第九章欧几里得空间 一，知识点归纳 1,内积，欧式空间 1.1定义设V是实数域R上的线性空间，对任意a,B∈V,定义唯一的实数，记为(a,),且对任 意a,B,YeVk∈R满足 (i(a,8)=(B,a):(i)(a+B,y）=(a,y)+(B,y; (i)(ka.3)=k(a.B:(iv)(a.a)>0.而(a,a】=÷a=0. 称a,)为a与3的内积，有内积的线性空间V称为欧几里得空间（简称做式空间） 1.2长度，夹角非负实数√@，a称为a的长度，记为a叫.若1a-1,则称a为单位向量.对任意a,高a 为单位向量.a,)为a,3的夹角，且(a,)=arccos合，0≤(a,)≤不若(a,)=0,称a,B正交或互 相垂直.记为0LB. 1.3柯西一施瓦兹不等式对任意a,3∈V有1(a,)训≤ll3例，当且仅当a,线性相关时等号成立. 其它形式： )(a.B2<(a.a)(8.3)对任意a.g∈V. (设A为n阶正定矩阵，XY∈为n维列向量，则(XAYP≤ 设f.g为闭区间a,上的实的连续函数，则fgP≤F()in F() 2,度量矩阵 2.1定义设a1,2,,an为n为欧式空间V的基，称矩阵A=(a4,ay》为基a1,a2,,an的度量矩 阵 (句设4为基，」 an的度量矩阵，对任意a,BeV,X,Y分别是a,B关于基a …,an的坐标. 则(a,)=X'AY 由 当a为 非零向量时，(a,)=X'AX>0,所以度量矩阵为正定矩月 ()设V为m维实向量空间，1,2，·，n为V的基，对任意a,B∈V,X,Y分别是a,关于基a1,02,, an的坐标，对任意n阶正定矩阵A,定义(a,)=X'AY,则(a,)为V的内积，V成为政式空间. ()设a1,a2,…,an和1,32，…，Bn为n维欧式空间V的基，1,2，…，an的度量矩阵为4B1,32,…, 的度量矩阵为B,4,2, ,an到，2，，的过渡矩阵为T,则B-TAT.即欧式空间的不同基的 度量矩阵是合同的 3。标准正交基。正交矩阵 3.1定义在维欧式空间中，由个组成的正交向量组成为正交基：由单位向量组成的正交基成为标 准正交基 3.2设a1,a2,…,an为标准正交基，对任意a,B∈V,X,Y分别是a,8关于基a1,,…,a的坐标， 则a1.a2,··,am的度量矩阵为单位矩阵，于是(a,)=XY, 3.3(n维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充为一组正交基 (回)对于n维欧式空间中任意一组基1,2，…，，都能找到一组标准正交基1,2，…，,使得 L(e1,E2,··,e)=L(1.2,··,),i=1,2.,,n.(方法是Schimidt 1正交化方法) 3.4(回)n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A'A=E (国n阶实矩阵A为正交矩阵A的行向量组为R的标准正交基台A的列向量组为R的标准正交基。 (）设a1,02,…,0n为V的标准正交基，月1,2，…，月n为V的基，1,2…，an到31,2,8n的过 渡矩阵为T,则31,2，·，B为标准正交基当且仅当T为正交矩阵. (Gw)若A,B为正交矩阵，则A-1,AB为正交矩阵. 1
1 Ÿ ÓApòm ò, £:8B 1, S», Ó™òm 1.1 ½¬ V ¥¢ÍçR˛Ç5òm, È?øα, β ∈ V , ½¬çò¢Í, Pè(α, β), ÖÈ? øα, β, γ ∈ V, k ∈ R ˜v (i) (α, β) = (β, α); (ii) (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ); (iii) (kα, β) = k(α, β); (iv) (α, α) ≥ 0, (α, α) =⇔ α = 0. °(α, β)èαÜβS», kS»Ç5òmV °èÓApòm({°Ó™òm). 1.2 ›,Y öK¢Íp (α, α) °èα›, Pè|α|. e|α| = 1,K°α踆ï˛. È?øα, 1 |α| α 踆ï˛. hα, βi èα, β Y, Öhα, βi = arccos (α,β) |α||β| , 0 ≤ hα, βi ≤ π. e(α, β) = 0, °α, β ½p ÉRÜ, Pèα ⊥ β. 1.3 Ö‹)ñ[ÿ ™ È?øα, β ∈ V k|(α, β)| ≤ |α||β|, Ö=α, βÇ5É'û “§·. Ÿß/™: (i) (α, β) 2 ≤ (α, α)(β, β) È?øα, β ∈ V . (ii) Aèn ½› , X, Y ∈ Rn ènëï˛, K(X0AY ) 2 ≤ (X0AX) 2 (Y 0AY ) 2 ; (iii) f(x), g(x)è4´m[a, b]˛¢ÎYºÍ, K( R a b f(x)g(x)dx) 2 ≤ ( R a b f 2 (x)dx)(R a b g 2 (x)dx). 2, ›˛› 2.1 ½¬ α1, α2, · · · , αnènèÓ™òmV ƒ, °› A = ((αi , αj ))èƒα1, α2, · · · , αn›˛› . (i) Aèƒα1, α2, · · · , αn›˛› , È?