第十三讲 随机事件和概率 一.考试内容与要求 分数一、三有不同要求，区分了解、理解、掌握（本次课中要求均一致）。 1,考试内容 随机事件与样本空间、事件的关系与运算 ,完各事件组、概率的概念、概率的基本性质 古典概型、几何概型、条件概率、概率的基本公式、事件的独立性、独立重复试验。 2.考试要求 (1)了解样本空间的概念，理解随机事件的将今，堂据事件间的关系及坛篁。 (3)理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算的方法，理解独立重 复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 二.考试内容解析 古典概型 几何概型 加法B+C 样本空间2 减法B-C 随机试验E→ 随机事件A →P(4)五大公式条件概率B/C和乘法公式B(C 全概公式 贝叶斯公式 独立性 贝努里概型 (一)随机事件与样本空间 1.基本概念 必然现象：在一定条件下必然出现的现象。 随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。 随机试验：满足三个条件的试验：(1)可以在相同条件下重复进行：(2)每次试验结果不止 一个，且可以事先明确所有可能出现的结果：(3)进行一次试验之前，不能确定会出现哪 个结果。 样本空间：试验的所有基本结果的集合，用Ω表示。 事件：样本空间的子集，即随机试验的可能的结果，常用A,B,C,…表示
1 第十三讲 随机事件和概率 一.考试内容与要求 分数一、三有不同要求，区分了解、理解、掌握（本次课中要求均一致）。 1.考试内容 随机事件与样本空间、事件的关系与运算、完备事件组、概率的概念、概率的基本性质、 古典概型、几何概型、条件概率、概率的基本公式、事件的独立性、独立重复试验。 2.考试要求 （1） 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。 （2） 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何 型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式. （3） 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算的方法，理解独立重 复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 二.考试内容解析 ( ) / B C B C E P A B C BC A + − → → 古典概型 几何概型 加法 减法 样本空间 随机试验 五大公式 条件概率 和乘法公式 随机事件 全概公式 贝叶斯公式 独立性 贝努里概型 （一）随机事件与样本空间 1.基本概念 必然现象：在一定条件下必然出现的现象。 随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。 随机试验：满足三个条件的试验：（1）可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验结果不止 一个，且可以事先明确所有可能出现的结果；（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一 个结果。 样本空间：试验的所有基本结果的集合，用 表示。 事件：样本空间的子集，即随机试验的可能的结果，常用 A，B，C， 表示
必然事件：每次试验中必然发生的事件，用2表示。 不可能事件：每次试验中不可能发生的事件，用Φ表示。 基本事件 个元素构成的单点集 2.事件间的关系和运算 关系：包含，相等，互不相容，互逆 运算：并，交，差 (1)句含：A二B:事件A发牛必然导致事件B发生 (2)相等： AC B且AB (3)互不相容：事件A与B不可能同时发生，即AB=中 (4)互逆：若AUB=2且AB=中，则称A与B互逆. 显然，互逆一定互斥，互斥不一定互逆。 (5)并：AUB:事件A与B中至少有一个发生。 AAB:事件A与B同时发生 (7)差：A-B:事件A发生而B不发生。 (8)完备事件组：若事件A,A,…满足U4=2,且A4=(≠)，并且P(4)>0, 则称之为完备事件组。完备事件组可以是有限的，也可以是可数的。 3.话算独 (1)交换律 (2)结合律 (3)分配律 (4)对偶律 (二)事件的概率 概率是事件出现可能性大小的度量，用P(4)表示事件A的概率。 1.概率的概念 在样本空间中，对于每一个事件A,都有唯一的实数P()和它对应，且P()是满足 下列条件的事件A的函数： (1)非负性：P(A)≥0 (2)规范性：对于必然事件2，有P(2)=1 (3)可列可加性：对于两两互斥的可列无穷多个事件A,1=1,2,,有 )-P(4) 则称P(4)为事件A的概率。 2.概率的基本性质 (1)P(①)=0，注意，反之不然！
