与1)类似，可得 llu-vllp <n llus ullp SIlus vellp lles vllp llv-ullp <n+llue-vellp lve-vllp 类似(1)证明4.-vp<n,只要e充分小.-lp<n,只要e充分小.因而推得，当u有紧支 集K时 当u∈LP()不一定有祭支集时，取紧集列Kn,K1CK2C.使每一个属于？的紧支集属于某 个K.则以Kn来代替B(r),类似(1)同样可证得 4一u(LP(2) 1若P以Q为常系数多项.Q为将Q中的五用品代后所得到的微分子。则 下列条件等价： ()(x)e(Rm) (2)P(r)Q(O)(x)∈(R) (3)Q(a(P(r)(e)e(R") 证先证1)(2)等价。 )一2).因(x)∈(m),由定义易见有 (x)∈(R)及xp(c)∈(R") 而对任意p(x),Q(a),p(c)Q(©)p(e)是p(c),xp(),0p(e)的有限次重复后的线性组合，由(Rm)是 线性空间知 p(r)Q(8)p(x)∈多(R") (2)一).只需取p(x)=1,Q()=1即可 再证(1)(3)等价. (1)一(3).与(1)一(2)类似，对任意的p(x,Q(a),Q(a)p(x)p(r)仍是(x),x(x,8(e)有 限次重复后的线性组合，故 Q(a)p(x(x)∈F(R")
❺(1)❛q➜➀✚ ku − vkp <η kuε − ukp ≤kuε − vεkp + kvε − vkp + kv − ukp <η + kuε − vεkp + kvε − vkp ❛q(1)②➨ kuε − vεkp < η➜➄❻ ε ➾➞✂. kvε − vkp < η➜➄❻ ε ➾➞✂. Ï✌í✚➜✟ u ❦❀⑤ ✽ K ➒ uε → u(L p (Ω)) ✟ u ∈ L p (Ω) Ø➌➼❦❀⑤✽➒➜✒❀✽✎ Kn, K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ➛③➌❻á✉ Ω ✛❀⑤✽á✉✱ ❻ Kn. ❑➧ Kn ✺➇❖ B(r)➜❛q(1)Ó✘➀②✚ uε → u(L p (Ω)) 4. ❡ P(x), Q(x) ➃⑦❳êõ➅➟➜Q(∂) ➃ò Q(x) ➙✛ xi ❫ ∂ ∂xi ➇❖↕✚✔✛➔❻➞➂❢➜❑ ❡✎❫❻✤❞➭ (1) ϕ(x) ∈ F(Rn) (2) P(x)Q(∂)ϕ(x) ∈ F(Rn) (3) Q(∂)(P(x)ϕ(x)) ∈ F(Rn) ② ❦②(1)(2)✤❞. (1) → (2). Ï ϕ(x) ∈ F(Rn)➜❞➼➶➫❸❦ ∂ϕ(x) ∈ F(R n ) ✾ xϕ(x) ∈ F(R n ) ✌é❄➾ p(x), Q(∂), p(x)Q(∂)ϕ(x) ➫ ϕ(x), xϕ(x), ∂ϕ(x) ✛❦⑩❣➢❊✛❶✺⑤Ü➜❞ F(Rn) ➫ ❶✺➌♠⑧ p(x)Q(∂)ϕ(x) ∈ F(R n ) (2) → (1). ➄■✒ p(x) = 1, Q(∂) = 1 ❂➀. ✷②(1)(3)✤❞. (1) → (3). ❺ (1) → (2) ❛q➜é❄➾✛ p(x), Q(∂), Q(∂)p(x)ϕ(x) ❊➫ ϕ(x), xϕ(x), ∂ϕ(x) ❦ ⑩❣➢❊✛❶✺⑤Ü➜✙ Q(∂)p(x)ϕ(x) ∈ F(R n ) 6
(3)一().也只需常取p(x)=1,Q(=1即可 5.同第4题的记号，试证”一0时下列命题等价： (1)p(e)→0((R") (2)对任意给定的P(z,Q(x),P(z)Q(⊙)p(c)一0在"上一致成属. (3)对任意给定的P(z,Q(x).Q(@)(P(x)p(c》→0在”上一致成属 证先证(1)(2)等价. ()一(2②).由P()一0(()和对任意重指标a,Pz8Pp()一0在m上一致成 属，而对任意P(z,Q(x),P(x)Q(8)p()是xaPp(x)对某些a,P的有限个线性组合，因 此P(e)Q(8)e()一0在"上一致成属. (2)一().对任意重指标a,P,取Q()=aP,P()为x,由P(x)Q()()一0推 得x8P()→0在m上一致成属. 再证(1)(3)等价. ()一(3).