长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）线性代数与概率论——第十五讲 多维随机变量及其分布

第十五讲多维随机变量及其分布 一.考试内容与要求 1.考试内容 名难随机变量及其分布函数，一维离散利随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，一维 品 随机变量的独立性和不相关性，常见 2.考试要求 (1)理解多维随机变量的概念（数一），理解多维随机变量的分布的概念和性质. (2)理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，理解（数一） 掌握（数三）二维随机变量的边沿分布和条件分布，会求与二维随机变量相关事件的概率（数 (3)理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机 变量不相关性与独立性的关系（数三）· (4)掌握二维均匀分布，了解（数一）掌握（数三）二维正态分布，理解其中参数的概率 意义 (5)会求两个随机变量简单函数的分布（数一），会根据两个随机变量的联合分布求其函数 的分布（数三），会求多个相互独立随机变量简单函数的分布（数一），会根据多个相互独。 随机变量的联合分布求其函数的分布（数三）· 二.考试内容解析 「离散型分布律 联合分布 连续型分布密度 常见二维分布均匀分布】 正态分布 (X,Y)→ 边缘分布 Z=X+Y 条件分布 函数分布 max,min(X,Xz,…X 独立性 (一)多维随机变量及其分布函数 设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数xy,二元函数 F(x,y)=PX≤x,Y≤y 称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{o-0<X(o)≤x,-0<Y(o)≤y 的概率为函数值的一个实值函数.分布函数F(,y)具有以下的基本性质： (1)0≤Fx,y)≤1 (2)F(x,y)分别对x,y是非减的：

1 第十五讲 多维随机变量及其分布 一.考试内容与要求 1.考试内容 多维随机变量及其分布函数，二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，二维 连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常见二 维随机变量的分布；两个及两个以上随机变量简单函数的分布 2．考试要求 （1）理解多维随机变量的概念（数一），理解多维随机变量的分布的概念和性质. （2）理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，理解（数一） 掌握（数三）二维随机变量的边沿分布和条件分布，会求与二维随机变量相关事件的概率（数 一）. （3）理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机 变量不相关性与独立性的关系（数三）. （4）掌握二维均匀分布，了解（数一）掌握（数三）二维正态分布，理解其中参数的概率 意义. （5）会求两个随机变量简单函数的分布（数一），会根据两个随机变量的联合分布求其函数 的分布（数三），会求多个相互独立随机变量简单函数的分布（数一），会根据多个相互独立 随机变量的联合分布求其函数的分布（数三）. 二.考试内容解析 1 2 ( , ) max,min( , , ) n X Y Z X Y Z X X X                                 → →       = +         =             离散型分布律 均匀分布 联合分布 常见二维分布 连续型分布密度 正态分布 边缘分布 条件分布 函数分布 独立性 （一） 多维随机变量及其分布函数 设 ( X Y, ) 为二维随机变量，对于任意实数 x y, ,二元函数 F(x, y) = P{X  x,Y  y} 称为二维随机向量 ( X Y, ) 的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数. 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 { | ( ) , ( ) }    −   −   X x Y y 的概率为函数值的一个实值函数.分布函数 F x y ( , ) 具有以下的基本性质： （1） 0  F(x, y) 1; （2） F x y ( , ) 分别对 x y, 是非减的；

(3)F(x,y)分别对x,y是右连续的，即 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0 (4)F(-0,-)=F(-0,y)=F(x,-)=0,F(+0,+)=L. (5)对于x1<x2片< F(x2y2)-F(x2:y)-F(x2)+Fx,)20. (二)离散型随机向量的分布 1.联合分布 如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称(X,Y)为 离散型随机变量. 设(X,)的所有可能取值为(x,y,,j=1,2,),且事件(X,Y)=(x,y,)的概率为 P称 P(X,Y)=(x,y,}=P6j=1,2,) 为(X,Y)的联合分布律.联合分布律有时也用下面的概率分布表来表示： P 这里P,具有下面两个性质： (1)Pw20(i,j1,2,…片 (2)∑∑py=1 2.边缘分布 X的边缘分布为 P.=PX=x)=∑p,,=l2: Y的边缘分布为

2 （3） F x y ( , ) 分别对 x y, 是右连续的，即 F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0); （4） F(−,−) = F(−, y) = F(x,−) = 0, F(+,+) =1. （5）对于 x1  x2，y1  y2， F(x2，y2 ) − F(x2，y1 ) − F(x1，y2 ) + F(x1，y1 )  0. （二） 离散型随机向量的分布 1.联合分布 如果二维随机向量 ( X Y, ) 的所有可能取值为至多可列个有序对 ( x y, ) ，则称 ( X Y, ) 为 离散型随机变量. 设 ( X Y, ) 的所有可能取值为 (x , y )(i, j =1,2, ) i j ，且事件 ( X Y x y , ( , ) ) = i j 的概率为 ij p ,,称 P{(X ,Y) = (x , y )} = p (i, j =1,2, ) i j ij 为 ( X Y, ) 的联合分布律.联合分布律有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 y2 … yj … x1 p11 p12 … p1j … x2 p21 p22 … p2j …      xi pi1 … ij p …      这里 ij p 具有下面两个性质： （1） 0 ij p  （i,j=1,2,…）； （2）  =1. ij i j p 2.边缘分布 X 的边缘分布为 ( ) ,( , 1,2, ) i i ij j p P X x p i • = = = =  ； Y 的边缘分布为