øα, β ∈ V , X, Y ©O¥α, β'uƒα1, α2, · · · , αnãI, K(α, β) = X0AY . duαèö"ï˛û, (α, α) = X0AX > 0, §±›˛› è½› . (ii) V ènë¢ï˛òm,α1, α2, · · · , αnèV ƒ, È?øα, β ∈ V , X, Y ©O¥α, β'uƒα1, α2, · · · , αnãI, È?øn ½› A, ½¬(α, β) = X0AY , K(α, β) èV S», V §èÓ™òm. (iii) α1, α2, · · · , αn⁄β1, β2, · · · , βnènëÓ™òmV ƒ,α1, α2, · · · , αn›˛› èA, β1, β2, · · · , βn›˛› èB, α1, α2, · · · , αnβ1, β2, · · · , βnLfi› èT, KB = T 0AT. =Ó™òmÿ”ƒ ›˛› ¥‹”. 3, IOƒ, › 3.1 ½¬ 3nëÓ™òm•, dná|§ï˛|§èƒ; d¸†ï˛|§ƒ§èI Oƒ. 3.2 α1, α2, · · · , αnèIOƒ, È?øα, β ∈ V , X, Y ©O¥α, β'uƒα1, α2, · · · , αn ãI, Kα1, α2, · · · , αn›˛› 踆› , u¥(α, β) = X0Y . 3.3 (i) nëÓ™òm•?òáï˛|—U*øèò|ƒ; (ii) ÈunëÓ™òm•?øò|ƒε1, ε2, · · · , εn, —UÈò|IOƒη1, η2, · · · , ηn, ¶ L(ε1, ε2, · · · , εi) = L(η1, η2, · · · , ηi), i = 1, 2, · · · , n.(ê{¥Schimidtzê{) 3.4 (i) n ¢› A°è› , eA0A = E. (ii) n ¢› Aè› ⇔ A1ï˛|èRnIOƒ⇔ Aï˛|èRnIOƒ. (iii) α1, α2, · · · , αnèV IOƒ, β1, β2, · · · , βnèV ƒ, α1, α2, · · · , αn β1, β2, · · · , βnL fi› èT, Kβ1, β2, · · · , βnèIOƒÖ=Tè› . (iv) eA, Bè› , KA−1 , ABè› . 1
4,正交变换 41定义欧式空间V的线性变换p称为正交变换，若((a,()=(a,),对任意a,B∈V 4.2重要结果欧式空间V的线性变换如为正交变换 分(o(a,()=(a,),对任意a,B∈V,即保持向量的内积不变 台(a=al,对任 a∈V,即o保持向量的长度不变 片如果1,2，… ,n为标准正交基，则(-(a,(-(a2,·,(-(an)也是标准正交基； ÷~在任一组标准正交基下的矩阵为正交矩阵. 43行列式为1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的：行列式为-1的正交变换称为第二类的 5,对称变换与反对称变换 5.1对称变换欧式空间V的线性变换p称为对称变换，若((a),)=(a,(8),对任意a,B∈V. ()欧式空间V的线性变换为对称变换台P在任一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵. (m)设0为对称变换是o不变的子空间，则V以也是o不变的子空间. ()欧式空间V的对称变换的特征值为实数，特征向量为实向量，且属于不同特征值的特征向量一定 正 等价说法为实对称矩阵的性质。 5.2反对称变换欧式空间V的线性变换p称为反对称变换，若((a,3)=-(a,p(3),对任意a,3∈V. (欧式空间V的线性变换为反对称变换 在任一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵。 回)设为反对称变换，是不变的子空间，则也是不变的子空间 (曲)欧式空间V的反对称变换的特征值为零或纯虚数：若入=a,a≠0为p的特征值，u+i加为对应的 特征向量，则=-为V的特征值，u-i为对应的特征向量：属于互不共轭的特征值的特征向量一定正 交. 等价说法 ,a≠0为A的特征值，u+ -为A的特征值，u一D为对应的特征向量：属于互不共轭的特征值的特征向量一定正 交. 6,子空间 设巧.巧为欧式空间V的子空间.a∈V.若对任意B∈W.v∈5.恒有(B.v)=0.则称V.为正 交的，记为：若对任意B∈恒有a=0则称a与%正交，记为a1。 空 V两两正 ,则V ,为直和 ()若⊥且+=V,则称为%的正交补.n为欧式空间V的每一个子空间%都有唯一的正 交补 7,向量到子空间的距离 ()设V为欧式空间，a,B∈V,长度a-称为向量a与的距离： 间若W为欧式空间V的任一非平凡子空间，则对任意a∈V,存在aw∈W使得a-W上W 称a-aw为向量a到子空间W的距肉 ()设W为欧式空间V的任一非平凡子空间，a∈V,则存在唯一的aw∈W及a中∈W1使得 设a=aw+a,aw称a在W上的正射影. 例题9.1在线性空间2中，定义：（工，）=xA,对任意x=(1,2),y=(h,2∈2，其中A= 2一3 -36 (1)证明：(c,)是2的内积，因此严按此内积作成一个欧式空间： 2
