌❻➄➜❭þ✱➌❻➄➜✛k✕. i + k j þã♥➠❈❺➫➀❴✛, Ï❞❈❺❝✛➄➜⑤❺❈❺✛➄➜⑤➫Ó✮✛, ù♥➠❈❺➫➄➜⑤✛Ó✮❈❺. ↕➧✮(2)➫➄➜⑤(1)✛✜✮
实际上,在变换的过程中,只有方程组的系数和常数进行运算,而与未知 量α无关.上述的同解变換是对增广矩阵B=(Ab)的变换.是把(A|b)= 2-1-112 11-214 §1矩阵的初等变换 变换成 01-110 33线性方程组的解 4-62-24 0001-3 §4初等矩阵 本章总结 36-979 00000 把方程组的三种同解变换移植到矩阵上,就得到矩阵的三种初等变换. 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 主讲:张少 (i)对调两行(对调i,j两行记作n+T) 标题页 (i)以数k≠0乘以某一行中所有的元素(第i行乘以k,记作r;×k) 44 (i)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去(第j行的k倍加到 第i行上,记作1+k) 第7页共41页 只要把定义1中的“行”都换成“列,把r都换成c,即得矩阵的初等列变换的 定义 全屏显示 矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵的初等变换
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➣❙þ, ✸❈❺✛▲➜➙, ➄❦➄➜⑤✛❳êÚ⑦ê❄✶✩➂, ✌❺➍⑧ þ x➹✬.þã✛Ó✮❈❺➫é❖✷Ý✡B = (A|b)✛❈❺. ➫r(A|b) = 2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9 ❈❺↕ 1 1 −2 1 4 0 1 −1 1 0 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 r➄➜⑤✛♥➠Ó✮❈❺↔❻✔Ý✡þ,Ò✚✔Ý✡✛♥➠Ð✤❈❺. ➼➶1 ❡→♥➠❈❺→➃Ý✡✛Ð✤✶❈❺: (i) é◆ü✶(é◆i, jü✶,P❾ri ↔ rj); (ii) ➧êk 6= 0 ➛➧✱➌✶➙↕❦✛✄❷(✶i✶➛➧k, P❾ri × k); (iii) r✱➌✶↕❦✄❷✛k✕❭✔✱➌✶é❆✛✄❷þ✖(✶j✶✛k✕❭✔ ✶i✶þ, P❾ri + krj). ➄❻r➼➶1➙✛“✶”Ñ❺↕“✎”, rrÑ❺↕c, ❂✚Ý✡✛Ð✤✎❈❺✛ ➼➶. Ý✡✛Ð✤✶❈❺ÚÐ✤✎❈❺Ú→Ý✡✛Ð✤❈❺
三种初等变换是可逆的,且其逆变换是冋一类型的初等变换:逆变换rφ r;的逆变换还是;ωr;变换r;ⅹk的逆变换是r×l;变换r;+kr;的逆变 换为r;+(-k)r 定义若矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A和矩阵B等价, §1矩阵的初等变换 记作A~B §2矩阵的秋 33线性方程组的解 矩阵之间的等价关系具有下列性质(任何等价关系都具有下面三个性质) §4初等矩阵 本章总结 1.反身性A~A; 2.对称性A~B→B~A 主讲:张少 3.传递性A~B,B~C=→A 标题页 所有与A等价的矩阵组成一个集合,称为一个等价类. 44 看课本P74,由引例知增广矩阵B经一系列初等行变换能变换成B4 2 第8页共41页 14 01-110 B 0001-3 B 4-62-24 全屏显示 6-979 00000 化简到B4的这种由0组成台阶的形式称为行阶梯形矩阵
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥➠Ð✤❈❺➫➀❴✛, ❹Ù❴❈❺➫Ó➌❛✳✛Ð✤❈❺: ❴❈❺ri ↔ rj✛❴❈❺❸➫ri ↔ rj ; ❈❺ri × k✛❴❈❺➫ri × 1 k ; ❈❺ri + krj✛❴❈ ❺➃ri + (−k)rj . ➼➶ ❡Ý✡A➨▲❦⑩❣Ð✤❈❺❈↕Ý✡B, Ò→Ý✡AÚÝ✡B✤❞, P❾A ∼ B. Ý✡❷♠✛✤❞✬❳ä❦❡✎✺➓(❄Û✤❞✬❳Ñä❦❡→♥❻✺➓): 1. ❻✜✺A ∼ A; 2. é→✺A ∼ B =⇒ B ∼ A 3. ❉✹✺A ∼ B, B ∼ C =⇒ A ∼ C ↕❦❺A✤❞✛Ý✡⑤↕➌❻✽Ü,→➃➌❻✤❞❛. ✇➅✢P.74, ❞Ú⑦⑧❖✷Ý✡B➨➌❳✎Ð✤✶❈❺❯❈❺↕B4. B = 2 −1 −1 1 2 1 1 −2 1 4 4 −6 2 −2 4 3 6 −9 7 9 f 1 1 −2 1 4 0 e1 −1 1 0 0 0 0 e1 −3 0 0 0 0 0 = B4 ③④✔B4✛ù➠❞0⑤↕✑✣✛✴➟→➃✶✣❋✴Ý✡
