第七讲，矩阵及其运算（二） 一特殊矩阵 1.定义Amxm,或(a)m×m:方阵：m=n的矩阵；行矩阵（又称行向量）：m=1的矩阵A=(a1,a2,…,an)列 矩阵（又称列向量）：n=1的矩阵A=(a1,2,…,an)T规定当m=n=1时，A=(a)=a11: 2.单位矩阵单位矩阵的特征：主对角线上元素全是1，其余元素均为0的阶方阵 3.对角矩阵对角阵的特征：不在主对角线上的元素全为零. 4.对称矩阵 设A+(a)为n阶方阵，若AT=A,则称A为对称矩阵，其特征为：a写=a,6,j= 1,2,…,n ()若A.B对称.则kA,A+B对称：()对任意m×n矩阵，AFA,AAT对称.()对任意矩阵A r(ATA)=r(A). 5.正交矩阵满足ATA=A4T=E的矩阵称为正交矩阵， 6.矩阵多项式设f) +a1x+为一个m次多项式，A为n阶方阵，称f(A=amAm+ …+a1A+nE为A的m次矩阵多项式 二，矩阵的运算及算律 1,矩阵的加法矩阵的数乘矩阵的乘法 2.矩阵的方幂 ()若A=B+C且BC=CB,则Am=(B+C)n=Bm+CBm-1C+…+Cm-1BCm-1+Cm (i)若AB=BA.则(AB)k=AkBk 3.矩阵的转置 三逆矩阵 1.逆矩阵定义 2.矩阵可逆的性质及判断 ()n阶方阵A可逆 二存在n阶矩阵B使得AB=BA=E(定义) 一存在n阶矩阵B使得AB=E =A≠0. (位)若4B可逆，数k≠0.则 四A=向 -1也可逆，且(4)1=A(3)(kA)-1= 04B里B推r4g…A=:5其中.， (5)A-1=4-1(6)A)-1=(A-1)n. ()若AB=AC,且A可逆，则B=C 四.伴贿矩阵 A11A21··An1 (四)A=(a)为n阶方阵，4的各个元素的代数余子式构成如下的矩阵A 为A的伴随矩阵」 重要就0A-E国苏A-(:）则r-( d -b -c a 注2阶矩阵的件随矩阵具有“对角线互换，副对角线反号”的规律。 2.关于伴随矩阵的运算规律 1
1‘˘, › 9Ÿ$é() ò Aœ› 1. ½¬ Am×n, ½(aij )m×n; ê :m = n› ; 1› (q°1ï˛): m = 1› A = (a1, a2, · · · , an); › (q°ï˛):n = 1› A = (a1, a2, · · · , an) T .5½m = n = 1û, A = (a11) = a11. 2.¸†› ¸†› A:ÃÈÇ˛É ¥1,Ÿ{ɲè0n ê . 3.È› È A: ÿ3ÃÈÇ˛É è". 4. È°› A + (aij )èn ê ,eAT = A, K°AèÈ°› ,ŸAè:aij = aji,(i, j = 1, 2, · · · , n). (i) eA, BÈ°, KkA, A + BÈ°; (ii) È?øm × n› , AT A, AATÈ°. (iii) È?ø› A, r(AT A) = r(A). 5. › ˜vAT A = AAT = E› °è› . 6. › ıë™ f(x) = amx m + · · · + a1x + a0èòámgıë™,Aèn ê ,°f(A) = amAm + · · · + a1A + a0EèAmg› ıë™. ,› $é9éÆ 1. › \{,› Ͷ,› ¶{ 2. › êò (i) eA = B + CÖBC = CB, KAn = (B + C) n = Bn + C 1 nBn−1C + · · · + C n−1 n BCn−1 + C n. (ii) eAB = BA, K(AB) k = AkBk . 3. › =ò n _› 1. _› ½¬ 2. › å_5ü9‰ (i) n ê Aå_ 3n › B¶AB = BA = E(½¬) 3n › B¶AB = E |A| 6= 0. (ii) eA, Bå_, Ík 6= 0. K (1) A−1 = 1 |A|A∗ (2) A−1èå_,Ö(A−1 ) −1 = A (3) (kA) −1 = 1 kA−1 (4) (AB) −1 = B−1A−1 , Ì2(A1A2 · · · An) −1 = A−1 n · · · A −1 2 A −1 1 , Ÿ•A1, A2, · · · , Anå_. (5) |A−1 | = |A| −1 (6) (An) −1 = (A−1 ) n. (iii) eAB = AC, ÖAå_, KB = C. o. äë› (1) A = (aij )èn ê ,|A|àáÉìÍ{f™§Xe› A∗ = A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 . . . . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann ° èAäë› . á ™ (i) AA∗ = A∗A = |A|E. (ii) eA = a b c d ! , KA∗ = d −b −c a ! . 5 2 › äë› ‰k“ÈÇpÜ,BÈÇá“”5Æ. 2. 'uäë› $é5Æ 1
