数学模型 二、模型参数估计 1、回归系数的最小二乘估计 有n组独立观测值,(x,y1),(x2,y2),…,(xn,yn) 设 =B1+t1+6,=12,n EE1=0,DE1=02且E1E2…,En相互独立 记9=Q(,B)=∑62=∑(-Bb-B1x,) i=1 最小二乘法就是选择B0和B1的估计B0,B1使得 Q(Bo, B)=min @(Bo, Bu) Bo, Bi 2021/2/24
2021/2/24 6 二、模型参数估计 1、回归系数的最小二乘估计 有 n 组独立观测值，（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn） 设 = = = + + = i i 且 ， n 相互独立 i i E D y x i n 0, ..., , 1,2,..., 1 2 2 0 1 记 ( ) = = = = = − − n i i i n i i Q Q y x 1 2 0 1 1 2 0 1 ( , ) 最小二乘法就是选择 0 和 1 的估计 0 ˆ ， 1 ˆ 使得 ) min ( , ) ˆ , ˆ ( 0 1 , 0 1 0 1 Q = Q
(数学模型 Bo=y-BIx ∑(x-x)y,-y) 解得1B xy-xy或B1 DX ∑(x-x) 单中=2x= 2xx=2x! (经验)回归方程为:=B+Bx=y+B1(x-x) 2021/2/24
2021/2/24 7 − − = = − 2 2 1 0 1 ˆ ˆ ˆ x x xy x y y x 解得 其中 = = = = n i i n i i y n x y n x 1 1 1 , 1 ， = = = = n i i i n i i x y n x x y n x 1 1 2 2 1 , 1 . （经验）回归方程为: ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 1 y = + x = y + x − x 或 ( )( ) ( ) = = − − − = n i i n i i i x x x x y y 1 2 1 1 ˆ
(数学模型 2、2的无偏估计 记Q=0B,B)=∑(--Bx)=∑(y1-) 称Q为残差平方和或剩余平方和 a2的无偏估计为G2=Q。/(n-2) 称G2为剩余方差(残差的方差),G2分别与B0、月独立 称为剩余标准差 2021/2/24 返回 8
2021/2/24 8 2、 2 的无偏估计 记 ( ) = = = = − − = − ni ni e i i i i Q Q y x y y 1 1 2 2 0 1 0 1 ( ˆ ) ˆ ˆ ) ˆ , ˆ ( 称 Qe为残差平方和或剩余平方和. 2 的无偏估计 为 ˆ ( 2) 2 e = Qe n − 称 2 ˆ e 为剩余方差（残差的方差）， 2 ˆ e 分别与 0 ˆ 、 1ˆ 独立 。 e ˆ 称为剩余标准差. 返回
数学模型 三、检验、预测与控制 1、回归方程的显著性检验 对回归方程Y=β+B1x的显著性检验,归结为对假设 H:B1=0;H1:B1≠0 进行检验 假设Ho:B1=0被拒绝,则回归显著,认为y与x存在线性关 系,所求的线性回归方程有意义;否则回归不显著,y与ⅹ的关系 不能用一元线性回归模型来描述,所得的回归方程也无意义. 2021/2/24
2021/2/24 9 三、检验、预测与控制 1、回归方程的显著性检验 对回归方程Y x = 0 + 1 的显著性检验，归结为对假设 H0 : 1 = 0;H1 : 1 0 进行检验. 假设 H0 : 1 = 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义
(数学模型 (I)F检验法 U 当H0成立时,F ~F(1,n-2) Q。/(n-2) 其中U=∑(,-y)(回归平方和) 故F>F1a(,n-2),拒绝H0,否则就接受H0 (Ⅱ)t检验法 当H0成立时,T= √L=B ~t(n-2) 故>ta(n-2),拒绝H0,否则就接受H 其中Lx=∑(x1-x)2=∑x2-nx2 2021/2/24
2021/2/24 10 （Ⅰ）F检验法 当 H0 成立时， /( − 2) = Q n U F e ~ F（1，n-2） 其中 ( ) = = − n i i U y y 1 2 ˆ （回归平方和） 故 F > (1, 2) F1− n − ，拒绝 H0 ，否则就接受 H0 . （Ⅱ）t检验法 = = = − = − n i i n i xx i L x x x nx 1 2 2 1 2 其中 ( ) 当 H0 成立时， e Lxx T ˆ ˆ 1 = ~ t（n-2） 故 ( 2) 2 1 − − T t n ，拒绝 H0 ，否则就接受 H0