概括 形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函 数叫做二次函数( quadratic function) 1.已知直角三角形两条直角边的长的和为10cm (1)当它的一条直角边的长为4.5cm时,求这个直角三角形的面积 (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为xcm,面积为Scm2,求S与x之间的 函数关系式 2.已知正方体的棱长为xcm,表面积为Scm2,体积为vcm3 (1)分别写出S与x、V与x之间的函数关系式 (2)这两个函数中,哪一个是x的二次函数? 习题26 1.设圆柱的高为6cm,底面半径为rcm,底面周长为Ccm,体积为vcm3 (1)分别写出C与r、V与r、V与C之间的函数关系式 (2)这三个函数中,哪些是二次函数? 2.正方形的边长为4,当边长增加x时,面积增加y,求y与x之间的函数关系式这 个函数是二次函数吗 3.已知二次函数y=ax2+c,当x=2时,y=4;当x=-1时,y=-3.求a、c 的值 4.一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个半圆, 下部是一个矩形,矩形的一边长为2.5m.求: (1)隧道截面的面积S(m2)与上部半圆的半径 (2)当上部半圆的半径为2m时的截面面积精题25m r(m)之间的函数关系式 确到0.1m2) (第4题) 第26章二次函数
&!第 !"章 二次函数 概括 形如 (),'" +-'+.!,& -& .是常数#, % #" 的函 数叫做二次函数!012342567819756:9"! 练 习 !"已知直角三角形两条直角边的长的和为&# 7$! !&" 当它的一条直角边的长为(!) 7$时#求这个直角三角形的面积$ !"" 设这个直角三角形的一条直角边的长为 '7$#面积为 / 7$" #求 / 与 '之间的 函数关系式! #"已知正方体的棱长为 '7$#表面积为 / 7$" #体积为 07$' ! !&" 分别写出 / 与 '% 0与 '之间的函数关系式! !"" 这两个函数中#哪一个是 '的二次函数& 习题 "#!! !第 ( 题" !"设圆柱的高为 % 7$#底面半径为 17$#底面周长为 $7$#体积为 07$' ! !&" 分别写出 $与 1& 0与 1& 0与 $之间的函数关系式! !"" 这三个函数中#哪些是二次函数$ #"正方形的边长为 (#当边长增加 '时#面积增加 (#求 (与 '之间的函数关系式!这 个函数是二次函数吗$ $"已知二次函数 (),'" +.#当 ')" 时#()('当 ')*& 时#()*'!求 ,& . 的值! %"一条隧道的截面如图所示#它的上部是一个半圆# 下部是一个矩形#矩形的一边长为 "!) $!求% !&" 隧道截面的面积 /!$" " 与上部半圆的半径 1!$"之间的函数关系式' !"" 当上部半圆的半径为 " $时的截面面积!精 确到 #!& $" "!
262/二次函数的图象与性质 回顾 上一节所提出的两个问题,都归结为有关二次函数 的问题.为了解决这类问题,需要研究二次函数的性质 在研究一次函数时,曾借助图象了解了一次函数的 性质.对二次函数的研究,我们也从图象入手 1.二次函数y=ax2的图象与性质 我们知道,一次函数的图象是一条直线那么,二次 函数的图象是什么?它有什么特点?反映了二次函数的 哪些性质? 让我们先来研究最简单的二次函数y=ax2的图象 与性质 D画出二次函数y=x2的图象 解)列表 在平面直角坐标系中描点,然 后用光滑的曲线顺次连结各点,得 这个函数的 到函数y=x2的图象,如图26.2.1 图象有什么特点? 所示 这样的曲线通常叫做抛物线 ( parabola).它是轴对称图形,y轴是 它的对称轴,抛物线与它的对称轴 的交点叫做抛物线的顶点( vertex) 图26.2.1 第26章次函数·5
第 !"章 二次函数!' 26.2 二次函数的图象与性质 回顾 上一节所提出的两个问题#都归结为有关二次函数 的问题!为了解决这类问题#需要研究二次函数的性质! 在研究一次函数时#曾借助图象了解了一次函数的 性质!对二次函数的研究#我们也从图象入手! !"二次函数 !&"# # 的图象与性质 我们知道#一次函数的图象是一条直线!那么#二次 函数的图象是什么$ 它有什么特点$ 反映了二次函数的 哪些性质$ 让我们先来研究最简单的二次函数 (),'" 的图象 与性质! !例 ! 画出二次函数 ()'" 的图象! !解 列表% ' ( .' ." .& # & " ' ( ( ( , ( & # & ( , ( 图 !#!!!$ 在平面直角坐标系中描点#然 后用光滑的曲线顺次连结各点# 得 到函数 ()'" 的图象# 如图 "%!"!& 所示! 这样的曲线通常叫做抛物线 !;242<:=2"!它是轴对称图形#(轴是 它的对称轴#抛物线与它的对称轴 的交点叫做抛物线的顶点!>?45?@"! 这个函数的 图象有什么特点$