由P(a)一0((R"》知对任意重指标aPx8PP()→0在m上一致成属， 而对任意P(r),Q(a),Q()(P(r)p(c)由莱布尼兹公式知也是xaaF(e)对某些a,P的有限个线 性组合.因此，Q()(P(rp(》一0在m上一致成属. (3)一(1).可用归纳法证明.由对任意P(e,Q(x,Q(8(P(e)p(c》一0在Rm上一致成 属.取P(x)=1,Q(O=8P推得 aP()0 在Rm上一致成属.其次取P()-工，Q()-P推得 0+x,0() aP(x(a》= CaP u()+oP() 其中指标A为指标P中减少对求导一次.因上式三项中已有两项在上一致趋向于零，故推 出x,8P9()在m上一致趋向于零，由此推得x8P9()在上一致趋向于零.同上，由归纳法 即得 x8p(a)-0 在”上一致成属. 6.证明：若f(x)∈P(R),则它是一个多广义函数 7
(3) → (1). ➃➄■⑦✒ p(x) = 1, Q(∂) = 1 ❂➀. 5. Ó✶4❑✛PÒ➜➪② ν → ∞ ➒❡✎➲❑✤❞➭ (1) ϕν(x) → 0 (F(Rn)) (2)é❄➾❽➼✛ P(x), Q(x), P(x)Q(∂)ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. (3)é❄➾❽➼✛ P(x), Q(x), Q(∂)(P(x)ϕν(x)) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. ② ❦②(1)(2)✤❞. (1) → (2). ❞ ϕν(x) → 0 (F(Rn)) Úé❄➾➢➁■ α, P, xα∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕ á➜✌é❄➾ P(x), Q(x), P(x)Q(∂)ϕν(x) ➫ x α∂ P ϕν(x) é✱✡ α, P ✛❦⑩❻❶✺⑤Ü➜Ï ❞ P(x)Q(∂)ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. (2) → (1). é❄➾➢➁■ α, P➜✒ Q(∂) = ∂ P➜P(x) ➃ x α➜❞ P(x)Q(∂)ϕν(x) → 0 í ✚ x α∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. ✷②(1)(3)✤❞. (1) → (3). ❞ ϕν(x) → 0 (F(Rn)) ⑧é❄➾➢➁■ α, P, xα∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á➜ ✌é❄➾ P(x), Q(x), Q(∂)(P(x)ϕν(x)) ❞✹Ù❩❬ú➟⑧➃➫ x α∂ P ϕν(x) é✱✡ α, P ✛❦⑩❻❶ ✺⑤Ü. Ï❞➜Q(∂)(P(x)ϕν(x)) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. (3) → (1). ➀❫✽❇④②➨. ❞é❄➾ P(x), Q(x), Q(∂)(P(x)ϕν(x)) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕ á. ✒ P(x) = 1, Q(∂) = ∂ P í✚ ∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. Ù❣✒ P(x) = xi , Q(∂) = ∂ P í✚ ∂ P (xiϕν(x)) = 0 + xi∂ P ϕν(x) C∂Piϕν(x) + xi∂ P ϕν(x) Ù➙➁■ Pi ➃➁■ P ➙⑦✟é xi ➛✓➌❣. Ïþ➟♥➅➙➤❦ü➅✸ Rn þ➌➋➟➉✉✧➜✙í Ñ xi∂ P ϕν(x) ✸ Rn þ➌➋➟➉✉✧➜❞❞í✚ x∂P ϕν(x) ✸ Rn þ➌➋➟➉✉✧. Óþ➜❞✽❇④ ❂✚ x α ∂ P ϕν(x) → 0 ✸ Rn þ➌➋↕á. 6. ②➨➭❡ f(x) ∈ L p (Rn)➜❑➜➫➌❻ F0 ✷➶➻ê. 7