第五讲相似矩阵及二次型 考试内容及要求 1,考试内容 (1)矩阵的特征值和特征向量的概念，性质，相似变换，相似矩阵的概念及性质，矩阵可相似对角化的充 分必要条件及相似对角矩阵，实对称矩阵的特征值，特征向量及其相似对角矩阵向量的内积，线性无关向量 组的正交规范化方法，规范正交基，正交矩阵及其性质， 二次型的秩惯性定理，二次型的标准形和规范形，用正 2、考试要求 ()理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量 (②)理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵 的方法： (③)掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质； (④)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的 标准形、规范形的概念以及惯性定理： (⑤)掌握用 交变换化 次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形： (6)理解正定二次型，正定矩阵的概念，并掌握其判别法。 矩阵的特征值与特征向量及相关概念 L.矩阵的特征值与特征向量的定义设A是n阶矩阵，若存在数入及非零的n维列向量a,使得4a=A ()成立则称入是矩阵A的特征值，称非零向量α是矩阵A的属于特征值入的特征向量 2.矩阵的特征多项式与特征方程的概念 由()得(AE-A)a=0(或(A-AE)a=0),因此，齐次线性方程组(AE-A)r=0有非零解，故行列 式AE-A4=0,即 -a1 -a12… A-Al= -a21入-a22…-a2m =0 (*) -0a1 -0nm2··入-0m (*)是入的n次方程，称为A的特征方程，左端是λE-A是入的n次多项式，记为(A),即fA)=AE-AL, 称为矩阵A的特征多项式。A的特征值即为A的特征方程的阶特征方程在复数范围内恒有解，其个数等于 方程的次数（重根按重数计算）， 如：若3阶矩阵的特征的形式为f)=(公-1)2(a-3),则4的3个特征值为1(2重)，3（单根） 两个重要结论：设n阶矩阵A=(ay)的特征值为A1,2,…,入n,则回)1+2+…+入n=a1+a2+ 因此A=0台A有一个特征值为0，等价地说，4≠0台A的特征值均不为0， 二特征值与特征向量的性质 若非零向量α是矩阵A的属于特征值入的特征向量.由定义（的）得 1
1 ˘ Éq› 9g. £SN9ᶠ1,£SN (1) › Aä⁄Aï˛Vg,5ü,ÉqCÜ,Éq› Vg95ü,› åÉqÈzø ©7á^á9ÉqÈ› ,¢È°› Aä,Aï˛9ŸÉqÈ› .ï˛S»,Ç5Ã'ï˛ |5âzê{,5âƒ,› 9Ÿ5ü. (2) g.9Ÿ› L´, ‹”CÜÜ‹”› ,g.ù,.5½n,g.IO/⁄5â/,^ CÜ⁄ê{zg.èIO/,g.9Ÿ› ½5 2!£á¶ (1) n)› Aä⁄Aï˛Vg95ü,¨¶› Aä⁄Aï˛; (2) n)Éq› Vg!5ü9› åÉqÈzø©7á^á,›ºÚ› zèÉqÈ› ê{; (3) ›º¢È°› Aä⁄Aï˛5ü; (4) ›ºg.9Ÿ› L´, )g.ùVg, )‹”CÜÜ‹”› Vg, )g. IO/!5â/Vg±9.5½n; (5) ›º^CÜzg.èIO/ê{,¨^ê{zg.èIO/; (6) n)½g.,½› Vg,ø›ºŸO{. ò › AäÜAï˛9É'Vg 1. › AäÜAï˛½¬ A¥n › ,e3Íλ9ö"nëï˛α,¶Aα = λα (*)§·,K°λ ¥› AAä,°ö"ï˛α¥› A·uAäλ Aï˛. 