·2 第一章逻糟代敏基础 在与或非逻辑中，AB之间以及C、D之间都是与的关系，只要A,B或C,D任 何一组同时为1，输出Y就是0，只有当每一组输入都不全是1时，输出Y才是1。 异或是这样一种逻辑关系：当A、B不同时，输出Y为1：而A、B相同时， 输出Y为0。异或也可以用与、或、非的组合表示。 A①B=A-B+石·B （1.2.4) 同或和异或相反，当A、B相同时，Y等于1，A、B不同时，Y等于0。同或 也可以写成与、或、非的组合形式 A⊙B=A·B+A·B 1.2.5) 而且，由表1.2.7和1.2.8可见，异或和同或互为反运算，即 A①B=A⊙B;A⊙B=A①B (1.2.6) 为简化书写，允许将·B简写成AB,略去逻辑相乘的运算符号“.”。 1.3逻辑代数的基本公式和常用公式 1.3.1基本公式 表1.3.1给出了逻辑代数的基本公式。这些公式也叫布尔恒等式。 表131逻辑代数的基本公式 序马 序S 公 学 10 1-0:0-1 :A=0 1 11A-1 1.A=A 2 04A=A 3 AA=A 13 A·A■A 4 A万=0 A1A=1 A-BBA A+B-B+A A·(BC)-(AB):( A+(B+C)=(A+B)+C A-(B+C=A.B+A-C 12 A+BC=〔A1B)《A+C》 A=A+万 A+B=万 A-A 式(1).(2)，(11)和(12)给出了变壁与常量间的运算规测
13代敏的基本公式和常用公式 式(3)和(13)是同一变量的运算规律，也叫重叠律。 式(4)和(14)表示变量与它的反变量之间的运算规律，也称为互补律。 式(5)和(15)为交换律，式(6)和(16)为结合律，式(7)和(17)为分配律。 式(8)和(18)是若名的德·摩根(De·Morgan)定理，亦称反演律。在逻辑函 数的化简和变换中经常要用到这一对公式。 式(9)表明，一个变量经过两次求反运算之后还原为其本身，所以该式又称 还原律。 式(10)是对0和1求反运算的规则，它说明0和1互为求反的结果。 这些公式的正确性可以用列真值表的方法加以验证。如果等式成立，那么 将任何一组变量的取值代人公式两边所得的结果应该相等。因此，等式两边所 对应的真值表也必然相同。 【例1.3.1】用真值表证明表1.3.1中式(17)的正确性。 解：已知表1.3,1中的式(17)为 A+B-C=(A+B)(A+C) 将A、B,C所有可能的取值组合逐一代入上式的两边，算出相应的结果，即得到 表1.3.2的真值表。可见，等式两边对应的真值表相阿，故等式成立。 表1.3.2式(17)的真值表 ABCB·C A+B-CA+BA+C (A+B)(A+C) 000 0 0 0 001 0 0 010 0 0 1 0 0 0111 1 1 1 100 0 1 1 1010 1 1 110 0 1 111 1 1 1 1 1 1.3.2若于常用公式 表1.3.3中列出了几个常用公式。这些公式是利用基本公式导出的。直接 运用这些导出公式可以给化简逻辑函数的工作带来很大方便。 现将表1.3.3中的各式证明如下。 -、式(21)A+A·B=A 证：A+AB=A(1+B)=A1=A 上式说明在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余
·14 第一章逻辑代数基碰 的，可以删去。 、式(22)A+A·B=A+B 证：A+A·B=(A+)·(A+ 表1.3,3若干常用公式 B)=1(A+B)=A+B 骅引 公 这一结果表明，两个乘积项相加 21 AiAB=A 时，如果一项取反后是另一项的因子 22 A+A.B=A+8 则此因子是多余的，可以消去。 23 A.B+A.B=A 三、式(23)A·B+A·B=A 24 A·(A+B)-A 证：AB+AB=A(B+B) A·B+A·C+BC=A·B+A·( 25 A·1=A A,B+A:C+BCD=A,B+A·C 这个公式的含意是当两个乘积项 26AAB=A5:AA仍=A 相加时，若它们分别包含B和B两个 因子而其他囚子相同，则两项定能合并，且可将B和言两个因子消去。 四、式(24)A(A+B)=A 证：A(A+B)=A·A+A·B=A+A·B =A(1+B)=A1=A 该式说明，变黄A和包含A的和相乘时，其结果等于A,即可以将和消掉。 五、式(25)A·B+A·C+BC=A·B+AC 证：A·B+A·C+BC=A·B-A·C+BC(A+A) =A·B+AC+AB·C+A·BC =A·B(1+C)+AC(1+B) =A·B+AC 这个公式说明，若两个乘积项中分别包含A和A两个因子，而这两个乘积 项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。 