第十四讲一维随机变量及其分布 一.考试内容与要求 1.考试内容： 随机变量、分布函数的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概 密度，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布 2.考试要求： (1)理解随机变量的概念，理解分布函数F(x)=P(X≤x),x∈R的概念及性质，会计 算与随机变量相联系的事件的概率 (2) 理解离散型随机变量及 其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、 超几何分布、泊松分布及其应用 (3)了解（数一）掌握（数三）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二 项分布. (4)理解连续型萌机变量及其概率密度的概今，堂握均匀分布、正态分布、指数分布及 其应用 (5) 会求随机变量函数的分布 二.考试内容解析 「样本点o】 随机事件A 了P(A)】 随机变量X(o) la<x≤b F(b)-F(a) 0-1分布 二项分布 离散型 泊松分布 超几何分布 分布函数：F(x)=P(X≤)八大分布 几何分布 →函数分布 (均匀分布 连续型指数分布 正态分布 (一)随机变量及其概率分布 1.基本概念 (1)随机变量：顾名思义，随机变量即为会随机改变的量，它是样本点的函数，常以大写 拉丁字母如：X,Y,…表示 (2)分布函数：对于随机变量X和任意实数x,称函数F(x)=P(X≤x),x∈R为随机 变量X的分布函数 2.分布函数的性质：
1 第十四讲 一维随机变量及其分布 一.考试内容与要求 1.考试内容： 随机变量、分布函数的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率 密度，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布 2.考试要求： （1）理解随机变量的概念，理解分布函数 F x P X x ( ) = ( ) ，x R 的概念及性质，会计 算与随机变量相联系的事件的概率. （2） 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0-1 分布、二项分布、几何分布、 超几何分布、泊松分布及其应用. （3） 了解（数一）掌握（数三）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二 项分布. （4） 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及 其应用. （5） 会求随机变量函数的分布. 二.考试内容解析 ( ) ( ) ( ) ( ) A P A X a X b F b F a → → − 样本点 随机事件 随机变量 分布函数：F(x) = P(X x) → 函数分布 正态分布 指数分布 均匀分布 连续型 几何分布 超几何分布 泊松分布 二项分布 分布 离散型 八大分布 → 0 −1 （一）随机变量及其概率分布 1.基本概念 （1）随机变量：顾名思义，随机变量即为会随机改变的量，它是样本点的函数，常以大写 拉丁字母如： X Y, , 表示. （2）分布函数：对于随机变量 X 和任意实数 x ，称函数 F x P X x ( ) = ( ) , x R 为随机 变量 X 的分布函数. 2.分布函数的性质：
(1)F(x)是一个单调不减的函数： (2)F(x)是右连续的 (3)lim F(x)=0.lim F(x)=1 (二)离散型随机变量 1.离散型随机变量及其概率分布 如果一个随机变量的一切可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称它为离散型随机变 设离散型随机变量X的可能取值为x,k=1,2,·,且取各个值的概率为 P(X=x)=P4,k=1,2,…, 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 显然分布律应满足下列条件： (1)P20,k=12…, (2)∑A=I 对于任何实数a<b,有P(a≤X≤b)=∑P(X=x) 2.常用的离散型概率分布 (1)0-1分布：分布列为 ,01,地可写成P(X=k)=p0-pk=01 1-pp (2)二项分布：在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为P,事件A发生的次数是随机 变量，设为X,则X可能取值为0，l,2,…,n. P(X=k)=P(k)=Cp*g"t,其中g-1-p.0<p<1,k=0l,2,…,n 则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p) 当n=1时，P(X=)=pq,k=0.1,这就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二项 分布的特例 (3)泊松分布：设随机变量X的分布律为 PX=月=膏，>0为s数k=02 则称随机变量X服从参数为入的泊松分布，记为X~P() 泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n一∞)