B,=PY=)=∑P,0=l,2, 3.条件分布 在己知X=式，的条件下，Y取值的条件分布为 P(Y=y,X=x)=Pu . 在已知Y=y,的条件下，X取值的条件分布为 P(X=IY=)=B (三)连续型随机向量的分布 1.联合分布 对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f(x,y(-0<x<+0,-0<y<+o),使对 任意一个平面区域D,有 P(X,Y)∈Dy=「fx,y)dkd 则称(X,Y)为连续型随机向量：并称f(x,y)为(X,Y)的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： (①)f(x,y)20: (2)(x.ydrdy=1. 2.边缘分布 X的边缘分布密度为 fx(x)=[f(x.y)dy; Y的边缘分布密度为 f(y)=[f(x.y)dx 3.条件分布 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 (ly)=I.) 0) 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f01x)=x) fr(x) 3

3 ( ) ,( 1,2, ) j j ij i p P Y y p j • = = = =  3.条件分布 在已知 X x= i 的条件下， Y 取值的条件分布为 ； • = = = i ij j i p p P(Y y | X x ) 在已知 Y y = j 的条件下， X 取值的条件分布为 ( | ) ij i j j p P X x Y y p• = = = （三） 连续型随机向量的分布 1.联合分布 对于二维随机向量 ( X Y, ) ，如果存在非负函数 f (x, y)(−  x  +,−  y  +) ，使对 任意一个平面区域 D ，有   = D P{(X,Y) D} f (x, y)dxdy, 则称 ( X Y, ) 为连续型随机向量；并称 f x y ( , ) 为 ( X Y, ) 的联合分布密度. 分布密度 f x y ( , ) 具有下面两个性质： (1) f x y ( , 0 )  ； （2）   + − + − f (x, y)dxdy =1. 2.边缘分布 X 的边缘分布密度为  + − f X (x) = f (x, y)dy； Y 的边缘分布密度为 ( ) ( , ) .  + − f y = f x y dx Y 3.条件分布 在已知 Y y= 的条件下， X 的条件分布密度为 ( ) ( , ) ( | ) f y f x y f x y Y = ； 在已知 X x = 的条件下， Y 的条件分布密度为 ( ) ( , ) ( | ) f x f x y f y x X =

(四)随机变量的独立性 1.一般概念 称随机变量X,X2,…X为相互独立的，如果其联合分布函数 F(x,…,x)=F(x)…En(x) 其中F(x),k=1,…,n是X的分布函数。 2.离散型随机变量的独立性 称离散型随机变量X,X2,…X相互独立，如果对于一切可能值x,…,X。,有 P(X=x,…,X。=xn)=P(X=x)…P(Xn=x) 3.连续型随机变量的独立性 称连续型随机变量X,X,…X,相互独立，如果它们的联合密度等于各变量密度之积： f(3,…,x)=f(x)…f,(x) 4.性质 (1)如果X,X2,…X相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个随机变量也相互独立：(2) 如果X,X2,…Xn相互独立，则它们的函数g(X),,g(X)也相互独立：(3)如果两 个随机变量独立，则一个变量关于另一个变量的条件分布就是其无条件分布 (五)常见的二维随机变量 1.二维均匀分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 [1 (x.y)ED f(x,)= 10 其他 其中S。为区域D的面积，则称(X,Y)服从D上的均匀分布 特别地，若D={(x,y)a≤x≤b,c≤y≤d,则在区域D上的均匀分布密度为 1 (b-a(d-c） (x,y)ED f(x,y)= 其他

