考点综合专题:圆与其他知识的综合 ◆类型一圆与三角函数的综合 1.(2016衢州中考)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交 AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sinE的值为() 第1题图 第2题图 第3题图 2.(湖州中考)如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小 圆于点D若OD=2,tan∠OAB=,则AB的长是() A.4B.2√3C.8D.43 3.(2016攀枝花中考)如图,点D0,3),O0,0),C(4,0在⊙A上,BD是⊙A的 条弦,则sin∠OBD的值为() A -B -.- D 4.如图,AB为⊙O的直径,以AB为直角边作直角△ABC,∠CAB=90°,斜边BC与 ⊙O交于点D,过点D作⊙O的切线DE交AC于点E,DG⊥AB于点F,交⊙O于点C (1)求证:E是AC的中点 (2)若AE=3,cos∠ACB=,求弦DG的长
考点综合专题：圆与其他知识的综合 ◆类型一 圆与三角函数的综合 1．(2016·衢州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若∠A＝30°，则 sinE 的值为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2．(湖州中考)如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，OA 交小 圆于点 D.若 OD＝2，tan∠OAB＝ 1 2 ，则 AB 的长是( ) A．4 B．2 3 C．8 D．4 3 3．(2016·攀枝花中考)如图，点 D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一 条弦，则 sin∠OBD 的值为( ) A.1 2 B.3 4 C.4 5 D.3 5 4．如图，AB 为⊙O 的直径，以 AB 为直角边作直角△ABC，∠CAB＝90°，斜边 BC 与 ⊙O 交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线 DE 交 AC 于点 E，DG⊥AB 于点 F，交⊙O 于点 G. (1)求证：E 是 AC 的中点； (2)若 AE＝3，cos∠ACB＝ 2 3 ，求弦 DG 的长．
◆类型二圆与相似的综合 5.如图,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,AE与BD相 交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件其中错误的是 A.∠ACD=∠DABB.AD=DE C. AD=BDCD D. ADAB=AC BD 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图,边长为2的正方形ABCD中,P是CD的中点,连接AP并延长,交BC的延 长线于点F,作△CPF的外接圆⊙O,连接BP并延长交⊙O于点E,连接EF,则EF的长 为D 7.(2016成都中考)如图,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC于点H,若AC=24,AH=18, ⊙O的半径OC=13,则AB= 8.(2016泰州中考)如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上一点,以CD为直径的 ⊙O交BC于点E,连接AE交CD于点P,交⊙O于点F,连接DF,∠CAE=∠ADF (1)判断AB与⊙O的位置关系,并说明理由 (2)若PF:PC=1:2,AF=5,求PC的长
◆类型二 圆与相似的综合 5．如图，AB 是半圆 O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连接 AD，DE，AE 与 BD 相 交于点 C，要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是 D A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 6．如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是 CD 的中点，连接 AP 并延长，交 BC 的延 长线于点 F，作△CPF 的外接圆⊙O，连接 BP 并延长交⊙O 于点 E，连接 EF，则 EF 的长 为 D A.3 2 B.5 3 C.3 5 5 D.4 5 5 7．(2016·成都中考)如图，△ABC 内接于⊙O，AH⊥BC 于点 H，若 AC＝24，AH＝18， ⊙O 的半径 OC＝13，则 AB＝________． 8．(2016·泰州中考)如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 E，连接 AE 交 CD 于点 P，交⊙O 于点 F，连接 DF，∠CAE＝∠ADF. (1)判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若 PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求 PC 的长．
类型三圆与四边形的综合 9.(2016·重庆模拟)如图,⊙O过正方形ABCD的顶点A,B,与CD相切,切点为点E, 若正方形ABCD的边长为2,则⊙O的半径为() A.1 B 第9题图 第10题图 第11题图 10.(2016哈尔滨中考)如图,AB为⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C,AD⊥,垂 足为D,AD交⊙O于点E,连接OC,BE若AE=6,OA=5,则线段DC的长为 11.★(2016淄博中考)如图,⊙O的半径为2,圆心O到直线l的距离为4,有一内角 为60°的菱形,当菱形的一边在直线l上,另有两边所在的直线恰好与⊙O相切,此时菱形 的边长为 12.(2016上海中考)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,点D在边BC上,AE∥BC AE=BD (1)求证:AD=CE; (2)如果点G在线段DC上(不与点D重合),AG=AD,求证:四边形AGCE是平行四边
