性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统, 般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在 系统是否稳定,系统是否产生自持振荡,计算机自持振荡的振幅和 频率,消除自持振荡等有关稳定性的分析上。 (2)在线性系统中,系统的稳定性只与其结构和参数有关,而与 初始条件无关。对于线性定常系统,稳定性仅取决于特征根在s平 面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关 外,还和初始条件有关。在不同的初始条件下,运动的最终状态可 能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的,而当 初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之,也可能初始值大时 系统稳定,而初始值小毕低撤炊鍔晃定。甚至还会出现更为复杂的 情况。 (3)在非线性系统中,除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两 种运动形式外,往往即使无外作用存在,系统也可能产生具有一定 振幅和频率的稳定的等幅振荡
性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统， 一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在 系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算机自持振荡的振幅和 频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。 （2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与 初始条件无关。对于线性定常系统，稳定性仅取决于特征根在s平 面的分布。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关 外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最终状态可 能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当 初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之，也可能初始值大时 系统稳定，而初始值小毕低撤炊晃定。甚至还会出现更为复杂的 情况。 （3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两 种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定 振幅和频率的稳定的等幅振荡
自持振荡:无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为 自持振荡,简称自振荡。 改变非系统的结构和参数,可以改变自持振荡的振幅和频率,或消 除自持振荡。 对线性系统,围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式,其中 不可能产生稳定的自持振荡。 (4)在线性系统中,输入为正弦函数时,其输出的稳态分量也是 同频率的正弦函数,输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不 同,因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输 出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式 三.非线性系统的研究方法 现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。 对非本质非线性系统 基于小偏差线性化概念来处理 对本质非线性系统 二阶系统:相平面法 高阶系统:描述函数法
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为 自持振荡，简称自振荡。 改变非系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率，或消 除自持振荡。 对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，其中 不可能产生稳定的自持振荡。 （4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是 同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不 同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输 出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。 三．非线性系统的研究方法 现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。 对非本质非线性系统 基于小偏差线性化概念来处理 对本质非线性系统 二阶系统：相平面法 高阶系统：描述函数法
2.相平面法 相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法 基本概念 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 x=f(,x) (1) 如果以x和作为变量,则可有 dx (2) ax f(x, x) 用第一个方程除第二个方程有 di f(x,x) (3) dx 这是一个以x为自变量,以ⅸ为因变量的方程,如果能解出该方程,则 可以用(2)式把x,t的关系计算出来。因此对方程(1)的研究,可以 用研究方程(3)来代替。如果把方程(1)看作质点的运动方程,则x 代表质点的位置,ⅸ代表质点的速度(因而也代表了质点的
2.相平面法 相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。 一．基本概念 设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述 x f (x, x) （1） 如果以x 和x 作为变量，则可有 f (x, x) dt dx x dt dx （2） 用第一个方程除第二个方程有 x f x x dx dx ( , ) （3） 这是一个以 x 为自变量，以 x 为因变量的方程，如果能解出该方程，则 可以用（2）式把 x,t 的关系计算出来。因此对方程（1）的研究，可以 用研究方程（3）来代替。如果把方程（1）看作质点的运动方程，则 x 代表质点的位置， x 代表质点的速度（因而也代表了质点的
动量)。用x和ⅸ描述方程(1)的解,也就是用质点的状态(如位置和 动量)来表示质点的运动。在物理学中,这种不直接用时间变量而用 状态变量表示运动的方法称为相空间法,也称为状态空间法。在自动 控制理论中,把具有直角坐标的x和的平面称为相平面,相平面是二 维的状态空间 线性系统的相轨迹 设描述系统运动的微分方程为 x+25wnx+wnx=0 分别取x和ⅸ为相平面的横坐标和纵坐标,上述方程为: di dx dx dt t 25wni+ wnx=0 di 25wnx+wnx X 上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率,在x=0及 文=0,即坐标原点(0,0)处的斜率为女=%,由此我们有奇点的 定义
动量）。用x和x 描述方程（1）的解，也就是用质点的状态（如位置和 动量）来表示质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用 状态变量表示运动的方法称为相空间法，也称为状态空间法。在自动 控制理论中，把具有直角坐标的x 和x的平面称为相平面，相平面是二 维的状态空间。 二．线性系统的相轨迹 设描述系统运动的微分方程为 2 0 2 x wn x wn x 分 别 取 x 和 x 为 相 平 面 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 ， 上 述 方 程 为 ： 2 0 2 w x w x dt dx dx dx n n 则 x w x w x dx dx n n 2 2 上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜率，在 x 0 及 x 0，即坐标原点（0，0）处的斜率为 0 0 dx dx ，由此我们有奇点的 定义
奇点:相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇 点 (1)无阻尼运动形式(=0) 积分有 ∫d=∫ w=xdx x+ v X 中心点 (2)欠阻尼运动形式(0<5<1)
奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇 点。 （ 1 ） 无 阻 尼 运 动 形 式 （ 0 ） dx dx x w x n 2 积分有 xdx w xdx n 2 2 2 2 2 A w x x n （ 2） 欠 阻 尼运 动 形式 (0 1)