(2)欠阻尼运动开(0<5<1) .× 稳态焦点 (3)过阻运动开式(>1) 稳定节点 (4)负阻居运动式(-1<5<0) 不稳定焦点
（2）欠阻尼运动形式(0 1) （3）过阻尼运动形式（ 1） （4）负阻尼运动形式（1 0）
(5) 不稳定节点 (6) 鞍点
（ 5 ） 1 （6）
相轨迹的绘制 (1)解析法绘制相轨迹的关键在于找出x和x的关系 用求解微分方程的办法找出x,ⅸ的关系,从而可在相平面上绘制 相轨迹,这种方法称为解析法。解析法分为 a消去参变量t 由氵=f(x,x)直接解出x(1),通过求导得到x()。在这两个解中消去作为 参变量的t,就得到x-x的关系。 例设描述系统的微分方程为+M=0 其中M为常量,已知初始条件x0)=0,x(0)=x。求其相轨迹。 解:=-M,积分有 x=-M(1)再积分一次有 X-X Mt 2 由(1),(2)式消去t有 X-x X M= M
三.相轨迹的绘制 （1）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x 的关系 用求解微分方程的 办法找出 x, x 的关 系，从而 可在相平 面上绘 制 相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为 a.消去参变量t 由 x f ( x, x) 直接解出 x(t) ，通过求导得到 x(t) 。在这两个解中消去作为 参变量的t ，就得到 x x 的关系。 例 设描述系统的微分方程为 x M 0 其中 M 为常量，已知初始条件 x(0) 0, x (0) x 。求其相轨迹。 解： x M ， 积分有 x Mt (1) 再积分一次有 2 2 1 x x Mt (2) 由(1),(2)式消去 t 有 2 ( ) 2 x M x x M=1 M=-1
b.直接积分法 d x dx dx X.X dx 上式可分解为g(x)dt=h(x)dx 则由 Fs()d=丁x) 可找出x-x得关系 在上式中由=-M可有 d x M →xx=-Max dx x M(x-x。) 积分有 x=-2M(x-x。) 可见两种方法求出的相轨迹是相同的 (2)图解法 a.等倾线法 等倾线:在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线
b.直接积分法 dx dx x dt dx dx dx dt dx x f (x, x) dx dx x 上式可分解为 g(x)dx h(x)dx 则由 x x x x g x dx h x dx ( ) ( ) 可找出 x x 得关系 在上式中 由x M 可有 xdx Mdx x M dx dx 积分有 2 ( ) ( ) 2 1 2 2 x M x x x M x x 可见两种方法求出的相轨迹是相同的 （2）图解法 a.等倾线法 等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线
原理: =f(x,) dx 故有 xf(x,元 dx x 式中为相轨迹在某一点的切线的斜率令a=女,则 满足此方程的点(x,x)出的斜率必为a,有上式确定的x-ⅸ关系曲线称为 等倾线。相轨迹必然以a的斜率经过等倾线 步骤: a.根据等倾线方程式I,做出不同a值的等倾线 b.根轨初始条件确定相轨迹的起始点 c从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线,它的斜率近似等 于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交 点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二第三等倾 线斜率的平均值,如此继续下去,即可作出相轨迹
原理： x f (x, x) 因 dx dx x x 故有 x f x x dx dx ( , ) 式中 dx dx 为相轨迹在某一点的切线的斜率 令 dx dx ，则 x f x x ( , ) I 满足此方程的点(x, x) 出的斜率必为 ，有上式确定的x x关系曲线称为 等倾线。相轨迹必然以 的斜率经过等倾线 步骤： a.根据等倾线方程式I，做出不同 值的等倾线 b.根轨初始条件确定相轨迹的起始点 c.从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等 于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交 点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二.第三等倾 线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