从上式不难进一步导出 AB+A·C+B·CD=A·B+AC 六、式(26)A·AB=AB:A·A·B=A 证：AA·B=A(A+B)=A·A+AE-AB 上式说明，当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，则A这 个因子可以消去。 A·A·B=A(A+B)=A·A+A·B=A(1+B) =A 此式表明，当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的因子时，其结果 就等于A。 从以上的证明可以看到，这些常用公式都是从基本公式导出的结果。当然 还可以推导出更多的常用公式
1.4逻辑代数的基本定理 15· 1.4逻辑代数的基本定理 1.4.1代入定理 在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代人式中所有 A的位置，则等式仍然成立。这就是所谓代入定理。 因为变量A仅有0和1两种可能的状态，所以无论将A=0还是A=1代人 逻辑等式，等式都一定成立。而任何一个逻辑式的取值也不外和1两种，所以 用它取代式中的A时，等式自然也成立。因此，可以把代人定理看作无须证明 的公理。 利用代入定理很容易把表1.3.1中的基本公式和表1.3.3中的常用公式推 广为多变量的形式 【例1.4.1】用代人定理证明德·摩根定理也适用于多变量的情况。 解：已知二变量的德·摩根定理为 A+B=A·及A万=万+万 今以(B+C)代入左边等式中B的位置，同时以(B·C)代入右边等式中B 的位置，于是得到 A+(B+C)=A·(B+C=A·B·C A(B·C)=A+TBC)=A+万+C 为了简化书写，除了乘法运算的“"可以省略以外，对一个乘积项或逻辑式 求反时，乘积项或逻辑式外边的括号也可以省略。 此外，在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守与普通代数一样的运算优先 顺序，即先算括号里的内容，其次算乘法，最后算加法。 1.4.2反演定理 对于任意一个逻辑式Y,若将其中所有的“”换成“+”，“+"换成“.”，0换 成1,1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是了 这个规律叫做反演定理。 反演定理为求取已知逻辑式的反逻辑式提供了方便。 在使用反演定理时还需注意遵守以下两个规则： ①仍需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序。 ②不属于单个变量上的反号应保留不变
·16. 第一章注精代数基础 回顾下第1.3.1节中讲过的德·摩根定理便可发现，它只不过是反演定理 的一个特例而已。正是由于这个原因，才把它叫做反演律。 【例1.4.2】已知Y=A(BC)1CD,求了。 解：根据反演定理可写出 了=(A+BC)(C+D) =AC+RC+AD+BCD =AC+BC+AD 如果利用基本公式和常用公式进行运算，也能得到同样的结果，但是要麻烦 得多。 【例1.4.3】若Y=AB+C+D+C,求了。 解：依据反演定理可直接写出 了=(A+B)CD·C 1.4.3对偶定理 若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。 所谓对偶式是这样定义的：对于任何一个逻辑或Y,若将其中的“，”换成 “+“,"+"换成“”，0换成1,1换成0，则得到一个新的逻辑式Y,这个Y就叫 做Y的对偶式。或者说Y和Y互为对偶式。 例如，若Y=A(B+C),则Y=A+BC 若Y=AB+CD, 则Y'=A+B)(C+D) 若Y=AB+C+D, 则Y'=(A+B)CD 为了证明两个逻辑式相等，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成，因为 有些情况下证明它们的对偶式相等更加容易。 【例1.4.4】试证明表1.3.1中的式(17)即 A+BC=(A+B)(A+C) 解：首先写出等式两边的对偶式，得到 A(B+C)和AB+AC 根据乘法分配律可知，这两个对偶式是相等的，亦即A(B+C)=AB+ AC。由对偶定理即可确定原来的两式也一定相等，于是式(17)得到证明。 如果仔细分析一下表1.3.1就能够发现，其中的公式(1)和(11)、(2)和 (12).(3)和(13).(4)和(14)，(5)和(15)、(6)和(16)、(7)和(17)，(8)和(18)皆互 为对偶式。因此，只要能证明公式(1)~(8)成立，则公式(11)一(18)已无须另作 证明