0-104 B 011-100 B 00011-3 00000 §1矩阵的初等变换 行阶梯矩阵B;还称为行最简形矩阵,其特点:非零行的第一个元素为1,且 §2矩阵的秋 3线性方程组的解 这些元1所在的列的其他元素都为0 §4初等矩阵 B;对应方程组 本章总结 4 3 4 标题页 取x3为自由未知量,令3=c得解 44 C+4 C+3 1 第9页共41页 C 由引例可知,要解线性方程组只须将増广矩阵经初等行变换化成行最简形 全屏显示 矩阵.不难证明,任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯 形矩阵和行最简形矩阵
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ B4 r1−r2 r2−r3 g 1 0 −1 0 4 0 e1 −1 0 0 0 0 0 e1 −3 0 0 0 0 0 = B5 ✶✣❋Ý✡B5❸→➃✶⑩④✴Ý✡, Ù❆✿: ➎✧✶✛✶➌❻✄❷➃1, ❹ ù✡✄1↕✸✛✎✛Ù➛✄❷Ñ➃0. B5é❆➄➜⑤ x1 − x3 = 4 x2 − x3 = 3 x4 = −3 ✒x3➃❣❞➍⑧þ, ✲x3 = c✚✮ x = x1 x2 x3 x4 = c + 4 c + 3 c −3 = c 1 1 1 0 + 4 3 0 −3 , (2) ❞Ú⑦➀⑧, ❻✮❶✺➄➜⑤➄▲ò❖✷Ý✡➨Ð✤✶❈❺③↕✶⑩④✴ Ý✡. Ø❏②➨,❄ÛÝ✡♦➀➧➨▲❦⑩❣Ð✤✶❈❺r➜❈↕✶✣❋ ✴Ý✡Ú✶⑩④✴Ý✡
由行最简形矩阵可以写出方程组的解,同样由方程组的解也可以写出行最 简形矩阵,由此可以断定一个矩阵的行最简形是唯一的.进而行阶梯矩阵 中非零行的行数也是唯一确定的 对于行最简形矩阵再进行初等列变换,可变成形状更简单的矩阵,例如 §1矩阵的初等变换 100 00 §2矩阵的秋 10-104 C3 3线性方程组的解 010|00 §4初等矩阵 01-100 B. 0001-3 001 00 00000 000 00 主讲:张少 矩阵F称为矩阵B的标増形,其特点是:F的左量角是个单位矩阵,其余元 标题页 素全为0 44 对于矩阵Amκn总可以经过初等变换(行变换和列变换)把它化成标准形 第10页共41页 E O F 00 全屏显示 此标准形完全由m,n和η三个数决定的.r就是行阶梯形矩阵中非零行的数 目,在下一节就会介绍这个就是矩阵A的秩 标准形B是A所在等价类中形状最简单的矩阵
天津师范大学 §1 Ý ✡ ✛ Ð ✤ ❈ ❺ §2 Ý ✡ ✛ ➑ §3 ❶ ✺ ➄ ➜ ⑤ ✛ ✮ §4 Ð ✤ Ý ✡ ✢Ù♦✭ ❒ù: Ü✟r ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 41 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❞✶⑩④✴Ý✡➀➧✕Ñ➄➜⑤✛✮, Ó✘❞➄➜⑤✛✮➃➀➧✕Ñ✶⑩ ④✴Ý✡, ❞❞➀➧ä➼➌❻Ý✡✛✶⑩④✴➫➁➌✛. ❄✌✶✣❋Ý✡ ➙➎✧✶✛✶ê➃➫➁➌✭➼✛. é✉✶⑩④✴Ý✡✷❄✶Ð✤✎❈❺, ➀❈↕✴●➁④ü✛Ý✡, ⑦❳: B5 = 1 0 −1 0 4 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 c3↔c4 c4+c1+c2 c5−4c1−3c2+3c ^ 3 1 0 0 | 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 1 | 0 0 − − − + − − 0 0 0 | 0 0 = F Ý✡F→➃Ý✡B✛■❖✴, Ù❆✿➫: F✛❺þ✍➫❻ü➔Ý✡, Ù④✄ ❷✜➃0. é✉Ý✡Am×n, ♦➀➧➨▲Ð✤❈❺(✶❈❺Ú✎❈❺)r➜③↕■❖✴ F = Er O O O ❞■❖✴✑✜❞m, n Úr♥❻êû➼✛. rÒ➫✶✣❋✴Ý✡➙➎✧✶✛ê ✽, ✸❡➌✦Ò➡✵☛ù❻rÒ➫Ý✡A✛➑. ■❖✴B➫A↕✸✤❞❛➙✴●⑩④ü✛Ý✡