1.1概述 7 于计数脉冲的分频比从低位到高位依次为5：2：1：1。可见，5211码每一位的权正 好与8421码十进制计数器4个触发器输出脉冲的分频比相对应。这种对应关系 在构成某些数字系统时很有用。 余3循环码是一种变权码，每一位的1在不同代码中并不代表固定的数值。 它的主要特点是相邻的两个代码之间仅有·位的状态不同。因此，按余3循环码 接成计数器时，每次状态转换过程中只有一个触发器翻转，译码时不会发生竞争- 冒险现象（详见第3.4节）。 1.1.3算术运算和逻辑运算 在数字电路中，1位二进制数码的0和1不仅可以表示数量的大小，而且可以 表示两种不同的逻辑状态。例如，可以用1和0分别表示一件事情的是和非，真和 伪，有和无、好和坏，或者表示电路的通和断、电灯的亮和暗等等。这种只有两种对 立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。 当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种 运算称为算术运算。二进制算术运算和十进制算术运算的规则基本相同，唯一的 区别在于二进制数是逢二进一而不是十进制数的逢十进一 例如，两个二进制数1001和0101的算术运算有 加法运算 减法运算 1001 1001 +0101 -0101 1110 0100 乘法运算 除法运算 1001 .11. ×0101 01011001 1001 0101 1000 0101 0000 0111 0101101 0101 0010 在数字电路和数字电子计算机中，二进制数的正、负号也是用0和1表示的。 在定点运算的情况下，以最高位作为符号位，正数为0，负数为1：以下各位为0和 1表示数值。用这种方式表示的数码称为原码。例如
·8 第一章逻精代数基础 (:01011001)2÷(189)n 符号位 (11011001).=(-89)m 符号位 为了简化运算电路，在数字电路中两数相减的运算是州它]的补码相加来完 成的。二进制数的补码是这样定义的： 最高位为符号位，正数为0，负数为1： 正数的补码和它的原码相同： 负数的补码可通过将原码的数值位逐位求反，然后在最低位上加【得到 【例1.1.1】计算(1001)2-(0101)2。 解：根据二进制数的运算规则可知 001 -0101 0100 在采用补码运算时，首先求出(+1001)：和(-0101)2的补码，它们是 [+1001]4=0:1001 符号位 〔-0101]4=1：1011 符号位 然后将两个补码相加并舍去进位 01001 +11011 含去-100100 则得到与前面同样的结果。这样就把减法运算转化成了加法运算。 此外，我们也不难发现，乘法运算可以用如法和移位两种操作实现，而除法运 算可以用减法和移位操作实现。因此，一进制数的加、减，乘、除运算都可以用加法 运算电路完成，这就大大简化了运算电路的钻构 当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因 果关系进行所谓逻辑运算。这种逻辑运算和算术运算有本质上的不问。下面将重 点介绍逻辑运算的各种规律。 1.2逻辑代数中的三种基本运算 1849年，英国数学家乔治·布尔(George Boole)首先提出了描述客观事物逻辑
【.2逻辑代数中的三种基本运算 .9 关系的数学方法一布尔代数。后来，由于布尔代数被广泛地应用于解决开关电 路和数字逻辑电路的分析与设计上，所以也把布尔代数叫做开关代数或逻辑代数， 本章所讲的逻辑代数就是布尔代数在二值逻辑电路中的应用。 逻辑代数中也用字丹表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，每 个逻辑变量的取值只有0和1两种可能。这里的0和1已不再表示数量的大小， 只代表两种不同的逻辑状态。 逻辑代数的基本运算有与、或、非三种。为便于理解它们的含意，先来看一个 简单的例子 图1.2.1中给出了三个指示灯的控制电路。在图()电路中，只有当两个开关 同时闭合时，指示灯才会亮：在图(b)电路中，只要有任何一个开关闭合，指示灯就 亮；而在图(c)电路中，开关断开时灯亮，开关闭合时灯反而不亮。 图1.2.1用于说明与、或、非定义的电暗 如果把开关闭合作为条件（或导致事物结渠的原因），把灯亮作为结果，那么图 1.2.1中的三个电路代表了三种不同的因果关系： 图(a)的例子表明，只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生， 这种因果关系叫做逻辑与，或者叫逻辑相乘。 图(b)的例子表明，在决定事物结果的诸条件中只要有任何一个满足，结果就 会发生。这种因果关系叫做逻辑或，也叫做逻辑相加 图()的例子表明，只要条件具备了，结果便不会发生；而条件不具备时，结果 一定发生。这种因果关系叫做逻辑非，也叫做逻辑求反。 若以A、B表示开关的状态，并以1表示开关闭合，以0表示开关断开：以Y 表示指示灯的状态，并以1表示灯亮，以0表示不亮，则可以列出以0、1表示的与、 或、非逻辑关系的图表，如表1.2.1,1.2.2和1.2.3所示。这种图表叫做逻辑真值 表，或简称为真值表。 在逻辑代数中，把与、或、非看作是逻辑变量A、B间的三种最基本的逻辑运 算，并以“，”表示与运算，以“+”表示或运算，以变量上边的“一”表示非运算。因 此，A和B进行与逻辑运算时可写成 Y=A·B (1.2.1) A和B进行或逻辑运算时可写成
10 第一章逻辑代数蒸础 表1.2.1与逻辑 表1.22或逻辑 表1.2.3非罗州 运算的值表 运算的真值表 运算的真值表 A 0 0 a 0 0 0 1 110 1 0 0 1 1 11 Y=A+B (1.2.2) 对A进行非逻辑运算时可写成 Y=A (1.2.3) 同时，把实现与逻辑运算的单元电路叫做与门，把实现或逻辑运算的单元电 路叫做或门，把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门（也叫做反相器）。 与、或、非逻辑运算还可以用图1.2.2所示的图形符号表示。这些图形符号也 用于表示相应的门电路。图中上边一行是目前国家标准局规定的符号，下边一行 是常见于国外一些书刊和资料上的符号。 与 非 A=D-YAD-￥A9-Y 图1.2.2与、或，非的图形符号 实际的逻辑问题往往比与、或、非复杂得多，不过它们都可以用与、或、非的组 合来实现。最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。表1.2.4 ~1.2.8给出了这些复合逻辑运算的真值表。图1.2.3是它们的图形逻辑符号和 运算符号。 表1,2,4与非逻辑的真徽表 表1.2.5或非逻辑的真值 A A 011 0 1 1 0 01 0 1 1 1 1 0
12逻辑代数中的三种基本运算 11 表1.2.6与或非逻辑的真值表 A BC DY 表1,2.7异或逻辑的真值表 001 BY 0 0 0 11 01 1 10 0 1 0 1 1 表1.2.8同或逻舞的真值表 10 0 1 10 0 1 10 001 10 1 0 1 图- 与非 或非 A□-y A-D-Y Y=A Y-A+B 与或非 a 异或 同或 Y=A·B+C,D AD-Y oY YA⊕B Y-A⊙B 图1,2.3复合逻细的图形符号和运算符号 出表1.2.4可见，将A、B先进行与运算，然后将结果求反，最后得到的即A、B 的与非运算结果。因此，可以把与非运算看作是与运算和非运算的组合。图 1.2.3中图形符号上的小圆圈表示非运算