(1)4'A=A4°=4E:(241=Am-1:m≥2h:(3)(4)'=4m-24 (4)kA=-1A:(⑤)若A可逆，则(A）1=向AA”=|AA-1 3.求伴随矩阵，转置和求逆矩阵三种运算之间的关系 (1)(4T)=(4T(②)(4)-1=(4-”，其中A可逆(3)(4)-1=(41，其中A可逆. 注意伴随矩阵A“,它由A的代数余子式所构成，基本关系式为AA:=A小A=AE,求逆，转置，伴随三 个运算能交换次序 五，常考颗型及解顺方法与技巧 题型一，有关矩阵的概念及运算 例7.1()设a=(a1,2,)7,B=(,b2,b2)7,求a,Ba,(8a (2)设a,B均为3维列向量，8T是3的转置矩阵，如果aBT 2-1 36-3 则a=() 24-2 (3③)(2003)设a均为3维列向量，aT是a的转置矩阵，如果aa ,则aTa=( 1-11/ 2-13 (④)设A 若存在秩大于1的3阶矩阵B使得BA=0,则4=() 4c6 例72设A=a,其中a=a4,…a,=,…,,证明E-A=- D”a6++obA (2)设a=(1,-1,0T,3=(1,1,1F,A=a3T,求AE-A. 12-1 (3)A=aBT=3 6 -3,Al. 24-2
(1)A∗A = AA∗ = |A|E; (2)|A∗ | = |A| n−1 ; (n ≥ 2); (3)(A∗ ) ∗ = |A| n−2A; (4)(kA) ∗ = k n−1A∗ ; (5)eAå_,K(A∗ ) −1 = 1 |A|A, A∗ = |A|A−1 . 3. ¶äë› ,=ò⁄¶_› n´$éÉm'X (1) (AT ) ∗ = (A∗ ) T (2) (A∗ ) −1 = (A−1 ) ∗ , Ÿ•Aå_ (3) (A∗ ) −1 = (A−1 ) ∗ , Ÿ•Aå_. 5ø äë› A∗ ,ßd|A|ìÍ{f™§§,ƒ 'X™èAA∗ = A∗A = |A|E,¶_,=ò,äën á$éUÜgS. , ~K.9)Kê{ÜE| K.ò,k'› Vg9$é ~7.1 (1) α = (a1, a2, a2) T , β = (b1, b2, b2) T , ¶α T β, βαT ,(β T α) n. (2) α, β˛è3ëï˛, β T¥β=ò› ,XJαβT = 1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2 , Kα T β = ( ). (3) (2003)α˛è3ëï˛, α T¥α=ò› ,XJααT = 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 , Kα T α = ( ). (4) A = 2 −1 3 a 1 b 4 c 6 , e3ùåu13 › B¶BA = 0, KAn = ( ). ~7.2 (1) A = αβT , Ÿ•α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) T , y²|λE − A| = λ n − β T αλn−1 = λ n − (a1b1 + · · · + anbn)λ n−1 . (2) α = (1, −1, 0)T , β = (1, 1, 1)T , A = αβT ,¶|λE − A|. (3) A = αβT = 1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2 , ¶|λE − A|. 2