做一做 (1)在同一个平面直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的 图象,观察并比较这两个函数的图象,它们有什么共同点?又有什么 区别? (2)在同一个平面直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图 象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么 (3)将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么? 概括 函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,它关于 y轴对称,顶点坐标是(0,0) 观察y=x2与y=2x2的图象,可以看出 若a>0,抛物线y=ax2开口向上.在对称轴的左 图象的这些 边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右 特点反映了函数 上升.顶点是抛物线上位置最低的点 的什么性质? 图象的这些特点表明,函数y=ax2(a>0)具有这 样的性质:当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当 0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数y= ax2取得最小值,最小值y=0. 思考 观察函数y=-x2与y=-2x2的图象,试作出类似 的概括,即思考:若a<0,抛物线y=ax2有什么特点?它 反映了函数y=ax2(a<0)具有哪些性质? 将你思考的结果填在下面方框内,并与同伴交流 6·第26章二次函数
#!第 !"章 二次函数 !&" 在同一个平面直角坐标系中# 画出函数 ()'" 与 ()*'" 的 图象#观察并比较这两个函数的图象# 它们有什么共同点$ 又有什么 区别$ !"" 在同一个平面直角坐标系中#画出函数 (-"'" 与 (-."'" 的图 象#观察并比较这两个函数的图象#你能发现什么$ !'" 将所画的四个函数的图象作比较#你又能发现什么$ 概括 函数 (),'" !, % #" 的图象是一条抛物线#它关于 (轴对称#顶点坐标是!## #"! 观察 (-'" 与 (-"'" 的图象#可以看出% 若 , 2##抛物线 (),'" 开口向上!在对称轴的左 边#曲线自左向右下降'在对称轴的右边#曲线自左向右 上升!顶点是抛物线上位置最低的点! 图象的这些特点表明# 函数 (),'" !, 2#" 具有这 样的性质%当'&# 时#函数值(随'的增大而减小'当'2 # 时#函数值 (随 '的增大而增大'当 ')# 时#函数 () ,'" 取得最小值#最小值 ()#! 思考 观察函数 (-.'" 与 (-."'" 的图象#试作出类似 的概括#即思考%若 , A##抛物线 (-,'" 有什么特点$ 它 反映了函数 (-,'" !, A#"具有哪些性质$ 将你思考的结果填在下面方框内#并与同伴交流! 图象的这些 特点反映了函数 的什么性质$
1.画出下列函数的图象 (1)y=3x2 (2)y 2.根据上题所画的函数图象填空 (1)抛物线y=3x2的对称轴是 顶点坐标是 抛物线上的点都在x轴的上方; (2)抛物线y=-3x的开口向 除顶点外,抛物线上的点都在x轴的 方,它的顶点是拋物线上的最 3.不画图象,说出抛物线y=-4x2和y=1x的对称轴、顶点坐标和开口方向 4.设圆的半径为r,面积为S. (1)试写出S与r之间的函数关系式; (2)画出这个函数的图象 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 我们已经研究了二次函数y=ax2(a≠0)的图象和 性质,现在我们来研究一般的问题 第26章二次函数
第 !"章 二次函数!( """""""""""""""""""""""""""# # # # # # # # # # # # # # """""""""""""""""""""""""""#" " " " " " " " " " " " " " " 练 习 !"画出下列函数的图象' !&" ()''" $ !"" ()*& ' '" ! #"根据上题所画的函数图象填空' !&" 抛物线 (-''" 的对称轴是 #顶点坐标是 #当 ' 时# 抛物线上的点都在 '轴的上方$ !"" 抛物线 (-.& ' '" 的开口向 #除顶点外#抛物线上的点都在 '轴的 方#它的顶点是抛物线上的最 点! $"不画图象#说出抛物线 (-.('" 和 (-& ( '" 的对称轴%顶点坐标和开口方向! %"设圆的半径为 1#面积为 /! !&" 试写出 / 与 1之间的函数关系式$ !"" 画出这个函数的图象! #"二次函数 !&"# # '$# '%的图象与性质 我们已经研究了二次函数 (),'" !, %#" 的图象和 性质#现在我们来研究一般的问题!
这个二次函数的 关系式比y=ax2复 杂些,它与y= 问题 之间有什么联系吗? 试研究二次函数y=12-2x+3的图象 分机将函数关系式配方,得 y=(x-2)2+1 我们设法寻求它与函数y=2x的联系为此,先看 几个简单的例子 2在同一个平面直角坐标系中,画出函数y x与。2+1的图象 解》列表 0 2|3 当:号 2 描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.2所示 图26.2.2 8·第26章二次函数
)!第 !"章 二次函数 问题 ! 试研究二次函数 ()& " '" *"'+' 的图象! !分析 将函数关系式配方#得 ()& " !'*""" +&! 我们设法寻求它与函数 ()& " '" 的联系!为此#先看 几个简单的例子! !例 # 在同一个平面直角坐标系中#画出函数 () & " '" 与 ()& " '" +& 的图象! !解 列表% ' ( .' ." .& # & " ' ( () & " '" ( , " " & " # & " " , " ( () & " '" +& ( && " ' ' " & ' " ' && " ( 描点&连线#画出这两个函数的图象#如图 "%!"!" 所示! 图 !#!!!! 这个二次函数的 关系式比 (),'" 复 杂些# 它与 () & " '" 之间有什么联系吗$