2 （1） F x( ) 是一个单调不减的函数； （2） F x( ) 是右连续的； （3） lim 0 ( ) x F x →− = , lim 1 ( ) x F x →+ = (二)离散型随机变量 1.离散型随机变量及其概率分布 如果一个随机变量的一切可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称它为离散型随机变 量. 设离散型随机变量 X 的可能取值为 , 1,2, k x k = ,且取各个值的概率为 ( ) , 1,2, P X x p k = = = k k , 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 1 1 n n x x X p p 显然分布律应满足下列条件： （1） 0 k p ， k =1,2, ， （2） 1 k k p = 对于任何实数 a b ,有 ( ) ( ) k k a x b P a X b P X x = = 2.常用的离散型概率分布 （1）0-1 分布：分布列为 0 1 1 p p − ,也可写成 ( ) ( ) 1 1 , 0,1 k k P X k p p k − = = − = (2)二项分布：在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p .事件 A 发生的次数是随机 变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2, ,n . k k n k n P X k Pn k C p q − ( = ) = ( ) = ， 其中 q = 1− p,0 p 1, k = 0,1,2, ,n ， 则称随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布，记为 X ~ B(n, p) . 当 n =1 时， k k P X k p q − = = 1 ( ) ， k = 0.1 ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项 分布的特例. （3）泊松分布：设随机变量 X 的分布律为 − = = e k P X k k ! ( ) ， 0 为参数， k = 0,1,2， 则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X P ~ ( ) . 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）
(4)几何分布：PX=k)=g-p,k=l,2,3,其中0<p<1,q=1-p,则称 随机变量X服从参数为P的几何分布，记为G(P) (5)超几何分布：PX==C·C过k=0,121 'I=min(M,n)' 则称随机变量X服从参数为 n,N,M的超几何分布，记为H(血，N,M。 3.几个分布之间的关系： 先引入一个例子，若一箱中有N个产品，其中有M个次品，一次抽取一件，共抽取n件， 要求出取到次品个数的分布。 若是有放回抽取，则次品数X~b(n,P),若是无放回抽取，则X~H(n,M,N),即 P(K=)=CC，k=0,,1(1=min(M, 泊松分布是作为二项分布的近似引入的，在计算中，泊松分布有表可查，而超几何分布与 二项分布的计算都较麻烦，当N和M充分大，n相对N较小时，有以下近似公式： c0- CN 当n充分大(n≥100)，p充分小(p<0.1)而p适中，有以下近似公式： cp'1-pjt、p'e -，k=0,l,…,n k 若X,…,X为独立同分布，X,~(0-1)分布，则X=∑X,一b(n,P) (三)连续型随机变量 1.连续型随机变量及其概率密度 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数∫(x),对任意实数x,有 F(x)=[f(td 则称X为连续型随机变量.f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面2个性质： 1f20:2f=1. F(x)与f(x)的关系：对于f(x)的任一连续点，均有f(x)=F(x) 2.常用的连续型随机变量及其概率密度 (1)均匀分布 随机变量X的流民落在血小内，其省度商数似在个上为层数。一。即
3 （4）几何分布： P(X = k) = q k−1 p,k =1,2,3, ，其中 0 1, 1 = − p q p ,则称 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G p( ) . （5）超几何分布： 0,1,2 , ( ) , min( , ) k n k M N M n N C C k l P X k C l M n − − = = = = ，则称随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。 3.几个分布之间的关系： 先引入一个例子，若一箱中有 N 个产品，其中有 M 个次品，一次抽取一件，共抽取 n 件， 要求出取到次品个数的分布。 若是有放回抽取，则次品数 X b n p ( , ) ，若是无放回抽取，则 X H n M N ( , , ) ，即 ( ) k n k M N M n N C C P X k C − − = = ， k l = 0,1, , （ l M n = min , ( ) ） 泊松分布是作为二项分布的近似引入的，在计算中，泊松分布有表可查，而超几何分布与 二项分布的计算都较麻烦，当 N M和 充分大， n 相对 N 较小时，有以下近似公式： 1 k n k k n k M N M k n n N C C M M C C N N − − − − 当 n 充分大（ n 100 ）， p 充分小（ p 0.1 ）而 np 适中，有以下近似公式： ( ) ( ) 1 ! k np n k k k n np e C p p k − − − ， k n = 0,1, , 若 1 , , X X n 为独立同分布， Xi (0 1− ) 分布，则 ( ) 1 , n i i X X b n p = = （三）连续型随机变量 1.连续型随机变量及其概率密度 设 F x( ) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f x( ) ，对任意实数 x ，有 ( ) ( ) x F x f t dt − = 则称 X 为连续型随机变量. f x( ) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度. 密度函数具有下面 2 个性质： 1° f x( ) 0 ； 2° f x dx ( ) 1 + − = 。 F x( ) 与 f x( ) 的关系：对于 f x( ) 的任一连续点，均有 f x F x ( ) = ( ) 2.常用的连续型随机变量及其概率密度 （1）均匀分布 随机变量 X 的值只落在 a b, 内，其密度函数 f x( ) 在 a b, 上为常数 b − a 1 ，即
