5.1节：矩阵序列与矩阵级数 由定理5.1.2可知，矩阵A幂收敛的充要条件是A的Jordan标准形J幂收 敛.因此，J幂收敛的充要条件是<1或入；=1且m;=1. 推论5.1.1 设Sn=2A5,则S}收敛的充要条件是imA=O. k=0 4口+日1三·1至卡2分Q0 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日6176
5.1!: › SÜ› ?Í d½n5.1.2åß› Aò¬Òøá^á¥AJordanIO/Jò¬ Ò.œdßJò¬Òøá^á¥|λi | < 1½λi = 1Ömi = 1. Ìÿ5.1.1 Sn = Pn k=0 A kßK{Sn}¬Òøá^ᥠlim k→∞ A k = O. ½¬5.1.3 A ∈ C n×n ,e lim k→∞ A k = Oß°› A¥¬Ò› . Ìÿ5.1.2 A ∈ C n×n , ∀ε > 0ßK3~ÍM > 0߶|(A k ) ij | ≤ M[r(A) + ε] k . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 6 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 由定理5.1.2可知，矩阵A幂收敛的充要条件是A的Jordan标准形J幂收 敛.因此，J幂收敛的充要条件是<1或入=1且m:=1. 推论5.1.1 设Sn=2A,则{S}收敛的充要条件是1imA=0. k=0 定义5.1.3 设A∈Cmxn,若imAk=O,称矩阵A是收敛矩阵. k→00 4口+81三·1至卡2分Q0 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日6176
5.1!: › SÜ› ?Í d½n5.1.2åß› Aò¬Òøá^á¥AJordanIO/Jò¬ Ò.œdßJò¬Òøá^á¥|λi | < 1½λi = 1Ömi = 1. Ìÿ5.1.1 Sn = Pn k=0 A kßK{Sn}¬Òøá^ᥠlim k→∞ A k = O. ½¬5.1.3 A ∈ C n×n ,e lim k→∞ A k = Oß°› A¥¬Ò› . Ìÿ5.1.2 A ∈ C n×n , ∀ε > 0ßK3~ÍM > 0߶|(A k ) ij | ≤ M[r(A) + ε] k . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 6 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 由定理5.1.2可知，矩阵A幂收敛的充要条件是A的Jordan标准形J幂收 敛.因此，J幂收敛的充要条件是<1或入=1且m:=1. 推论5.1.1 设Sn=A,则{S}收敛的充要条件是imA=0. k=0 定义5.1.3 设A∈Cmxn,若imAk=O,称矩阵A是收敛矩阵. k→00 推论5.1.2 设A∈Cmxn,e>0,则存在常数M>0,使得(A)≤M[r(A)+e] -y 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日6176
5.1!: › SÜ› ?Í d½n5.1.2åß› Aò¬Òøá^á¥AJordanIO/Jò¬ Ò.œdßJò¬Òøá^á¥|λi | < 1½λi = 1Ömi = 1. Ìÿ5.1.1 Sn = Pn k=0 A kßK{Sn}¬Òøá^ᥠlim k→∞ A k = O. ½¬5.1.3 A ∈ C n×n ,e lim k→∞ A k = Oß°› A¥¬Ò› . Ìÿ5.1.2 A ∈ C n×n , ∀ε > 0ßK3~ÍM > 0߶|(A k ) ij| ≤ M[r(A) + ε] k . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 6 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 推论5.1.3 设A∈Cmxm,则矩阵A是收敛矩阵的充要条件是A的谱半径r(A)<1 4口++8+三·4至+2分QC 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日7/76
5.1!: › SÜ› ?Í Ìÿ5.1.3 A ∈ C n×nßK› A¥¬Ò› øá^á¥AÃåªr(A) < 1. yµ-B = 1 r(A)+ε Aßu¥r(B) < 1ßK lim k→∞ B k = O,= lim k→∞ (B k ) ij = 0(i, j = 1, 2, · · · , n). dÍ4Åk.53~ÍM > 0߶ |(B k ) ij | ≤ M (i, j = 1, 2, · · · , n). |(A k ) ij | ≤ M[r(A) + ε] k . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 7 / 76
5.1节：矩阵序列与矩阵级数 推论5.1.3 设A∈Cm×m,则矩阵A是收敛矩阵的充要条件是A的谱半径r(A)<1. 证：令B=+A,于是r(B)<1,则mB=0,即 → 1im(B*)j=0i,j=1,2,…,n. 由数列极限的有界性知存在常数M>0,使 得(B)≤M(,=1,2,…,n).故 I(A)i≤Mr(A)+e] 4口++8+三·4至+2分QC 李厚彪（数学科学学院） 矩阵分析 2020年9月15日7/76
5.1!: › SÜ› ?Í Ìÿ5.1.3 A ∈ C n×nßK› A¥¬Ò› øá^á¥AÃåªr(A) < 1. yµ-B = 1 r(A)+ε Aßu¥r(B) < 1ßK lim k→∞ B k = O,= lim k→∞ (B k ) ij = 0(i, j = 1, 2, · · · , n). dÍ4Åk.53~ÍM > 0߶ |(B k ) ij| ≤ M (i, j = 1, 2, · · · , n). |(A k ) ij| ≤ M[r(A) + ε] k . o˛J (ÍÆâÆÆ) › ©¤ 2020c915F 7 / 76