4 （四）随机变量的独立性 1.一般概念 称随机变量 1 2 , , X X X n 为相互独立的，如果其联合分布函数 F x x F x F x ( 1 1 1 , , n n n ) = ( ) ( ) 其中 F x k k ( ) ， k n =1, , 是 Xk 的分布函数. 2.离散型随机变量的独立性 称离散型随机变量 1 2 , , X X X n 相互独立，如果对于一切可能值 1 , , n x x ，有 P X x X x P X x P X x ( 1 1 1 1 = = = =   = , , n n n n ) ( ) ( ) 3.连续型随机变量的独立性 称连续型随机变量 1 2 , , X X X n 相互独立，如果它们的联合密度等于各变量密度之积： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , n n X X n f x x f x f x = 4.性质 （1）如果 1 2 , , X X X n 相互独立，则其中任意 k k n (2   ) 个随机变量也相互独立；（2） 如果 1 2 , , X X X n 相互独立，则它们的函数 g X g X 1 1 ( ), , n n ( ) 也相互独立；（3）如果两 个随机变量独立，则一个变量关于另一个变量的条件分布就是其无条件分布. （五）常见的二维随机变量 1.二维均匀分布 设随机向量 ( X Y, ) 的分布密度函数为         = 0, 其他 ( , ) 1 ( , ) x y D S f x y D 其中 D S 为区域 D 的面积，则称 ( X Y, ) 服从 D 上的均匀分布. 特别地，若 D x y a x b c y d =     ( , , )  ，则在区域 D 上的均匀分布密度为 ( )( ) 1 ( , ) ( , ) 0, x y D b a d c f x y    − −   =     其他

二维均匀分布的两个边缘分布、条件分布以及数字特征都与区域D的形状密切相关例 如，D={《x,y)儿x+y≤r2},则区域D上的二维均匀分布的两个边缘分布都不是均匀分 布，而其中一个变量关于另一个变量的条件分布都是均匀分布.再如 D={(x,y)a≤x≤b,c≤y≤d},则二维均匀分布的两个边缘分布分别为区间(a,b)和 (c,d)内的均匀分布 2.二维正态分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 2a,4veo川 f(x.y)=- 其中4，：，>00，>0|pK1是5个参数，则称(X,y)服从二维正态分布 记为(X,Y)~N(4,h.G,oi,P) (1)二维正态分布的两个边缘分布均为正态分布，即X~N(4,),Y~N(O) 但是若X~N(4,o),Y~N(4o),(X,Y)未必是二维正态分布. (2)若(X,Y)~N(4,5c,o,P),则对于任给的实数a,b(至少有一个不为0)， ax+by -N(au +bu,a'a+b'a2 ) (3)若(X,Y)服从二维正态分布，则相关系数P=0是X和Y独立的充要条件. (六)多个随机变量函数的分布 1.最值的分布 若X,X2…Xn相互独立，其分布函数分别为F(x,F,(x)…F,(x),则 Z=max(X,,Xn),Z=min(X,…,Xn)的分布函数为： F(x)=F(xFx)…F(x) F(x)=1-[1-F(x小l-F(x小…1-F(x】 特别地，若X,X2,…Xn相互独立，且有相同的分布函数F(x),则 F(x)=[F(x)],Fnn(x)=1-[1-F(x 2.两个连续型随机变量的和的分布 5

5 二维均匀分布的两个边缘分布、条件分布以及数字特征都与区域 D 的形状密切相关.例 如， ( )  2 2 2 D x y x y r = +  , ，则区域 D 上的二维均匀分布的两个边缘分布都不是均匀分 布，而其中一个变量关于另一个变量的条件分布都是均匀分布 . 再 如 D x y a x b c y d =     ( , , )  ，则二维均匀分布的两个边缘分布分别为区间 (a b, ) 和 (c d, ) 内的均匀分布. 2.二维正态分布 设随机向量 ( X Y, ) 的分布密度函数为 , 2 1 1 ( , ) 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 ( )( ) 2(1 ) 1 2                 − + − − −         − − − − =               x x y y f x y e 其中 1 ,  2,  1  0, 2  0,|  |1 是 5 个参数，则称 ( X Y, ) 服从二维正态分布， 记为 ( X Y, ) 2 2 ~ ( , , , ). N      1 2, 1 2 （1）二维正态分布的两个边缘分布均为正态分布，即 2 2 X N Y N ~ ( , ), ~ ( ).     1 1 2, 2 但是若 2 2 X N Y N ~ ( , ), ~ ( ).     1 1 2, 2 ，( X Y, ) 未必是二维正态分布. （2）若 ( X Y, ) 2 2 ~ ( , , , ). N      1 2, 1 2 ，则对于任给的实数 a b, （至少有一个不为 0）， aX bY + 2 2 2 2 ~ ( , ). N a b a b     1 2 1 2 + + （3）若 ( X Y, ) 服从二维正态分布，则相关系数  = 0 是 X 和 Y 独立的充要条件. （六）多个随机变量函数的分布 1.最值的分布 若 X1 X2 Xn , 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 ( ) ( ) ( ) 1 2 F x F x F x n x ， x  x ， 则 Z X X = max , , ( 1 n )， Z X X = min , , ( 1 n ) 的分布函数为： max 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n F x F x F x F x =  x x x min 1 2 ( ) 1 [1 ( )] [1 ( )] [1 ( )] n F x F x F x F x = − −  − − x x x 特别地，若 1 2 , , X X X n 相互独立，且有相同的分布函数 F x( ) ，则 max ( ) ( ) n F x F x =     ， min ( ) 1 [1 ( )]n F x F x = − − 2.两个连续型随机变量的和的分布