2. › Aıë™ÜAêßVg d(∗)(λE − A)α = 0(½(A − λE)α = 0), œd,‡gÇ5êß|(λE − A)x = 0kö"), 1 ™|λE − A| = 0, = |λE − A| = λ − a11 −a12 · · · −a1n −a21 λ − a22 · · · −a2n . . . . . . . . . −an1 −an2 · · · λ − ann = 0 (**) (∗∗)¥λ ngêß, °èAAêß, ܇¥|λE − A|¥λngıë™,Pè(λ),=f(λ) = |λE − A|, °è› AAıë™. AAä=èAAêß .Aêß3EÍâåSðk), ŸáÍ u êßgÍ(äUÍOé). X:e3 › A/™èf(λ) = (λ − 1)2 (λ − 3),KA3áAäè1(2), 3(¸ä). ¸áá(ÿ: n › A = (aij )Aäèλ1, λ2, · · · , λn, K(i) λ1 + λ2 + · · · + λn = a11 + a22 + · · · + ann = tr(A), λ1λ2 · · · λn = |A|. œd|A| = 0 ⇔ AkòáAäè0, d/`, |A| 6= 0 ⇔ AAä˛ÿè0. AäÜAï˛5ü eö"ï˛α¥› A·uAäλAï˛.d½¬(*) 1
(1)a是A属于特征值入的特征向量=a是齐次线性方程组(AE-A)x=0的非零解 (②)对非零数k,A(ka)=A(ka),因此，ka是A的属于特征值A的特征向量：若a,B是A的属于特征值A的 特征向量，则A(ka+lB)=A(ka)+Al8)=A(ka+l),因此，对数k,1,若ka+lB为非零向量，则ka+lB是A的 属于特征值入的特征向量说明属于同一个特征值的特征向量有很多) (3)A2a=A(42a)=A(a)=X4(a)=X2a,同理可得Aa=a,其中k为正整数.即：是A的 特征值，α是对应的特征向量. 设f(r)=anx”+…+a1+o,则f(A)=amAm+…+a1A+oE是A的多项式矩阵，因此 f(A)a (amA+..+aA+aoE)a=(amA"a+..+aAa+aoEa) +ao)a=f(X)o 例如，若1，-1,2是3阶矩阵A的特征值，则矩阵A2-2A-3E有特征值为：f(1),(-1),f(1),其中f()= 2-2x-3 ()若A可逆，则 -1a,因此，1a是A1的特征值，a是对应的特征向量.与上同理得，*是A的 特征值是对应的特征向量，其中k为整数，特别地可为负整数.因此，当4可逆时，在性质(3)中，)中x的 指数为负整数为，结论仍成立 例如，若1，-1,2是3阶矩阵A的特征值，则矩阵A2-2A-3E有特征值为：f(1),f(-1),f（1),其中f(x)= x-2-2红-3. (⑤)若A“为A的伴随矩阵且A可逆，则有(*)得A'Aa=A'a,于是A'a=以，即只是A的特征值， a是对应的特征向量. (6)若A=diag(A,·,入n)为对角阵，则A的特征值为，·，n (⑦)若齐次线性方程组A=0有非零解a,即Aa=0=0a,则0是A的特征值，Ar=0的所有非零解都 是属于0的特征向量 (⑧)设f(4)=0,其中f(A是f)关于A的多项式矩阵若入是A的特征值，则是f()的根 例如，若3阶矩阵满足A2-A=0,A是A的特征值，则2-入=0，A只可能为0,1. (⑨)若入是A的特征值，则AE-A=0,因此入E-A是不可逆矩阵：若入不是A的特征值，则AE-A≠0， 从而AE-A是可逆矩阵，特别地，0是A的特征值台A=0台A不可逆，A红=0的基础解系就是入=0的 线性无关的特征向量。 (10)若1,2，·，入m是矩阵A互不相同的特征值，a:是对应于入：的特征向量，则a1,a2,…,am线性无 关 (11)若A=(a,r(A)=1,则f()=AE-A川=Xn-(a1+…+ann)An-,A的n个特征值 是1=a11十…+anm,A2=…=m=0. (11)若A=a8,其中a=(a1,a2,…,an)T,B=(,b2,…,b)T为n维列向量，J()=AE-A= An-(a1b1+…+nbn)An-1,可见，若r(4)=1,则A的n个特征值是1=a1b1+…+anb=8Ta,= An=0. 2