2 必然事件：每次试验中必然发生的事件，用 表示。 不可能事件：每次试验中不可能发生的事件，用 表示。 基本事件：由一个元素构成的单点集。 2.事件间的关系和运算 关系：包含，相等，互不相容，互逆 运算：并，交，差 （1）包含： A B ：事件 A 发生必然导致事件 B 发生 （2）相等： A B = ： A B 且 A B （3）互不相容：事件 A 与 B 不可能同时发生，即 AB = （4）互逆：若 A B = 且 AB = ，则称 A 与 B 互逆。 显然，互逆一定互斥，互斥不一定互逆。 （5）并： A B ：事件 A 与 B 中至少有一个发生。 （6）交： A B ：事件 A 与 B 同时发生。 （7）差： A B− ：事件 A 发生而 B 不发生。 （8）完备事件组：若事件 1 2 A A, , 满足 i i A = ，且 A A i j i j = ( ) ，并且 ( ) 0 P Ai ， 则称之为完备事件组。完备事件组可以是有限的，也可以是可数的。 3.运算律 （1）交换律 （2）结合律 （3）分配律 （4）对偶律 （二）事件的概率 概率是事件出现可能性大小的度量，用 P A( ) 表示事件 A 的概率。 1.概率的概念 在样本空间中，对于每一个事件 A ，都有唯一的实数 P A( ) 和它对应，且 P A( ) 是满足 下列条件的事件 A 的函数： （1） 非负性： P A( ) 0 （2） 规范性：对于必然事件 ，有 P( ) 1 = （3） 可列可加性：对于两两互斥的可列无穷多个事件 , 1,2, A i i = ，有 ( ) 1 1 i i i i P A P A = = = 则称 P A( ) 为事件 A 的概率。 2.概率的基本性质 （1） P( =) 0 ，注意，反之不然！
(2)有限可加性：设事件A,i=L2,…,n,两两互斥，有 P04-2P(4) (3)如果AcB,则P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)sP(B (4)对于任意事件A,有P(=1-P(A) (5)对于任意事件A,B,有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) o=oa,=o,)- 设任一事件A,它是由@1,2…0n组成的，则有 P(A)={(U()U…U(on)}=Po,)+Po2)+…+P(om) =m=A所包含的基本事件数 基本事件总数 4.几何型概率 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每 个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A, P(A)=L(A) 其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 5.条件概率 定义设A、B是两个事件，且P(4>0,则称1)为事件A发生条件下，事件B发 P(A) 生的条件概率，记为P(B/A)=PLA圆 P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(2B)=1→P(AB)=1-P(AB) 6.计算概率的几个公式： (1)加法公式：对于任意事件A,B,C,有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
3 （2）有限可加性：设事件 , 1,2, , A i n i = ，两两互斥，有 ( ) 1 1 n n i i i i P A P A = = = （3）如果 A B ，则 P B A P B P A ( − = − ) ( ) ( ) ，且 P A P B ( ) ( ) （4）对于任意事件 A ，有 P A P A ( ) = −1 ( ) （5）对于任意事件 A ， B ，有 P A B P A P B P AB ( = + − ) ( ) ( ) ( ) 3.古典型概率 1° = 1 ,2 n ， 2° n P P P n 1 ( ) ( ) ( ) 1 = 2 = = 。 设任一事件 A ，它是由 1 2 m , 组成的，则有 P A( ) = = ( ) ( ) ( ) 1 2 m ( ) ( ) ( ) P 1 + P 2 ++ P m n m = 基本事件总数 A所包含的基本事件数 = 4.几何型概率 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每 一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A ， 有 ( ) ( ) ( ) = L L A P A 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 5.条件概率 定义 设 A 、 B 是两个事件，且 P A( ) 0 ，则称 ( ) ( ) P A P AB 为事件 A 发生条件下，事件 B 发 生的条件概率，记为 P(B / A) = ( ) ( ) P A P AB 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P B ( =) 1 = − P A B P A B ( ) 1 ( ) 6.计算概率的几个公式： （1）加法公式：对于任意事件 A ， B ，C ,有 P A B P A P B P AB ( = + − ) ( ) ( ) ( ) P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ( = + + − − − + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
上式可以推广到多个事件的情形。 (2)减法公式：对于任意两个事件A,B有 P(A-B)=P(A)-P(AB) (3)乘法公式：对于任意事件A,B,若P(4A)>0,则 P(AB)=P()P(BA) 对于n个事件4,4，…An,若P(44…An)>0,则有 P(AA2…A)=P(A)P(AA)…P(A4…An） (4)全概率公式：设A,A,…A是一个完备事件组，则对于任意事件A,有 P()-P(AA)P(4) (⑤)贝叶斯公式：设A,A,…An是一个完备事件组，则对于任意事件A(P(4A)>0), 有 P(A)P(A4) P44zPP=12. (三)事件的独立性与独立重复试验 1.独立事件 (1)两个事件独立：P(AB)=P(A)P(B) 如果两事件A与B独立，则事件A与B,A与B,A与B也分别独立。 (2)多个事件相互独立：对于个事件A,A,…A,如果其中任两个事件均相互独立，即 对任意1≤1<j≤n,有P(4A）=P(4)P(A),则称A,A,…A两两独立：如果其中 任何k(2≤k≤n)个事件：A,A,A(1≤<<<≤n),均有 P(4A…A)=P(4)P(4)…P(4)则称事件A,A,…An相互独立。 2.独立试验 (1)贝努里试验：只有两个可能结果A,A的试验。 (2)n重贝努里试验：将一贝努里试验重复独立地进行n次，称之为n重贝努里试验。 设在每次试验中P(A)=p(0<p<1),则在n重贝努里试验中，事件A出现k次的概 4
