【函数单调性的证明】 函数单调性的定义,是证明函数单调性的依据 在某区间上,若任取xx2时,都有f(x1)<f(x2), 则∫(x)在这区间上是增函数 若任取x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则fx)在这 区间上是减函数 证明单调性的基本步骤: (1)在某区间上任取x1<x2(或x1>x2) (2)计算函数值的差f(x1)-f(x2),看其结果的正负, 以判断f(x1)>fx2),还是(x1)<fx2); (3)如果自变量x1与x2的大小顺序与函数值fx1) 与几(x2)的大小顺序相同,则函数在这个区间是增函数; 如果顺序相反,则是减函数
【函数单调性的证明】 在某区间上, 若任取 x1<x2 时, 都有 f(x1) < f(x2), 则 f(x) 在这区间上是增函数. 若任取 x1<x2 时, 都有 f(x1) > f(x2), 则 f(x) 在这 区间上是减函数. 函数单调性的定义, 是证明函数单调性的依据. 证明单调性的基本步骤: (1) 在某区间上任取 x1<x2 (或 x1>x2); (2) 计算函数值的差 f(x1) - f(x2), 看其结果的正负, 以判断 f(x1)>f(x2), 还是 f(x1)<f(x2); (3) 如果自变量 x1 与 x2 的大小顺序与函数值 f(x1) 与 f(x2) 的大小顺序相同, 则函数在这个区间是增函数; 如果顺序相反, 则是减函数
例2.物理学中的玻意耳定律p=1(k为正常数) 告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时, 压强P将增大试用函数的单调性证明之 证明:∵气体体积和压强都是正数, 则在区间0,+∞)内任取V1>V2>0, (1)-B(2)=h-k=(2-) ∵:V1>0,V2>0,V2-V1<0,K>0 k(V2-V1) <0, 12 即p(1)-p(J2)<0,得p(V1)<p(V2), 函数p=v是区间(0,+)上的减函数, s则体积V减小时,压强p增大
例 2. 物理学中的玻意耳定律 (k为正常数) 告诉我们, 对于一定量的气体, 当其体积 V 减小时, 压强 p 将增大. 试用函数的单调性证明之. V k p= 证明: ∵气体体积和压强都是正数, 则在区间 (0, +∞) 内任取 V1>V2>0, p(V1) - p(V2) = 1 V2 k V k - , ( ) 1 2 2 1 VV k V -V = ∵V1>0, V2>0, V2-V1<0, k>0, 0, ( ) 1 2 2 1 - VV k V V 即 p(V1) - p(V2) < 0, 得 p(V1) p(V2), ∴函数 是区间 (0, +∞)上的减函数, V k p= 则体积 V 减小时, 压强 p 增大
例3(课本探究).画出反比例函数y=的图象 (1)这个函数的定义域I是什么? 2)它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的?证明你 的结论 解:画出函数y=的图象如图: 2+\y (1)函数的定义域 Ⅰ={xx<0,或x>0} (2)函数在定义域内的区间 (-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数 证明:f(x1)f(x2)= X1
例3 (课本探究). 画出反比例函数 的图象. (1) 这个函数的定义域 I 是什么? (2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你 的结论. x y 1 = -1 1 -1 1 x y o 2 2 -2 -2 x y 1 = 解: 画出函数 的图象如图: x y 1 = (1) 函数的定义域 I = {x|x<0, 或 x>0}. (2) 函数在定义域 I 内的区间 (-∞, 0)上是减函数, 在区间(0, +∞)上也是减函数. 证明: 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) x x f x - f x = - , 1 2 2 1 x x x - x =
例3(课本探究).画出反比例函数y=的图象 (1)这个函数的定义域I是什么? 2)它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的?证明你 的结论 解:画出函数y=的图象如图: 2+\y (1)函数的定义域 2-1 在凼(x,0任取xx20 )頤裳在定义域{坡的区间 (,0)上减两数x2每区间0,+)上也是减函数 邇明:孔x)>9)=1-1=二, r1 函数在(-,0)上是减函数
-1 1 -1 1 x y o 2 2 -2 -2 x y 1 = 解: 画出函数 的图象如图: x y 1 = (1) 函数的定义域 I = {x|x<0, x>0}. (2) 函数在定义域 I 内的区间 (-∞, 0)上是减函数, 在区间(0, +∞)上也是减函数. 证明: 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) x x f x - f x = - , 1 2 2 1 x x x - x = 例3 (课本探究). 画出反比例函数 的图象. (1) 这个函数的定义域 I 是什么? (2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你 的结论. x y 1 = 在区间(-∞, 0)上任取 x1<x2<0, 则 x1x2>0, x2-x1>0, ∴ f(x1) - f(x2)>0, 即 f(x1) > f(x2), ∴函数在(-∞, 0)上是减函数
解:画出函数y=的图象如图: 2+\y (1)函数的定义域 Ⅰ={xx<0,x>0}. (2)函数在定义域Ⅰ内的区间 (-∞,0)上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数 证明:f(x)-f(x)=1-1=x2-x1 2 1~2 在区间(0,+∞)上任取x1>x2>0, 则xx2>0,x2-x1<0, f(x1)-f(x2)<0 即fx1)<f(x2), 函数在(0,+)上也是减函数.一
在区间(0, +∞)上任取 x1>x2>0, 则 x1x2>0, x2-x1<0, ∴ f(x1) - f(x2)<0, 即 f(x1) f(x2), ∴函数在(0, +∞)上也是减函数. -1 1 -1 1 x y o 2 2 -2 -2 x y 1 = 解: 画出函数 的图象如图: x y 1 = (1) 函数的定义域 I = {x|x<0, x>0}. (2) 函数在定义域 I 内的区间 (-∞, 0)上是减函数, 在区间(0, +∞)上也是减函数. 证明: 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) x x f x - f x = - , 1 2 2 1 x x x - x = 例3 (课本探究). 画出反比例函数 的图象. (1) 这个函数的定义域 I 是什么? (2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你 的结论