(1) α¥A·uAäλAï˛ α¥‡gÇ5êß|(λE − A)x = 0ö"); (2) Èö"Ík, A(kα) = λ(kα), œd,kα ¥A·uAäλAï˛; eα, β¥A·uAäλ Aï˛,KA(kα+lβ) = A(kα)+A(lβ) = λ(kα+lβ),œd, ÈÍk, l,ekα+lβèö"ï˛,Kkα+lβ¥A ·uAäλAï˛.(`²·u”òáAäAï˛kÈı.) (3) A2α = A(A2α) = A(λα) = λA(α) = λ 2α, ”nåAkα = λ kα, Ÿ•kèÍ. =: λ k¥Ak Aä, α¥ÈAAï˛. f(x) = anx n + · · · + a1 + a0,Kf(A) = amAm + · · · + a1A + a0E¥Aıë™› ,œd f(A)α = (amAm + · · · + a1A + a0E)α = (amAmα + · · · + a1Aα + a0Eα) = amλ mα + · · · + a1λα + a0α = (amλ mα + · · · + a1λα + a0)α = f(λ)α. œd, f(λ)¥f(A)Aä, α¥ÈAAï˛. ~X, e1, −1, 2¥3 › AAä,K› A2 − 2A − 3EkAäè:f(1), f(−1), f(1), Ÿ•f(x) = x 2 − 2x − 3. (4) eAå_, KA−1α = λ −1α, œd,λ −1α¥A−1Aä, α¥ÈAAï˛.ܲ”n, λ k¥Ak Aä,α¥ÈAAï˛,Ÿ•kèÍ,AO/åèKÍ. œd,Aå_û, 35ü(3)•,f(x)•x çÍèKÍè,(ÿE§·. ~X, e1, −1, 2¥3 › AAä,K› A−2−2A−3EkAäè: f(1), f(−1), f(1), Ÿ•f(x) = x −2 − 2x − 3. (5) eA∗èAäë› ÖAå_, Kk(∗) A∗Aα = A∗λα, u¥A∗α = |A| λ , =|A| λ ¥A∗Aä, α¥ÈAAï˛. (6) eA = diag(λ1, · · · , λn)èÈ ,KAAäèλ1, · · · , λn. (7) e‡gÇ5êß|Ax = 0kö")α,=Aα = 0 = 0α, K0¥AAä, Ax = 0§kö")— ¥·u0Aï˛. (8) f(A) = 0, Ÿ•f(A)¥f(x) 'uAıë™› .eλ¥AAä, Kλ¥f(x)ä. ~X, e3 › ˜vA2 − A = 0,λ¥AAä,Kλ 2 − λ = 0, λêåUè0, 1. (9) eλ¥AAä,K|λE−A| = 0 , œdλE−A ¥ÿå_› ; eλ ÿ¥AAä, K|λE−A| 6= 0, l λE − A ¥å_› , AO/, 0¥AAä⇔ |A| = 0 ⇔ A ÿå_,Ax = 0 ƒ:)X“¥λ = 0 Ç5Ã'Aï˛. (10) eλ1, λ2, · · · , λm¥› ApÿÉ”Aä, αi¥ÈAuλiAï˛, Kα1, α2, · · · , αmÇ5à '. (11) eA = (aij ), r(A) = 1, Kf(λ) = |λE − A| = λ n − (a11 + · · · + ann)λ n−1 , AnáAä ¥λ1 = a11 + · · · + ann, λ2 = · · · = λn = 0. (110 ) eA = αβT , Ÿ•α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) Tènëï˛,f(λ) = |λE − A| = λ n − (a1b1 + · · · + anbn)λ n−1 ,åÑ,er(A) = 1,KAnáAä¥λ1 = a1b1 + · · · + anbn = β T α, λ2 = · · · = λn = 0. 2
