上海交通大学通识教育核心课程 SJTU core curriculum for general education 第五讲 微积分的创立、发展与批判
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微积分是人类智力的伟大成就之一，其地位介于自 然和人文科学之间，成为高等教育成果硕然的中 介。不幸的是，有时候教师采用机械的方法教授 微积分，不能展现其作为生动智力斗争成果所具 有的魅力。这种延续了2500多年的智力斗争的历 史，深深扎根于人类奋斗的许多方面，并且，只 要人们像了解大自然那样去努力认识自己，它就 还会继续发展下去 。 [美]R.柯朗
一 、微积分的创立 如果说微积分是人类智慧谱写的一曲“英 雄交响曲”，那么，它的序曲从是从什么 时候开始的呢？
微分的定义 若f(x)在[a,b]上连续，x是[a,b]内一点， 若极限 lim f(x+△y)-f(△x) △x→0 △x 对任意的△x一·0都存在，则称极限为f(x)在 点X=X处的导数，记作 df (o) 或f(x) dx
0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x 0 ' 0 ( ) ( ) df x f x dx ,或
积分的定义 在[a,b]取n-1个点，X,X2,Xn-4,且令a=Xo,b=Xn, a=Xo<X1<…<Xn1<Xn=b,△X=XrX-4,为[X, X]中任一点，作和 S.=∑f5)Ax i 记入=max△x,令no,入0；如果limSn存在， 且对各种不同的取点得到的值都一样，则称f(x) 在[a,b]上可积，且记极限值为 limS,["f(x)dx n>0,1-→0
1 ( ) n n i i i S f x , 0 lim ( ) b n a n S f x dx