例5.11已知A 能对角化，求A 六实对称矩阵的特性及用正交矩阵化A为相似标准形的解题方法 (一)向量的内积长度及正交性 1.向量的内积设有n维列向量a=(a1,a2,…,an)T,3=(b1,b2,…,bn)T,令(a,)=aTB=6Ta= a1+2b2+…+anbn,(a,3)称为a与B的内积. 2.内积的性质设a,B,y为n维列向量，入为实数，则 (i)(a.B)=(B.a:ii)(a.B)=A(3.a:(ii)(a+3.y)=(a.+(B.y):(iv）a=0时.(a.a)=0, a≠0时，(a,a)>0. 3.向量的长度设a=(a1,2,…,an)T令la=Va,a=√a++…+a层，al称为a的长度. 当lal=1时，a为单位向量. 4.正交向量组和单位正交向量组若(a,)=0,则称a与3正交若非零向量组a1,a2,·,an两两正 交，即(a =0,i≠j,则称a an为正交向量组，若a1,a2,…,an为正交向量组，每个a4=1(1≤ 1S).则称01,02，…，0n为规范正交向量组 5.Schmidt正交化化线性无关向量组am,a2,·a,为规范正交向量组 ()先正交化令=1,3=2-月 月=，-路1--…- -1 则3,2，…：A,为正交向量组： (②)再单位化令=高，1≤i≤，1,2，…，x为规范正交向量组. 5.正交矩阵若n阶矩阵A满足ATA=E(即A-1=A,则称A为正交矩阵. 若令A=(a1,a2,…,an),由4FA=E得la=1,(a,a)=0i≠).即a1,2,…,an为规范正交向量 组同理，A的列向量组也为规范正交向量组， 6.正交矩阵的性质 (1)A为正交矩阵台A的行向量组为规范正交向量组÷A的列向量组为规范正交向量组. (2)A为正交矩阵台A~1为正交矩阵 (3)A为正交矩阵→A=士1. (4)A,B为正交矩阵→AB为正交矩阵， 6
~5.11 ÆA = −1 1 0 −2 2 0 4 x 1 UÈz, ¶An. 8 ¢È°› A59^› zAèÉqIO/)Kê{ (ò) ï˛S»,›95 1. ï˛S» knëï˛α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) T ,-(α, β) = α T β = β T α = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn,(α, β)°èαÜβS». 2. S»5ü α, β, γènëï˛,λè¢Í, K (i) (α, β) = (β, α); (ii) (λα, β) = λ(β, α); (iii) (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ); (iv) α = 0û,(α, α) = 0, α 6= 0û,(α, α) > 0. 3. ï˛› α = (a1, a2, · · · , an) T ,-|α| = p (α, α) = p a 2 1 + a 2 2 + · · · + a 2 n ,|α|°èα›. |α| = 1û,α踆ï˛. 4. ï˛|⁄¸†ï˛| e(α, β) = 0,K°αÜβ.eö"ï˛|α1, α2, · · · , αn¸¸ ,=(αi , αj ) = 0, i 6= j,K°α1, α2, · · · , αnèï˛|,eα1, α2, · · · , αnèï˛|,zá|αi | = 1(1 ≤ i ≤ n),K°α1, α2, · · · , αnè5âï˛|. 5. Schmidt z zÇ5Ã'ï˛|α1, α2, · · · , αrè5âï˛| (1) kz -β1 = α1,β2 = α2 − (α2,β1) (β1,β1) β1, · · · , βr = αr − (αr,β1) (β1,β1) β1 − (αr,β2) (β2,β2) β2 − · · · − (αr,βr−1) (βr−1,βr−1) βr−1. Kβ1, β2, · · · , βrèï˛|; (2) 2¸†z -γi = βi |βi| , 1 ≤ i ≤ r, γ1, γ2, · · · , γrè5âï˛|. 5. › en › A˜vAT A = E(=A−1 = A,K°Aè› . e-A = (α1, α2, · · · , αn),dAT A = E|αi | = 1,(α T i , αj ) = 0(i 6= j).=α1, α2, · · · , αnè5âï˛ |.”n,Aï˛|èè5âï˛|. 6. › 5ü (1) Aè› ⇔A1ï˛|è5âï˛|⇔Aï˛|è5âï˛|. (2) Aè› ⇔A−1è› ; (3) Aè› ⇒ |A| = ±1. (4) A, Bè› ⇒ABè› . 6