例如，若a,B为3维列向量且3Ta=2,则A=a8T的特征值为2,0,0. (12)当入是矩阵A的k重特征值时，矩阵A属于A的线性无关的特征向量的个数不超过k个 例5.1设3阶矩阵矩阵A的特征值是1,2,3则A+2E的特征值是一，A1的特征值是一，A的特 征值是一，A2+E的特征值是 ,(4-2E)2的特征值是 例5.2（仙）设3阶矩阵A的特征值为2,3，入.若24=-48，则入=一 (2)设3阶矩阵A的特征值是1，-1,2，则14°+34-2E= 例5.3已知A是n阶矩阵，满足A2-24-3E=0,求矩阵A的特征值. 例5.4()设3阶矩阵A的特征值互不相同若行列式4=0，则A的秩为 (2)若3维列向量a,3满足aTB=2,共中aT为a的转置，则3aT的非零特征值为 三，特征值与特征向量的求法 步骤：)由特征方程E-A川=0求矩阵A的全部特征值入位=1,2，·，m),其中可能有重根 (②)对每个入，解齐次方程组(AE-A)z=0.设(E-A)=r,得基础解系（即对应于X:的线性无关的 特征向量)，红，…，5-，则属于入的全部特征向量为k11+k2+…+kn-r,5m-n,其中，2，…，kn- 是不全为零的任意常数 注求特征值时，最好先用行列式的性质提取出一次因子，然后展开。在不能提取出一次因子只能用 下面方法考虑，以3阶矩阵A=(a)为例， 若)=-a:+e+we+A-W的系数为数 则A的特征值为A因子. 用 阵的特征值和 四相似矩阵
~X, eα, βè3ëï˛Öβ T α = 2,KA = αβTAäè2, 0, 0. (12) λ¥› AkAäû, › A·uλÇ5Ã'Aï˛áÍÿáLká. ~5.1 3 › › AAä¥1, 2, 3, KA + 2EAä¥ , A−1Aä¥ , A∗A ä¥ , A2 + E Aä¥ , (A∗ − 2E) 2 Aä¥ . ~5.2 (1) 3 › AAäè2, 3, λ.e|2A| = −48,Kλ = . (2) 3 › AAä¥1, −1, 2 , K|A∗ + 3A − 2E| = . ~5.3 ÆA¥n › ,˜vA2 − 2A − 3E = 0,¶› AAä. ~5.4 (1) 3 › AAäpÿÉ”.e1™|A| = 0 ,KAùè . (2) e3ëï˛α, β˜vα T β = 2 ,Ÿ•α Tèα=ò, KβαTö"Aäè . n,AäÜAï˛¶{ ⁄½: (1) dAêß|λE − A| = 0¶› A ‹Aäλi(i = 1, 2, · · · , m) ,Ÿ•åUkä. (2) Èzáλi , )‡gêß|(λiE−A)x = 0 .r(λiE−A) = ri ,ƒ:)X(=ÈAuλiÇ5Ã' Aï˛)ξ1, ξ2, · · · , ξn−ri , K·uλi ‹Aï˛èk1ξ1+k2ξ2+· · ·+kn−ri ξn−ri ,Ÿ•k1, k2, · · · , kn−ri ¥ÿ è"?ø~Í. 5 ¶Aäû, Å–k^1™5üJ—ògœf,,–m. 3ÿUJ—ògœfêU^ e°ê{ƒ,±3 › A = (aij )è~, ef(λ) = λ 3 − (a11 + a22 + a33)λ 2 + ( a11 a12 a21 a22 + a11 a13 a31 a33 + a22 a23 a32 a33 )λ − |A|XÍèÍ, KAAäè|A|œf. ~5.5 ¶e› Aä⁄Aï˛ (1) −1 1 0 −4 3 0 1 0 2 (2) −2 1 1 0 2 0 −4 1 3 (3) A = 2 2 −2 2 5 −4 2 −4 5 . o Éq› 3