例7.3(1)设n维行向量a=(G,0,…,0,),矩阵A=E-aTa,B=E+2aTa,则AB= (A)0 (B)E (C)-E (D)E+aTa. (②)设AB均是m阶矩阵，下列命题中正确的是 (A)AB=0÷A=0或B=0(B)AB≠0÷A≠0且B≠0 (CAB=0台A=0或B剧=0(D)AB≠0÷1A≠0减B剧≠0 (③)设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是 (A)A'A=AA (B)A"AP=APA"(C)ATA=AAT (D)(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E) (④下面命题中不正确的是 (A)若A是n阶矩阵，则(A-E)4+)=(4+E(A-E): (B)若A,B均是n×1矩阵，则ATB=BA: (C)若A,B均是n阶矩阵且AB=0,则(A+B)P=A2+B2; (D)若A是n阶矩阵，则AmA=AAm,其中k,m为正整数. 题型二，求方阵的幂 解题思路对某些特殊的阶矩阵可以求其方幕求A"的基本思路： 思路一：若(4)=1，则A能分解为一列与一行两个矩阵的乘积，用结合律就可很方便地求出4； 思路二：若A能分解称两个矩阵的和A=B+C,且BC=CB,则A"=(B+C"可用二项式定理展 开当然B.C之中有一个的方幂要尽快为0： 思路三：当A有n个线性无关的特征向量时，可用相似对角化来求A” /1231 例4.4(1)已知a=(2,0,1)T,B=(0.3.-1)T,P=012,若A=P-1a8TP,求A013=(）. 001 (2)设2,2,1是3阶矩阵A的特征值，对应的特征向量依次为a1=(0,1,0)7,02-(1,0,1)T,a3-(0,1,1)T,求A及A” 0-10 (3)(2004设A 100,B=P-14P,P为3阶可逆矩阵，则B2004-242=( 00-1 3
~7.3 (1) në1ï˛α = ( 1 2 , 0, · · · , 0, 1 2 ),› A = E − α T α, B = E + 2α T α, KAB = (A) 0 (B) E (C) −E (D) E + α T α. (2) A, B˛¥n › ,e·K•(¥ (A) AB = 0 ⇔ A = 0½B = 0 (B) AB 6= 0 ⇔ A 6= 0 ÖB 6= 0 (C) AB = 0 ⇔ |A| = 0 ½|B| = 0 (D) AB 6= 0 ⇔ |A| 6= 0½|B| 6= 0 (3) A¥?òn › , eÜÜÿ¥ (A) A∗A = AA∗ (B) AmAp = ApAm (C) AT A = AAT (D) (A + E)(A − E) = (A − E)(A + E) (4) e°·K•ÿ(¥ (A) eA¥n › , K(A − E)(A + E) = (A + E)(A − E); (B) eA, B˛¥n × 1 › , KAT B = BT A; (C) eA, B˛¥n › ÖAB = 0, K(A + B) 2 = A2 + B2 ; (D) eA¥n › ,KAmAk = AkAm, Ÿ•k, mèÍ. K.,¶ê ò )Kg¥ È, Aœn › 屶Ÿêò.¶Anƒ g¥: g¥ò:er(A) = 1 ,KAU©)èòÜò1¸á› ¶»,^(‹Æ“åÈêB/¶—An; g¥:eAU©)°¸á› ⁄A = B + C,ÖBC = CB,KAn = (B + C) n å^뙽n– m,,B, CÉ•kòáêòá¶Øè0; g¥n:AknáÇ5Ã'Aï˛û,å^ÉqÈz5¶An. ~4.4 (1) Æα = (2, 0, 1)T , β = (0, 3, −1)T , P = 1 2 3 0 1 2 0 0 1 , eA = P −1αβT P, ¶A2013 = ( ). (2) 2, 2, 1¥3 › AAä, ÈAAï˛ùgèα1 = (0, 1, 0)T , α2 = (1, 0, 1)T , α3 = (0, 1, 1)T ,¶A9An . (3) (2004)A = 0 −1 0 1 0 0 0 0 −1 ,B = P −1AP, Pè3 å_› , KB2004 − 2A2 = ( ). 3
4)(2007)设矩阵 则4的秩为一 题型四，有关初等变换的问题 例7.5（①）(2006)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C 110 记P-010,则 001 (A)C=P-1AP.(B)C=PAP-1.(C)C=PT AP.(D)C=PAPT 100 (②)(2009)设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置，且PTAP= 010 若P=(a1,a2,a3,Q= 002 (a1+a2,a2,a3),则QTAQ为 210 110 200 100 110©120©010 (D)020 002/ 002 002 002 (3)(2011)设A为3阶矩阵将A的第2列加到第1列得到矩阵B,再交换B的第2行与第3行得到单位矩阵 100) 71001 记乃=110，乃=001，则A= 001 010/ (A)P.P2 (B)P-P2 (C)P2P (D)P2P- 4
