22龙格库塔法 22.1龙格-库塔法基本原理 对y(n)=y(n)+"f(,y) 冷若令:n=y(n)Q,≡ n+1 f(t, y)dt ÷则有y(tn)=ym1=yn+Q 令Qn的数值求解:称作“右端函数”计算问题。 在o附近展开台劳级数,只保留h2项,则有: (1) y=y+f(to,yo)h+ 1(9+)h 2 ay dt at
2.2 龙格库塔法 ❖ 2.2.1龙格-库塔法基本原理 ❖ 对 ❖ 若令： ❖ 则有 ❖ 的数值求解：称作“右端函数”计算问题。 在 附近展开台劳级数，只保留 项，则有： （1） + + = + 1 ( ) ( ) ( , ) 1 n n t t y t n y t n f t y dt ( ) n n y y t + 1 Q ( , ) n n t t n f t y dt n n n n y(t +1 ) y +1 = y + Q Qn t 0 h 2 2 1 0 0 0 0 ( ) 2 1 ( , ) h t f dt dy y f y y f t y h t = + + +
龙格-库塔法基本原理(续) 假设这个解可以写成如下形式: y1=yo+(a,k+ a2k2)h 今其中k1=f(oy)k2=f(0+bh,y+b2kh) 对k2式右端的函数展成台劳级数,保留h项, 可得: k@(nx)+(#+b儿b 代入,则有: D1=yo+ a, hf (to, yo)+ a,hlf(to, yo)+(6 1+ b,k
龙格-库塔法基本原理（续） ❖ 假设这个解可以写成如下形式： ❖ 其中 ❖ 对 式右端的函数展成台劳级数，保留h项， 可得： ❖ 代入，则有： 1 0 1 1 2 2 y y a k a k h = + + ( ) ( , ) 1 0 0 k = f t y k2 = f (t 0 + b1 h，y0 + b2 k1 h) k 2 2 0 0 1 2 1 0 ( , ) ( ) t f f k f t y b b k h t y 抖 @ + + 抖 1 0 1 0 0 2 0 0 1 2 1 0 ( , ) [ ( , ) ( ) ] t f f y y a hf t y a h f t y b b k h t y 抖 = + + + + 抖
龙格-库塔法基本原理(续) 将(2)式与(1)式进行比较,可得: a1+a2=1,a2b1=1/2,a2b2=1/2 四个未知数a1,a2,b,b2,但只有三个方 程,因此有无穷多个解 若限定a1=a2,则a1=a2 今计算公式: y1=y+(k1+k2) 其中k=f(,y),k2=f(to+h,y+kh)
龙格-库塔法基本原理（续） ❖ 将(2)式与(1)式进行比较，可得： ❖ 四个未知数 但只有三个方 程，因此有无穷多个解。 ❖ 若限定 ，则 ❖ 计算公式： ❖ 其中 a1 +a2 =1, a2 b1 =1 / 2, a2 b2 =1 / 2 a1，a2，b1，b2， a a 1 = 2 a1 a2 b1 b2 1 2 = = ， = = 1 ( ) 2 1 0 1 2 k k h y = y + + ( , ) ( ) k1 = f t 0 y0 ，k2 = f t 0 + h，y0 + k1 h
龙格库塔法基本原理(续) 若写成一般递推形式,即为: t;)三 (k+k2) 其中k=f(ny,k2=f(n+h,yn+kh 截断误差正比于h3,称为二阶龙格-库塔法 (简称RK-2)。 令截断误差正比于作的四阶龙格一库塔法(简称 RK-4)公式:y0n)=m1=+(+2k2+2,+k) 今其中:k=f(Un,yn)k2=10+h,x+bk) 2 kg=f(n+2, yn+2k2)ka=f(n+h, yn+ hk,)
龙格-库塔法基本原理（续） ❖ 若写成一般递推形式，即为： ❖ 其中 ❖ 截断误差正比于h3，称为二阶龙格-库塔法 （简称RK-2）。 ❖ 截断误差正比于h5的四阶龙格--库塔法（简称 RK-4）公式： ❖ 其中： ( ) 2 ( ) 1 1 1 2 k k h y t y y n+ n+ = n + + ( , ) ( , ) k1 = f t n yn ，k2 = f t n + h yn + k1 h ( 2 2 ) 6 ( ) 1 1 1 2 3 4 k k k k h y t y y n+ n+ = n + + + + ( , ) 1 n n k = f t y ) 2 2 ( 2 1 k h y h k f t = n + ， n + ) 2 2 ( 3 2 k h y h k f t = n + ， n + ( ) 4 hk3 k f t h y = n + ， n +
222龙格-库塔法的特点 ÷1形式多样性 令例:a,a2,h,b非唯一解,可以得到许多种 龙格一库塔公式:ym=yn+k2h(中点公式 其中k=f(n,y)k=+,+k) 各种龙格一库塔法可以写成如下一般形式: yn=yn+b∑Ck 其中:k=∫(n+ah,yn+b∑bk)i=1,2,…,s
2.2.2龙格--库塔法的特点 ❖ 1.形式多样性 ❖ 例： 非唯一解，可以得到许多种 龙格--库塔公式： (中点公式) ❖ 其中 ❖ 各种龙格---库塔法可以写成如下一般形式： ❖ 其中 : a1，a2，b1，b2 yn+1 = yn + k2 h ( , ) 1 n n k = f t y ) 2 2 ( 2 1 k h y h k f t = n + ， n + = + = + s i n n i i y y h C k 1 1 ( ) 1 1 − = = + + i j i n i n ij j k f t a h，y h b k i =1，2，，s