F)-b-aasxsb 0其他 则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，记为X~U[a,b小. 分布函数为 0,x<a F(x)= 555 1 x>b 当a≤，<x≤b时，X落在区间（化，）内的概常为 <X<=2 (2)指数分布 如果随机变量X的密度函数为 f)-e>0 0,x≤0 则称X服从参数为九（元>0）的指数分布，记为X~E(2) 分布函数为 F()=-e,x>0 0,x≤0 (3)正态分布 设随机变量X的密度函数为 -6p<x<+0, 其中山，。>0为常数，则称随机变量X服从参数为山，。的正态分布或高斯(Guss) 分布，记为X-N(4,σ2） f(x)具有如下性质： 1°f(x)的图形是关于x=4对称的 ?当x=时.)F27a为最大值 若X~N(4,σ)，则X的分布函数为 点ne学a 参数4=0，σ=1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,),其密度函数记为 人e ()= ，-0<x<+0, 4
4 1 , ( ) 0, a x b f x b a = − 其他 则称随机变量 X 在 a b, 上服从均匀分布，记为 X U a b , . 分布函数为 ( ) 0, , 1, x a x a F x a x b b a x b − = − 当 1 2 a x x b 时， X 落在区间 ( x x 1 2 , ) 内的概率为 b a x x P x X x − − = 2 1 1 2 ( ) （2）指数分布 如果随机变量 X 的密度函数为 ( ) , 0 = 0, 0 x e x f x x − 则称 X 服从参数为 ( 0) 的指数分布，记为 X E() . 分布函数为 ( ) 1 , 0 0, 0 x e x F x x − − = （3）正态分布 设随机变量 X 的密度函数为 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) − − = x f x e ， − x +， 其中 ， 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为 ， 的正态分布或高斯（Gauss） 分布，记为 ( ) 2 X N , . f x( ) 具有如下性质： 1° f x( ) 的图形是关于 x = 对称的； 2° 当 x = 时， 2 1 f ( ) = 为最大值； 若 ( ) 2 X N , ，则 X 的分布函数为 F x e dt x t − − − = 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) 参数 = = 0, 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为 X N(0,1) ，其密度函数记为 ( ) 2 2 1 2 x x e − = ， − x +
分布函数为 )jeid 2元 (x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 (-=1-(且00)=支 知果X-Nu.o),则-L-NO) x<Xs-4色。5。 两条重要性质： 1°若X~N(4,c2),c为任意实数，则X+c~N(u+c,o),cX~N(c4,c2。) 2°若X,~N(4,o,)i=1,2.…,n,且相互独立，则对于不全为0的常数G,S2,…,C,有 Zex,-NZeu.coi 已知X的分布列为 Xx,2,…,xa,… PX=xp,p,…,pa, Y=g(X)的分布列(y,=g(x)互不相等)如下： Ygx,gx2以，…，g(axa）,… 若有某些g(x)相等，则应将对应的p,相加作为g(x)的概率 2.连续型情形 先利用X的概率密度x()写出Y的分布函数F(y)=P(g(X)≤)，再利用变上 下限积分的求导公式求出(y) 三.例题详解 例1.设随机变量X~N(4,σ2)，(o>0)且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率 是)则=
5 分布函数为 − − = x t x e dt 2 2 2 1 ( ) 。 ( x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 − = − ( x x ) 1 ( ) 且 ( ) 1 0 2 = 如果 ( ) 2 X N , ，则 X − N(0,1) . − − − = 2 1 1 2 ( ) x x P x X x . 两条重要性质： 1°若 ( ) 2 X N , ， c 为任意实数，则 ( ) 2 X c N c + + , , ( ) 2 2 cX N c c , 2°若 ( ) 2 , X N i i i , i n =1, 2, , ,且相互独立，则对于不全为 0 的常数 1 2 , , , n c c c ,有 2 2 1 1 1 , n n n i i i i i i i i i c X N c c = = = （四）随机变量函数的概率分布 1.离散型情形 已知 X 的分布列为 , , , , , , , , ( ) 1 2 1 2 n n i p p p x x x P X x X = ， Y = g(X ) 的分布列（ ( ) i i y = g x 互不相等）如下： , , , , ( ), ( ), , ( ), ( ) 1 2 1 2 n n i p p p g x g x g x P Y y Y = ， 若有某些 g(xi) 相等，则应将对应的 i p 相加作为 g(xi) 的概率。 2.连续型情形 先利用 X 的概率密度 f x X ( ) 写出 Y 的分布函数 F y P g X y Y ( ) = ( ( ) ) ，再利用变上 下限积分的求导公式求出 f y Y ( ) . 三.例题详解 例 1. 设随机变量 ( ) 2 X N , ，（ 0 ）且二次方程 2 y y X + + = 4 0 无实根的概率 是 1 2 ，则 = ____ . 答案：4. 【提示】本题考查将一般正态分布标准化. 解：