(4) (2007) › A = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , KA3ùè . K.o,k'– CÜØK ~7.5 (1) (2006) Aè3 › , ÚA121\111B, 2ÚB11−1\12C, PP = 1 1 0 0 1 0 0 0 1 , K (A) C = P −1AP. (B) C = P AP −1 . (C) C = P T AP. (D) C = P AP T . (2) (2009)A, P˛è3 › ,P TèP=ò,ÖP T AP = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 . eP = (α1, α2, α3), Q = (α1 + α2, α2, α3),KQT AQè (A) 2 1 0 1 1 0 0 0 2 . (B) 1 1 0 1 2 0 0 0 2 . (C) 2 0 0 0 1 0 0 0 2 . (D) 1 0 0 0 2 0 0 0 2 . (3) (2011) Aè3 › ,ÚA12\11› B,2ÜB121Ü131¸†› . PP1 = 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ,P2 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ,KA = (A) P1P2 (B) P −1 1 P2 (C) P2P1 (D) P2P −1 1 4
100 (④)(2012)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP 若P=(a1,2,g).Q (a1+a2,a2,ag,则Q-14Q= 100 100 200 200 A020®010g010 @)020 002 001 一)已阶加车可递将A的苏2店茶交换剂B再把B的第的-之洛加至第3得C则情足PAP C-1的矩阵P为 102 12010-2120 (A)001(B)001(C)001(D)010 010 010 010 001 (6)(②2004)设A为3阶矩阵，交换A的第1列与第2列得矩阵B,将B的第2列加到第3列得矩阵C,则满足AQ= C的矩阵Q :gf)） 101 00 (7)(2001,2004)若n阶矩阵A与B等价，则下列说法正确的是 (A)当|4=a(a≠0)时，IB=a.(B)当14=a(a≠0)时，IB=-a (C)当1A≠0时，B1=0.(D)当A=0时，1B吲=0. （8() 5
(4) (2012) Aè3 › ,Pè3 å_› , ÖP −1AP = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 . eP = (α1, α2, α3),Q = (α1 + α2, α2, α3), KQ−1AQ = (A) 1 0 0 0 2 0 0 0 1 . (B) 1 0 0 0 1 0 0 0 2 . (C) 2 0 0 0 1 0 0 0 2 . (D) 2 0 0 0 2 0 0 0 1 . (5) Æ3 › Aå_,ÚA12Ü13ÜB,2rB11−2\ñ13C,K˜vP A−1 = C −1 › Pè (A) 1 0 2 0 0 1 0 1 0 (B) 1 2 0 0 0 1 0 1 0 (C) 1 0 −2 0 0 1 0 1 0 (D) 1 2 0 0 1 0 0 0 1 (6) (2004) Aè3 › ,ÜA11Ü12› B,ÚB12\13› C, K˜vAQ = C› Q = . (A) 0 1 0 1 0 0 1 0 1 (B) 0 1 0 1 0 1 0 0 1 (C) 0 1 0 1 0 0 0 1 1 (D) 0 1 1 1 0 0 0 0 1 (7) (2001,2004) en › AÜB d, Ke`{(¥ (A) |A| = a(a 6= 0)û, |B| = a. (B) |A| = a(a 6= 0)û, |B| = −a. (C) |A| 6= 0û, |B| = 0. (D) |A| = 0û, |B| = 0. ~7.6 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2011 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2012 = ( ). 5