(1)定义设A,B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,则称矩阵A与B相似，记为A~B. (2)性质 间)A~B→B~4 回A~B→E-川=E-吼，从而4B有相同的特征值公a:=三6(4，B有相同的迹。 r(A)=r(B,AM=IB卧 ()若A~B,设P-1AP=B,则P-1AP=B”,可用相似求方幂，即A"=PB"P-1: ()A~B→AT~BT; (W)A~B且A,B都可逆，则A-1~B-1: (i)A~B,B~C→A~C. 例5.6己知矩阵A= 234的特征值之和为3，特征值之积为-24，则6=.一 -11-1 例5.7设A是3阶矩阵，a1,a2,a是3维列线性无关的列向量，且Aa1=4a1-4a2+3ag,Aa2=-6a1- a2+ag,Aag=0求矩阵A的特征值. /200 例5.8(1)设a,3为3维列向量，3T为3的转置，若矩阵a8r相似于000 则Ta= 000 300 (2)设a=(1,1,1)T,B=(1,0,k)T.若矩阵a8T相似于 000则k= 000 五矩阵的相似对角化 (1)矩阵可相似对角化的定义如果阶矩阵A与对角矩阵A相似，则称A可相似对角化，记成A~A (2)矩阵可相似对角化的充分必要条件 分析如果n阶矩阵A与对角矩阵A=diag(1,2,…,入)相似，则存在可逆矩阵P使得P-1AP=A, 即A 9=PA.令P-(6,2,…,n则 A2 A(6,62,…,n)=(,62,…,n) =(AM1,A2,,An5n. 4
(1) ½¬ A, B ¥n › ,X3å_› P,¶P −1AP = B,K°› AÜB Éq,PèA ∼ B. (2) 5ü (i) A ∼ B ⇒ B ∼ A; (ii) A ∼ B ⇒ |λE − A| = |λE − B|, l A, BkÉ”Aä, Pn i=1 aii = Pn i=1 bii(A, BkÉ”,), r(A) = r(B), |A| = |B|; (iii) eA ∼ B, P −1AP = B , KP −1AnP = Bn,å^Éq¶êò,=An = P BnP −1 ; (iv) A ∼ B ⇒ AT ∼ BT ; (v) A ∼ BÖA, B—å_,KA−1 ∼ B−1 ; (vi) A ∼ B, B ∼ C ⇒ A ∼ C. ~5.6 Æ› A = a 1 b 2 3 4 −1 1 −1 AäÉ⁄è3,AäÉ»è-24,Kb = . ~5.7 A¥3 › ,α1, α2, α3¥3ëÇ5Ã'ï˛,ÖAα1 = 4α1 − 4α2 + 3α3, Aα2 = −6α1 − α2 + α3, Aα3 = 0 ¶› AAä. ~5.8 (1) α, βè3ëï˛,β Tèβ=ò,e› αβTÉqu 2 0 0 0 0 0 0 0 0 , Kβ T α = . (2) α = (1, 1, 1)T , β = (1, 0, k) T .e› αβTÉqu 3 0 0 0 0 0 0 0 0 , Kk = . › ÉqÈz (1) › åÉqÈz½¬ XJn › AÜÈ› ΛÉq,K°AåÉqÈz,P§A ∼ Λ. (2) › åÉqÈzø©7á^á ©¤ XJn › AÜÈ› Λ = diag(λ1, λ2, · · · , λn) Éq,K3å_› P¶P −1AP = Λ, =AP = PΛ. -P = (ξ1, ξ2, · · · , ξn), K A(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) λ1 λ2 . . . λn = (λiξ1, λ2ξ2, · · · , λnξn). 4