4 上式可以推广到多个事件的情形。 （2）减法公式：对于任意两个事件 A ， B 有 P A B P A P AB ( − = − ) ( ) ( ) (3)乘法公式：对于任意事件 A ， B ，若 P A( ) 0,则 P AB P A P B A ( ) = ( ) ( ) 对于 n 个事件 1 2 , , A A A n ,若 P A A A ( 1 2 1 n− ) 0 ,则有 P A A A P A P A A P A A A ( 1 2 1 2 1 1 1 n n n ) = ( ) ( ) ( − ) （4）全概率公式：设 1 2 , , A A A n 是一个完备事件组，则对于任意事件 A ，有 ( ) ( ) ( ) 1 n i i i P A P A A P A = = （5）贝叶斯公式：设 1 2 , , A A A n 是一个完备事件组，则对于任意事件 A （ P A( ) 0 ）, 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i k k k P A P A A P A A P A P A A = , i =1,2, （三）事件的独立性与独立重复试验 1.独立事件 （1）两个事件独立： P AB P A P B ( ) = ( ) ( ) 如果两事件 A 与 B 独立，则事件 A 与 B , A 与 B ， A 与 B 也分别独立。 （2）多个事件相互独立：对于 n 个事件 1 2 , , A A A n ，如果其中任两个事件均相互独立，即 对任意 1 i j n ,有 P A A P A P A ( i j i j ) = ( ) ( ) ,则称 1 2 , , A A A n 两两独立；如果其中 任 何 k （ 2 k n ） 个事件： 1 2 , , , k A A A i i i ( 1 2 1 k i i i n ), 均 有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 k k P A A A P A P A P A i i i i i i = ,则称事件 1 2 , , A A A n 相互独立。 2.独立试验 （1）贝努里试验：只有两个可能结果 A ， A 的试验。 （2）n 重贝努里试验：将一贝努里试验重复独立地进行 n 次，称之为 n 重贝努里试验。 设在每次试验中 P A p ( ) = (0 1 p ) ,则在 n 重贝努里试验中，事件 A 出现 k 次的概
率为Cp-p)-t 三.例题详解 例1.袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球， 取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 答案：子 【提示】本盟主要考查古典概率的计算、全概率公式的应用及买彩票原理。 解法1：由“买彩票模型”立刻可知，第二个人抽得黄球的概率仍为三 解法2： 【典型错误】不知道“买彩票模型”，也不会全事件划分，而是直接把第一个人取得的球去 神后，求第二个人取得黄球的概*为号 例2.设两两独立事件A、B、C满足：ABC=,P()=P(B)=P(C)<),且己知 P(4UBUC)=6则P(4=— 备美子 提示】本题主要考查一般加法公式、独立性。 解 例3设事件A、B、C满足：P(A=P(B)=P(C),P(4B)=0,P(4C)= P(BC)=求P(4UBUC)的值. 提示】本题主要考查：零概率事件并不一定是不可能事件及概率的单调性 解
5 率为 (1 ) k k n k C p p n − − . 三.例题详解 例 1.袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球，30 个白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球， 取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是__________. 答案： 2 5 . 【提示】本题主要考查古典概率的计算、全概率公式的应用及买彩票原理. 解法 1：由“买彩票模型”立刻可知，第二个人抽得黄球的概率仍为 2 5 . 解法 2： 【典型错误】不知道“买彩票模型”，也不会全事件划分，而是直接把第一个人取得的球去 掉后，求第二个人取得黄球的概率为 19 49 . 例 2. 设两两独立事件 A 、B 、C 满足： ABC = ， ( ) ( ) ( ) 1 2 P A P B P C = = ，且已知 ( ) 9 16 P A B C = ，则 P A( ) = ______. 答案： 1 4 . 【提示】本题主要考查一般加法公式、独立性. 解： 例 3.设事件 A 、 B 、C 满足： ( ) ( ) ( ) 1 = 2 P A P B P C = = ， P AB ( ) = 0, ( ) 1 3 P AC = ， ( ) 1 4 P BC = ,求 P A B C ( ) 的值. 答案： 11 12 . 【提示】本题主要考查；零概率事件并不一定是不可能事件及概率的单调性. 解：