◆类型三 圆与四边形的综合 9．(2016·重庆模拟)如图，⊙O 过正方形 ABCD 的顶点 A，B，与 CD 相切，切点为点 E， 若正方形 ABCD 的边长为 2，则⊙O 的半径为( ) A．1 B. 5 2 C.4 3 D.5 4 第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图 10．(2016·哈尔滨中考)如图，AB 为⊙O 的直径，直线 l 与⊙O 相切于点 C，AD⊥l，垂 足为 D，AD 交⊙O 于点 E，连接 OC，BE.若 AE＝6，OA＝5，则线段 DC 的长为________． 11．★(2016·淄博中考)如图，⊙O 的半径为 2，圆心 O 到直线 l 的距离为 4，有一内角 为 60°的菱形，当菱形的一边在直线 l 上，另有两边所在的直线恰好与⊙O 相切，此时菱形 的边长为____________． 12．(2016·上海中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ︵ ＝AC ︵ ，点 D 在边 BC 上，AE∥BC， AE＝BD. (1)求证：AD＝CE； (2)如果点 G 在线段 DC 上(不与点 D 重合)，AG＝AD，求证：四边形 AGCE 是平行四边 形．
◆类型四坐标系中的圆(代几综合 3.如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0),将 ⊙P沿x轴正方向平移,使⊙P与y轴相切,则平移的距离为() A.1B.1或5C.3D.5 第13题图 第14题图 4.(2016潍坊中考)如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A(8,0),与y 轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是() A.10B.8 E C.413D.2√41 15.如图,在Rt△OAB中,OA=4,AB=5,点C在OA上,AC=1,⊙P的圆心P在 线段BC上,⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=(k≠0的图象经过圆心P,则k CAr 第15题图 第16题图 第17题图 16.(2016·信阳模拟)如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果 圆”.已知点A,B,C,D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为y=x2-2x 3,AB为半圆的直径,则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 17.★(2016日照中考如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点A,B,点Q是 以C(0,-1)为圆心、1为半径的圆上一动点,过Q点的切线交线段AB于点P,则线段PQ 的最小是
◆类型四 坐标系中的圆(代几综合) 13．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的⊙P 的圆心 P 的坐标为(－3，0)，将 ⊙P 沿 x 轴正方向平移，使⊙P 与 y 轴相切，则平移的距离为( ) A．1 B．1 或 5 C．3 D．5 第 13 题图 第 14 题图 14．(2016·潍坊中考)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴相切于点 A(8，0)，与 y 轴分别交于点 B(0，4)和点 C(0，16)，则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是( ) A．10 B．8 2 C．4 13 D．2 41 15．如图，在 Rt△OAB 中，OA＝4，AB＝5，点 C 在 OA 上，AC＝1，⊙P 的圆心 P 在 线段 BC 上，⊙P 与边 AB，AO 都相切．若反比例函数 y＝ k x (k≠0)的图象经过圆心 P，则 k ＝____________. 第 15 题图 第 16 题图 第 17 题图 16．(2016·信阳模拟)如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果 圆”．已知点 A，B，C，D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 y＝x 2－2x －3，AB 为半圆的直径，则这个“果圆”被 y 轴截得的弦 CD 的长为________． 17．★(2016·日照中考)如图，直线 y＝－ 3 4 x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，点 Q 是 以 C(0，－1)为圆心、1 为半径的圆上一动点，过 Q 点的切线交线段 AB 于点 P，则线段 PQ 的最小是________．
