三个著名变分问等周问题求长度为一定的封闭线，使其所围的面积S最大。远在古希腊时，人们已经知道这个曲线是一个圆周，但这个事实直到变分法确定之后，才得到令人满意的证明。高峰、吴江Y
SEI 高峰、吴江 6 三个著名变分问题 ⚫ 等周问题 ⚫ 求长度为一定的封闭线，使其所围的面积S最大。 远在古希腊时，人们已经知道这个曲线是一个 圆周，但这个事实直到变分法确定之后，才得 到令人满意的证明
变分法是数学分析的一个分支是微分学中处理函数极值问题的扩展积分型泛函求极值的方法适合泛函极值条件的变元不是单个或有限多个数值变量，而是整个变动的曲线或函数，因而它所涉及的问题更加深入和广泛。高峰、吴江Y
SEI 高峰、吴江 7 变分法 ⚫ 是数学分析的一个分支 ⚫ 是微分学中处理函数极值问题的扩展 ⚫ 积分型泛函求极值的方法 ⚫ 适合泛函极值条件的变元不是单个或有限多个 数值变量，而是整个变动的曲线或函数，因而 它所涉及的问题更加深入和广泛
提纲一点历史泛函与函数泛函变分与Euler方程复杂情形最优条件变分的另一种定义小结高峰、吴江Y2
SEI 高峰、吴江 8 提纲 ⚫ 一点历史 ⚫ 泛函与函数 ⚫ 泛函变分与Euler方程 ⚫ 复杂情形最优条件 ⚫ 变分的另一种定义 ⚫ 小结
函数与泛函定义1微分与变分2.距离3.邻区4连续性5.线性6.极值7.高峰、吴江Y2
SEI 高峰、吴江 9 函数与泛函 1. 定义 2. 微分与变分 3. 距离 4. 邻区 5. 连续性 6. 线性 7. 极值
定义函数泛函如果对于变量x的某一变如果对于某一类函数）化域中的每一个x值，y有中的每一个函数y(x)，J均且仅有一个v值与之对应有且仅有一个值与之对应那么变量叫做变量x的函那么变量叫做依赖于函数。数y(x)的泛函。J= Jy(x)I或 J(y)y=f(x)数学语言描述：泛函是一个映射J:D(J)一→K，D(J)CY，Y为向量空间，D(J)为J的域，K为R或C。（曲线空间到实数集的任意映射）S2
SEI 高峰、吴江 10 定义 ⚫ 函数 ⚫ 如果对于变量x的某一变 化域中的每一个x值，y有 且仅有一个y值与之对应， 那么变量y叫做变量x的函 数。 y = f(x） ⚫ 泛函 ⚫ 如果对于某一类函数y() 中的每一个函数y(x)，J均 有且仅有一个值与之对应， 那么变量J叫做依赖于函 数y(x)的泛函。 J = J[y(x)] 或 J(y) 数学语言描述： 泛函是一个映射J:D(J) →K，D(J)Y，Y为向量空间， D(J)为J的域，K为R或C。 （曲线空间到实数集的任意映射）