1637年，费马在一份名为《求最大值和最小值的 方法》的手稿中，使用“虚拟等式法”。比如一 个传统的问题：把定长的线段b分成两段x和b-x 何时乘积x(b-x)为最大？ 费马的方法是：以x+e代替x,即x+ex,因为 (x+e[b-(x+e]=b(x+e)-(x+e)2 =bx+be-x2-2xe-e2 引入“虚拟等式”：x(b-x)≈(x+e)[b-(x+e】 展开得： bx-x2 bx +be-x2-2xe-e2 消去相同的项，余项除以e,得：2x+e>b 舍弃含e的项，得真正等式：x=b/2
2 2 2 ( )[ ( )] ( ) ( ) 2 x e b x e b x e x e bx be x xe e 2 2 2 bx x bx be x 2xe e x(b x) (x e)[b (x e)]
瓦利斯：《无穷算术》(1655) ■John Wallis(1616- 1703) ·早年在剑桥大学学 习神学，20岁开始 专供数学，1649年 成为牛津大学几何 教授
P0p.339. Al江hs:2.3根. 3I hc inferiptarim aggtegata uo taae vera firali fer. 《无穷算术》 7t:oinu"cr计. S12mh3:aa:infer1tara时：igaa01itt:arIe,ke ron ulimam fubjungaun qux proxze::infentu.a:an: tannmdem catq p:o fguitex feforibis infcig a.cirum. Arithmetica feriptanfubAit:tere:ata:ran.n addartt:4;h.lchit"c ex amnihus aggrega:a retac era fpi.ali major eri;ti: a'ntam co prapia?accedec qu lu:fapponantut Scfucs adicrihi. Infinitotum,1655) Er limili forma proceden:lum ttit nmatatis mitalisi aliis Spinilium gencrious in Scbulio Prep.5.wei.u.aiis. PROP.XXXIX.Ixim/ I proponatur fries quaatitatem in Trin'i 0+1111 ratione Arithmetic-propertisah.an,live juxta ferem nauicrorum:Cubicoruin.contitite crefecntium,a prndto vel cinchcatarun,yuta ut 1+1236 1已，37,64，&c.冫propofrum fit inguirere quin:ha- bear illa ratiunem ad f:iem totidein maziie qua- 0+1+4 5 1.1 lium? Fiat inveRtiarin prr medum indutionis (nt in propI. 4+4+4 12 312 )E9-62 n t l-I mi工 0+1+4+9 14 11 0十4+分37=3i t方7r,i03一1+5… 888号8+ 9+9+9+9 36318 时y,+器=+ 。十1t9+27十5+.十125千25题4 216t2161101tu1+2t心tz16-:151: =主=世 02+1+22+.+n21,1 忍he deinc,, Ratio proveaienscft ubig;taorq ubquadrupla.fn Exat- n2+n2+n2+.+n236n
2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 , 1 1 2 3 6 0 1 4 5 1 1 , 4 4 4 12 3 12 0 1 4 9 14 1 1 , 9 9 9 9 36 3 18 .... 0 1 2 ... 1 1 ... 3 6 n n n n n n
“如果我们取一个量的无穷数列，从一个 点或者0开始，连续地以任何整数或有理 分数次幂的比例增加，则总和与项数同 样多的每项等于最大数的级数之比等于 这个幂的指数加一取倒数” 0+1+2+…+n n+n+n+..+n k+1 般地说，对于y=xP的曲线求积问题，他发现了：
/ 1 / 0 0 1 2 ... 1 ... 1 , 1 1 k k k k k k k k p q p q p q n n n n n k y x x dx 一般地说 对于 的曲线求积问题，他发现了：
巴罗的“微分三角形” 巴罗是剑桥大学第一任“卢 卡斯数学教授”，他也是 牛顿的老师。巴罗富有个 性，剑术高超、不修边幅、 爱好抽烟，他最迷恋的还 是神学，1669年，他接受 了国王的邀请到伦敦担任 “皇家牧师”，因而举荐 自己的学生牛顿担任“卢 Isaac Barrow,1630-1677 卡斯数学教授
Isaac Barrow,1630-1677