考点综合专题:圆与其他知识的综合 1.A2C 3.D解析:连接CD.点D的坐标为(0,3),点C的坐标为(4,0),∴OD=3,OC 4∵∠COD=90°,∴CD=VOD2+OC=32+42=5.∴∠OBD=∠OCD,∴sin∠OBD si∠ OCD OD 故选D CD 5 4.(1)证明:连接AD∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADC=90°∠CAB= 90°,∴AC是⊙O的切线.又∵DE与⊙O相切,∴ED=EA,∴∠EAD=∠EDA∴∠C=90° ∠EAD,∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-∠EAD,∴∠C=∠CDE,∴ED=EC,∴EA EC,即E为AC的中点 (2)解:由(1)知E为AC的中点,则AC=2E=6在Rt△ACD中,cos∠ACD=cos∠ACB 2.∴CD= ACcos∠ACB=6×=4,∴AD=AC-CD2=y62-42=2、5∵∠ACB+∠B 90°,∠DAB+∠B=90,∴∠ACB=∠DAB在Rt△ADF中,AF= 1D.cos∠DAF= ADcos∠ACB DE D--AF ()-1:Dc⊥ ∴DG=2DF≈30 5.D6.D 39解析:作直径AE,连接CE∴∠ACE=909∵AH⊥BC,∴∠AHB=9,∴∠ACE ∠AHB.∴∠B=∠E,∴△ABH△AEC,·AB_AH AB=4HE∴AC=24,AH=18, AE=20C=26,∴AB 18×2639 8.解:(1)AB是⊙O的切线.理由如下:连接DE,CF∴CD是⊙O的直径,∴∠DEC ∠DFC=90°∵∠ACB=90°,∴∠DEC+∠ACE=180°,∴DE∥AC,∴∠CAE=∠DEA ∠DCF∵∠DFC=90°,∴∠DCF+∠CDF=90°∵∴∠ADF=∠CAE=∠DCF,∴∠ADF +∠CDF=90°,∴∠ADC=90°,∴CD⊥AD,∴AB是⊙O的切线 (2)∵∠CPF=∠CPA,∠PCF=∠PAC,∴△PCF∽△PAC,·PA = PC=PF.PA 设PF=a,则PC=2a,∴4a2=a(a+5),3∴PC=2a=10 9.D解析:连接OE,OB,延长EO交AB于点F,∴OE⊥CD∵∴四边形ABCD是正 方形,∴AB∥CD,∴OF⊥AB设OB=OE=R,则OF=2一R在Rt△OBF中,BF=AB ×2=1,OB=R,OF=2-R,∴R2=(2-R)2+12,解得R=千故选D 10.4解析:设OC交BE于点F∵AB为⊙O的直径,∴AB=2OA=10,∠AEB= 90°∵AD⊥l,∴BE∥CD∴CD为⊙O的切线,∴OC⊥CD,∴OC⊥BE,∴四边形CDEF 为矩形,CD=EF在Rt△ABE中,BE=VAB2-AE=V10-6=8∵OF⊥BE,∴BF=EF
考点综合专题：圆与其他知识的综合 1．A 2.C 3．D 解析：连接 CD.∵点 D 的坐标为(0，3)，点 C 的坐标为(4，0)，∴OD＝3，OC ＝4.∵∠COD＝90°，∴CD＝ OD2＋OC2＝ 3 2＋4 2＝5.∵∠OBD＝∠OCD，∴sin∠OBD＝ sin∠OCD＝ OD CD＝ 3 5 .故选 D. 4．(1)证明：连接 AD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°.∵∠CAB＝ 90°，∴AC 是⊙O 的切线．又∵DE 与⊙O 相切，∴ED＝EA，∴∠EAD＝∠EDA.∵∠C＝90° －∠EAD，∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－∠EAD，∴∠C＝∠CDE，∴ED＝EC，∴EA ＝EC，即 E 为 AC 的中点； (2)解：由(1)知 E 为 AC 的中点，则 AC＝2AE＝6.在 Rt△ACD 中，cos∠ACD＝cos∠ACB ＝ 2 3 ，∴CD＝AC·cos∠ACB＝6× 2 3 ＝4，∴AD＝ AC2－CD2＝ 6 2－4 2＝2 5.∵∠ACB＋∠B ＝90°，∠DAB ＋∠B＝90°，∴∠ACB＝∠DAB.在 Rt△ADF 中，AF ＝AD·cos∠DAF ＝ AD·cos∠ACB＝2 5× 2 3 ＝ 4 5 3 ，∴DF＝ AD2－AF2＝ （2 5）2－ 4 5 3 2 ＝ 10 3 .∵DG⊥AB， ∴DG＝2DF＝ 20 3 . 5．D 6.D 7.39 2 解析：作直径 AE，连接 CE.∴∠ACE＝90°.∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∴∠ACE ＝∠AHB.∵∠B＝∠E，∴△ABH∽△AEC，∴ AB AE＝ AH AC，∴AB＝ AH·AE AC .∵AC＝24，AH＝18， AE＝2OC＝26，∴AB＝ 18×26 24 ＝ 39 2 . 8．解：(1)AB 是⊙O 的切线．理由如下：连接 DE，CF.∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DEC ＝∠DFC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC，∴∠CAE＝∠DEA ＝∠DCF.∵∠DFC＝90°，∴∠DCF＋∠CDF＝90°.∵∠ADF＝∠CAE＝∠DCF，∴∠ADF ＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∴AB 是⊙O 的切线； (2)∵∠CPF＝∠CPA，∠PCF＝∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴ PC PA＝ PF PC，∴PC2＝PF·PA. 设 PF＝a，则 PC＝2a，∴4a 2＝a(a＋5)，∴a＝ 5 3 ，∴PC＝2a＝ 10 3 . 9．D 解析：连接 OE，OB，延长 EO 交 AB 于点 F，∴OE⊥CD.∵四边形 ABCD 是正 方形，∴AB∥CD，∴OF⊥AB.设 OB＝OE＝R，则 OF＝2－R.在 Rt△OBF 中，BF＝ 1 2 AB＝ 1 2 ×2＝1，OB＝R，OF＝2－R，∴R 2＝(2－R) 2＋1 2，解得 R＝ 5 4 .故选 D. 10．4 解析：设 OC 交 BE 于点 F.∵AB 为⊙O 的直径，∴AB＝2OA＝10，∠AEB＝ 90°.∵AD⊥l，∴BE∥CD.∵CD 为⊙O 的切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四边形 CDEF 为矩形，∴CD＝EF.在 Rt△ABE 中，BE＝ AB2－AE2＝ 102－6 2＝8.∵OF⊥BE，∴BF＝EF