因此A=入，1≤i<n.于是入是A的特征值，是对应的特征向量.由P可逆知61：62…，6n线性无 关.于是有 阶方阵A与对角矩阵相似二A有n个线性无关的特征向量：特别地，若A有n个不同的特征值，在A可以 对角化 设，2，…，Am是A的所有不同的特征值其重数依次为1，k2,…,km且+2++km=n,秩r(E A)= ()若m=n,则k1=k2=km=1,,2,…,入为单根，因此，对所有1≤i≤,齐次方程 组(，E-A)r=0的基础解系中只有一个线性无关的解向量，此时秩r(,E-A)=n-1,于是A有n个线 性无关的特征向量，4A可以对角化. (②)若m<m,则k1,k2,·,km中至少有一个k大于1.则在齐次方程组（公E-A)z=0中，若基础解析 中解向量的个数小于，此时n一<,从而A的所有线性无关的特征向量的个数小于m,此时A不能对 角化.因此有 A与对角矩阵相似=对每个重数k:>1的特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于入，的重 数k=方程组(A,E-A)x=0的基础解析中解向量的个数为k=秩n-r(,E-A)=k 例如在例5.5中的(1)中矩阵不能对角化，为什么？ /001 例5.9设A=11工 ,问当x为何值时，A可以对角化 100 (③)相似对角化A为对角矩阵A的解题步骤 第一步，求出A的特征值，2，，Am,设入，的重数为 第二步，对每个，解齐次线性方程组(A:E-A)r=0的基础解析：，…， 可得所对应的线性无关的特征向量1，…，1k,·,m1,·,mk 第三步，构造可逆矩阵P-(⑤， .F …,6mkn,则 P-1AP= 入m 注意P中1，a2,·,an和1,2，·，Am的位置是可以变化的，但务必一一对应 问题上述的可逆矩阵P是否唯一？ -211 例5.10设A= 020 求可逆矩阵P使P-1AP为对角阵 、-413 6
œdAξi = λiξi , 1 ≤ i ≤ n.u¥λi¥AAä, ξi¥ÈAAï˛.dPå_ξ1, ξ2, · · · , ξnÇ5à '. u¥k n ê AÜÈ› Éq AknáÇ5Ã'Aï˛; AO/, eAknáÿ”Aä,3Aå± Èz. λ1, λ2, · · · , λm¥A§kÿ”Aä,ŸÍùgèk1, k2, · · · , km Ök1+k2+· · ·+km = n,ùr(λiE− A) = ri . (1) em = n, Kk1 = k2 = km = 1, λ1, λ2, · · · , λmè¸ä, œd, ȧk1 ≤ i ≤ n, ‡gêß |(λiE − A)x = 0ƒ:)X•êkòáÇ5Ã')ï˛, dûùr(λiE − A) = n − 1, u¥AknáÇ 5Ã'Aï˛,Aå±Èz. (2) em < n, Kk1, k2, · · · , km •ñkòákiåu1.K3‡gêß|(λiE − A)x = 0•,eƒ:)¤ •)ï˛áÍuki , dûn − ri < ki , l A§kÇ5Ã'Aï˛áÍun, dûAÿUÈ z. œdk AÜÈ› Éq ÈzáÍki > 1Aäλi ,ŸÇ5Ã'Aï˛áÍT– uλi Íki êß|(λiE − A)x = 0ƒ:)¤•)ï˛áÍèki ùn − r(λiE − A) = ki . ~X3~5.5•(1)•› ÿUÈz, èüo? ~5.9 A = 0 0 1 1 1 x 1 0 0 , Øxè¤äû, Aå±Èz. (3) ÉqÈzAèÈ› Λ )K⁄½ 1ò⁄, ¶—AAäλ1, λ2, · · · , λm, λiÍèki ; 1⁄, Èzáλi , )‡gÇ5êß|(λiE − A)x = 0ƒ:)¤: ξi1, · · · , ξiki . å§ÈAÇ5Ã'Aï˛ξ11, · · · , ξ1ki , · · · , ξm1, · · · , ξmkm. 1n⁄, Eå_› P = (ξ11, · · · , ξ1ki , · · · , ξm1, · · · , ξmkm), K P −1AP = λ1 . . . λ1 . . . λm . . . λm . 5ø P•α1, α2, · · · , αn⁄λ1, λ2, · · · , λm†ò¥å±Cz, ÷7òòÈA. ØK ˛„å_› P¥ƒçò? ~5.10 A = −2 1 1 0 2 0 −4 1 3 , ¶å_› P¶P −1APèÈ . 5