第十六讲随机变量的数字特征 一.考试内容与要求 1.考试内容： 随机变量的期望（均值），方差，标准差及其性质，随机变量函数的期望，矩、协方差、相 关系数及其性质，Chebyshev不等式 2.考试要求： ①理解随机变量数字特征（期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数）的概念， 会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征 ②会求随机变量函数的数学期望。 ③了解Chebyshev不等式. 二.考试内容解析 期望 期望 方差 “维随机变量→ 方差 二维随机变量→ 矩 协方差 相关系数 切比雪夫不等式 协方差矩阵 (一)随机变量的数学期望 1.定义 (1)离散型：设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=x)=P,k=12,… E(X)=∑xP,(要求绝对收敛) (2)连续型：设X是连续型随机变量，其概率密度为∫(x) E(X)=「xx),(要求绝对收敛) 2.性质 (1)Ec=C,c为任意常数 (2)E(cX)=cEX (3)E(X+Y)-EX+EY.E(CX)-CE(X (4)E(XY)=EX·EY,充分条件：X和Y独立：
1 第十六讲 随机变量的数字特征 一.考试内容与要求 1.考试内容： 随机变量的期望（均值），方差，标准差及其性质，随机变量函数的期望，矩、协方差、相 关系数及其性质， Chebyshev 不等式 2.考试要求： ① 理解随机变量数字特征（期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数）的概念， 会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征. ② 会求随机变量函数的数学期望. ③ 了解 Chebyshev 不等式. 二.考试内容解析 → 切比雪夫不等式 矩 方差 期望 一维随机变量 ， → 协方差矩阵 相关系数 协方差 方差 期望 二维随机变量 （一） 随机变量的数学期望 1.定义 （1）离散型：设 X 是离散型随机变量，其分布律为 ( ) , 1,2, P X x p k = = = k k 1 ( ) k k k E X x p = = ，（要求绝对收敛） （2）连续型：设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f x( ) ， + − E(X ) = xf (x)dx ，（要求绝对收敛） 2.性质 （1） Ec c c = , 为任意常数. （2） E cX cEX ( ) = （3） E X Y EX EY ( + = + ) ， = = = n i n i E Ci Xi CiE Xi 1 1 ( ) ( ) （4） E XY EX EY ( ) = ，充分条件： X 和 Y 独立；
充要条件：X和Y不相关。 3.随机变量函数的期望 4D离散型：Y=g(X).则E0)=∑8：p: (2)连续型：Y=g(X),则EW)=∫g(x)fx) 对于二元函数Z=g(X,Y),仍有类似公式： (1)离敢型：g(X,Y刀=∑∑g(x,y,)P ()②连续：A耳gx,刃=了了sx.y/(x.ydd (二)随机变量的方差和标准差 1.定义 方差DX=E(X-EX) 标准差G(X)=√DX灯， 常用计算公式：DX=EX2-(EX)月 2.方差的性质及与期望相应公式的比较 (1)Dc=0:Ec=c (2)D(ax)=a'DX:E(ex)=cEX (3)D(ax+b)=aDX:E(ax+b)=aEX+b (4)D(X+Y)=DX+DY,充分条件：X和Y独立 充要条件：X和Y不相关 D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y),无条件成立 而E(X+Y)=EX+EY,无条件成立 (5)DX=0当且仅当X以概举1取常数，即P(X=c)=1,其中c=EX. (三)常用随机变量的数学期望与方差 常见 期望 方差 分布 的期 0-1分布B(1,p) p1-p)
2 充要条件： X 和 Y 不相关. 3.随机变量函数的期望 （1）离散型： Y g X = ( ) ，则 = = n k k pk E Y g x 1 ( ) ( ) （2）连续型： Y g X = ( ) ，则 + − E(Y) = g(x) f (x)dx 对于二元函数 Z g X Y = ( , ) ，仍有类似公式： （1）离散型： E g X Y [ ( , )]＝ ( , ) i j ij i j g x y p （2）连续型： E g X Y [ ( , )]＝ g x y f x y dxdy ( , ) ( , ) + + － － （二）随机变量的方差和标准差 1.定义 方差 ( ) 2 DX E X EX = − 标准差 (X) = D(X) ， 常用计算公式： ( ) 2 2 DX EX EX = − 2.方差的性质及与期望相应公式的比较 （1） Dc = 0 ； Ec c = （2） ( ) 2 D aX a DX = ； E cX cEX ( ) = （3） ( ) 2 D aX b a DX + = ； E aX b aEX b ( + = + ) （4） D X Y DX DY ( + = + ) ，充分条件： X 和 Y 独立； 充要条件： X 和 Y 不相关. D X Y DX DY Cov X Y ( = + ) 2 , ( ) ，无条件成立. 而 E X Y EX EY ( + = + ) ，无条件成立. （5） DX = 0 当且仅当 X 以概率 1 取常数，即 P X c ( = =) 1 ，其中 c EX = . （三）常用随机变量的数学期望与方差 常 见 分 布 的 期 期望 方差 0-1 分布 B(1, p) p p(1− p)
望和 方差 二项分布B(nP) np(1-p) 泊松分布P(2) 几何分布G(p) 超几何分布H(n,M,N nM N -0=别) 均匀分布U(a,b) atb 60 指数分布e() 正态分布N(4,o2) x2分布 0 2n t分布 0 2网 (四)协方差与相关系数 1.定义 (1)协方差：Cor(X,Y)=E[(X-EX)Y-EY)] 常用计算公式：COr(X,Y)）=E(Y)-EX·EY (2)相关系数：Pp= Cov(X,Y) √Dr√Dy 2协方差的性质： (i)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (ii)Cov(ax,by)=abCov(X,Y) (iii)Cov(X+X:.Y)=Cov(X.Y)+Cov(X.Y) 3相关系数的性质： Ip|≤1，当|p=l时，称X与Y完全相关：P(X=aY+b)=1 ,正相关，当p=1时(a>0), 完全相关负相关，当p=-时a<0, 3
