结论:函数f(x)在xo处连续的充要条件是f(x)在x处既 左连续又右连续.即 imf(x)=f(x)<>lim∫(x)=lim∫(x)=f(x) x→>x0 x→x0 定义若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续, 则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续; 若函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且在左端点a 右连续,在右端点b左连续,则称函数f(x)在闭区间 Ia,b内连续
6 结论: 函数ƒ(x)在x0 处连续的充要条件是ƒ(x)在 x0 处既 左连续又右连续. 即 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x → → − + = = 定义 若函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内的每一点都连续, 则称函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续; 若函数ƒ(x)在开区间 (a , b) 内连续, 且在左端点 a 右连续 , 在右端点 b 左连续 , 则称函数 ƒ(x) 在闭区间 [a , b] 内连续
例23.证明函数y=x2在(-∞,+∞)连续 例24.讨论函数在x=0处的连续性 (1)f(x)=xl; -1,x<0 (2)f(x)=g叫(x)={0,x=0; 1,x>0 x In x≠0 (3)f(x) 0,x=0
7 1 , 0 (2). ( ) sgn( ) 0 , 0; 1 , 0 x f x x x x − = = = 2 1 sin , 0 (3). ( ) 0 , 0 x x f x x x = = 例23. 证明函数 y = x2 在 (-∞, +∞) 连续. 例24. 讨论函数在 x = 0 处的连续性 (1). ( ) ; f x x =
x20≤x<1 例25.讨论函数f(x12-x1xs2在x=1 处的连续性 解 f(1=1 H limf(x)=limx =1 x-1 lim f(x)=lim(2-x)=1 x→1+ lim f(x=f()=l 故f(x)在x=1处连续
8 例25. 讨论函数 在x = 1 2 0 1 ( ) 2 1 2 x x f x x x = − 解 (1) 1 f = 故 f x x ( ) 1 . 在 = 处连续 2 1 1 lim ( ) lim 1 x x f x x → → − − 且 = = 1 1 lim ( ) lim(2 ) 1 x x f x x → → + + = − = 1 lim ( ) (1) 1 x f x f → = = 处的连续性
3x2+x+1x<0 例26设f(x)={k SInx +1y>0 √x 当k为何值时,f(x)在x=0点连续 解∵f(0)=k,且limf(x)=lim(3x2+x+1)=1 x→0 x→0 sIns limf(x)=lm(产+1)=1 lim f(x)=lim f(x=1 故当∫(0)=k=1时,∫(x)在x=0处连续
9 例26.设 2 3 1 0 ( ) 0 sin 1 0 x x x f x k x x x x + + = = + 当 k 为何值时, ƒ(x)在 x = 0点连续. 解 2 0 0 (0) , lim ( ) lim(3 1) 1 x x f k f x x x → → − − = = + + = 且 故 当 f k f x x (0) 1 , ( ) 0 . = = = 时 在 处连续 0 0 sin lim ( ) lim( 1) 1 x x x f x x → → + + = + = 0 0 lim ( ) lim ( ) 1 x x f x f x = = → → − +
例27确定常数a,b,使f(x)=m、2n1+ax2+bx n+1 为连续函数 ax+br x|<1 >1 解…f(x)= (a+b+1) 21—2 (-b-1 x=-1 要使f(x)连续,则∫(x就必须在x=±1处连续。 imf(x)=limf(x)=∫(1) 由 x→ x→」 得 lim f()=lim f(x)=f(1)
10 例27 确定常数 a, b, 使 2 1 2 2 ( ) lim 1 n n n x ax bx f x x − → + + = + 为连续函数. 2 1 1 1 ( ) 1 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1 2 ax bx x x x f x a b x a b x + = + + = − − = − 解 ∴ 要使ƒ(x)连续，则ƒ(x)就必须在 x = ±1处连续。 1 1 1 1 lim ( ) lim ( ) (1) , lim ( ) lim ( ) ( 1) x x x x f x f x f f x f x f − + − + → → → − → − = = = = − 由 得