例5.12已知@1=(1,2，-1)7，a2=(-1,3,1)T,a4=(4,-1,0T线性无关，求与它等价的规范正交向 量组 (仁)实对称矩阵的对角化及正交对角化 1,实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 (句)实对称矩阵的特征值全是实数，特征向量都是实向量： ()不同特征值的特征向量互相正交： ()若入是实对称矩阵A的k重特征值，A必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩(AE一A)= 2一k因此实对称矩阵A必可对角化： 2.n阶实对称矩阵A的相似对角化及正交对角化的解题步骤 第一步，求出A的所有不同的特征值入1，λ2，·，，入m,设入的重数为k: 第二步，对每个X,解齐次线性方程组(0E-A)z=0的基础解析：1，·， 相似对角化：可得线性无关的特征向量组11，…，1k,…,m1,…,5mk 正衣时鱼化将 ,正交单位化为m… ,k 可得规范正交的特征向量组1，…，mk,·,m,,mk. 第三步，构造可逆矩阵乃=（低11，…，1k,…,ml,…,mkm)方乃=(11，…，mk…,ml,…,mkm) 则 入1 (①)相似对角化：PAP 入 (②)正交对角化：A乃 注()当A的特征值均为单根时，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵B; (②)当特征值有重根入，时，要检查特征向量是否正交，否则必须对的特征向量用Schmidt正交化方法 处理，才能构造出正交矩阵B 7
~5.12 Æα1 = (1, 2, −1)T , α2 = (−1, 3, 1)T , α3 = (4, −1, 0)TÇ5Ã', ¶Üß d5âï ˛|. () ¢È°› Èz9Èz 1.¢È°› Aä⁄Aï˛5ü (i) ¢È°› Aä ¥¢Í, Aï˛—¥¢ï˛; (ii) ÿ”AäAï˛pÉ; (iii) eλ¥¢È°› AkAä,λ7kkáÇ5Ã'Aï˛, ½ˆ`7kùr(λE − A) = n − k,œd¢È°› A7åÈz; 2. n ¢È°› AÉqÈz9Èz)K⁄½ 1ò⁄, ¶—A§kÿ”Aäλ1, λ2, · · · , λm, λiÍèki ; 1⁄,Èzáλi , )‡gÇ5êß|(λiE − A)x = 0ƒ:)¤:ξi1, · · · , ξiki , ÉqÈz: åÇ5Ã'Aï˛|ξ11, · · · , ξ1ki , · · · , ξm1, · · · , ξmkm; Èz:Úξi1, · · · , ξiki¸†zèηi1, · · · , ηiki , å5âAï˛|η11, · · · , η1ki , · · · , ηm1, · · · , ηmkm. 1n⁄,Eå_› P1 = (ξ11, · · · , ξ1ki , · · · , ξm1, · · · , ξmkm); P2 = (η11, · · · , η1ki , · · · , ηm1, · · · , ηmkm), K (1) ÉqÈz: P −1 1 AP1 = λ1 . . . λ1 . . . λm . . . λm . (2) Èz: P −1 2 AP2 = λ1 . . . λ1 . . . λm . . . λm . 5 (1) AAä˛è¸äû,=IrAï˛¸†z“å^5E› P2; (2) Aäkäλiû,áuAï˛¥ƒ,ƒK7LÈλiAï˛^Schmidtzê{ ?n,‚UE—› P2. 7