3 望 和 方差 二项分布 B(n, p) np np(1− p) 泊松分布 P() 几何分布 G( p) p 1 2 1 p − p 超几何分布 H(n, M , N) N nM − − − 1 1 N N n N M N nM 均匀分布 U (a,b) 2 a + b 12 ( ) 2 b − a 指数分布 e() 1 2 1 正态分布 ( , ) 2 N 2 2分布 n 2n t 分布 0 n − 2 n (n>2) （四）协方差与相关系数 1.定义 （1）协方差： Cov X Y E X EX Y EY ( , ) = − − ( )( ) 常用计算公式： Cov X Y E XY EX EY ( , ) = − ( ) （2）相关系数： Cov X Y ( , ) DX DY = 2.协方差的性质： (i) Cov X Y Cov Y X ( , , ) = ( ) (ii) Cov aX bY abCov X Y ( , , ) = ( ) (iii) Cov X X Y Cov X Y Cov X Y ( 1 2 1 2 + = + , , , ) ( ) ( ) 3.相关系数的性质： | |≤1，当 =1 时，称 X 与 Y 完全相关： P(X = aY + b) =1 完全相关 = − = 负相关，当 时 ， 正相关，当 时 ， 1 ( 0) 1 ( 0) a a
而当P=0时，称X与Y不相关 以下五个命题是等价的： ①Pn=0: ②Com(X,Y)=0 ③E(XY)=EX·EY ④D(X+Y)=DX+DY ⑤D(X-Y)=DX+DY (五)矩 对于随机变量X,若EX,k=12,…存在，则称之为X的k阶原点矩。 如果E(X-EX),k=1,2,…存在，则称之为X的k阶中心矩 (六)切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望EX和方差DX,则对于任意正数E,有下列切比雪夫不等式 PK-EX≥E)sD s2 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P叫X-EX≥)的一种估计， 它在理论上有重要意义， (七)独立和不相关 (1)若随机变量X与Y相互独立，则Pg=0:反之不真. (2)若(X,Y)~N(4,凸，G,o,P),则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关. 三.例题详解 例1.设随机变量X服从参数为入的指数分布，则P(X>√DX)=一 答案：1 【提示】本题考查常见随机变量的概率分布和数字特征 解： 例2.设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为 答案：0.9
4 而当 = 0 时，称 X 与 Y 不相关. 以下五个命题是等价的： ① XY = 0 ； ② Cov X Y ( , 0 ) = ③ E XY EX EY ( ) = ④ D X Y DX DY ( + = + ) ⑤ D X Y DX DY ( − = + ) （五）矩 对于随机变量 X ，若 , 1,2, k EX k = 存在，则称之为 X 的 k 阶原点矩. 如果 ( ) , 1,2, k E X EX k − = 存在，则称之为 X 的 k 阶中心矩. （六）切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 EX 和方差 DX ，则对于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式 2 ( ) DX P X EX − 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率 P X EX ( ) − 的一种估计， 它在理论上有重要意义. （七）独立和不相关 （1）若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 XY = 0 ；反之不真. （2）若 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 X Y N , ~ , , , , ，则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关. 三.例题详解 例 1.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P X DX ( =) ________. 答案： 1 e 【提示】本题考查常见随机变量的概率分布和数字特征. 解： 例 2.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 Z X = −0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 ______. 答案：0.9
【提示】本题主要考查两个随机变量间相关系数的概念及运算.如果对相关系数的概念比较 楚，此题不用计算即可知道仍为0.9. 解 例3.设随机变量X,心，广=1,2，…m,n之2)为独立同分布，E(X,)=2,则行列式 XtX2…Xn …… XiXa…X 的数学期望EY=(） 答案：0 【提示】本题主要考查行列式的计算、随机变量的独立性及期望， 解 例4.己知X~P(),且E(X-1(X-2)=1,则1= 答案：1 【提示】本题考查泊松分布及其数字特征 1,X>0 例5.设XU(-1,2),Y=0,X=0,则Dy= -1X<0 8 答案： 【提示】本题主要考查均匀分布、随机变量的期望与方差
5 【提示】本题主要考查两个随机变量间相关系数的概念及运算.如果对相关系数的概念比较 清楚，此题不用计算即可知道仍为 0.9. 解： 例 3.设随机变量 ( , 1,2, X i j ij = … n n, 2) 为独立同分布, ( ) 2, E Xij = 则行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn X X X X X X Y X X X = 的数学期望 EY = ( ) 答案：0 【提示】本题主要考查行列式的计算、随机变量的独立性及期望. 解： 例 4. 已知 X ～ P( ) ，且 E X X ( 1)( 2) 1 − − = ，则 = ____ 答案：1 【提示】本题考查泊松分布及其数字特征. 解： 例 5.设 X U~ ( 1,2) − ， 1, 0 0, 0 1, 0 X Y X X = = − ，则 DY = ____ . 答案： 8 9 【提示】本题主要考查均匀分布、随机变量的期望与方差. 解：