4, CÜ 4.1 ½¬ Ó™òmV Ç5CÜϕ°èCÜ,e(ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), È?øα, β ∈ V . 4.2 á(J Ó™òmV Ç5CÜϕèCÜ ⇔ (ϕ(α), ϕ(β)) = (α, β), È?øα, β ∈ V , =ϕ±ï˛S»ÿC; ⇔ |ϕ(α)| = |α|, È?øα ∈ V , =ϕ±ï˛›ÿC; ⇔ XJε1, ε2, · · · , εnèIOƒ, K(ϕ(α1),(ϕ(α2), · · · ,(ϕ(αn)è¥IOƒ; ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› è› . 4.3 1™è1CÜ°è^=, ½ˆ°è1òa; 1™è−1CÜ°è1a. 5, È°CÜÜáÈ°CÜ 5.1 È°CÜ Ó™òmV Ç5CÜϕ°èÈ°CÜ, e(ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)), È?øα, β ∈ V . (i) Ó™òmV Ç5CÜϕèÈ°CÜ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› èÈ°› . (ii) ϕèÈ°CÜ, V1¥ϕÿCfòm, KV ⊥ 1 è¥ϕÿCfòm. (iii) Ó™òmV È°CÜAäè¢Í,Aï˛è¢ï˛, Ö·uÿ”AäAï˛ò½ . d`{è¢È°› 5ü. 5.2 áÈ°CÜ Ó™òmV Ç5CÜϕ°èáÈ°CÜ, e(ϕ(α), β) = −(α, ϕ(β)), È?øα, β ∈ V . (i) Ó™òmV Ç5CÜϕèáÈ°CÜ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› èáÈ°› . (ii) ϕèáÈ°CÜ, V1¥ϕÿCfòm, KV ⊥ 1 è¥ϕÿCfòm. (iii) Ó™òmV áÈ°CÜAäè"½XJÍ; eλ = ai, a 6= 0èϕ Aä, u + ivèÈA Aï˛, Kλ = −aièV Aä, u − ivèÈAAï˛; ·upÿ›AäAï˛ò½ . d`{ (iii’) áÈ°› AAäè"½XJÍ, eλ = ai, a 6= 0èAAä, u + iv, u, v ∈ RnèÈA Aï˛, Kλ = −aièAAä, u − iv èÈAAï˛; ·upÿ›AäAï˛ò½ . 6, fòm (i) V1, V2èÓ™òmV fòm, α ∈ V . eÈ?øβ ∈ V1, γ ∈ V2, ðk(β, γ) = 0, K°V1, V2è , PèV1 ⊥ V2; eÈ?øβ ∈ V1 ðk(α, β) = 0, K°αÜV1, Pèα ⊥ V1. (ii) efòmV1, · · · , Vs¸¸, KV1 + · · · + Vs èÜ⁄. (iii) eV1 ⊥ V2ÖV1 + V2 = V , K°V2èV1÷. nèÓ™òmV zòáfòmV1—kçò ÷. 7, ï˛fòmÂl (i) V èÓ™òm, α, β ∈ V , ›|α − β|°èï˛αÜβÂl; (ii) eWèÓ™òmV ?òö²Öfòm, KÈ?øα ∈ V , 3αW ∈ W ¶α − αW ⊥ W. °|α − αW |èï˛αfòmWÂl. (iii) WèÓ™òmV ?òö²Öfòm, α ∈ V , K3çòαW ∈ W 9α ⊥ W ∈ W⊥¶ α = αW + α ⊥ W , αW °α3W˛K. ~K9.1 3Ç5òmR2•, ½¬: (x, y) = xAy0 ,È?øx = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 , Ÿ•A = 2 −3 −3 6 ! . (1) y²: (x, y)¥R2S», œdR2UdS»ä§òáÓ™òm; 2
(2)求2的一组标准正交基 (3)求矩阵P,使得A=PP 例题9.2设x=(1,-1,0y,y=(1,0,-1y,名=(42,0y∈形，求到子空间W-L(x,)的距离. 解令a=a+y=(a+b-a,-b)∈W使得z-a⊥W,即(e-a,)=(z-a,)=0.因 为：-a=(1-a-6,2+a,),所以由(e-a,)=(e-a,)=0得2-b-2a=0,4-a .26=0.因 此a=0,b=2,于是z-=(2,2,2.-a=V2+2+2=2即为：到子空间W=,)的距离 例题9.3上三角的正交矩阵必为对角阵，且对角线上元素为1或-1. 证设A= 为上三角矩阵，则A1= 也为上三角矩阵由 于A为正交矩阵，于是A=A-1.即A 因此a)=0,(任≠， a11 于是A= 由AA=E得a=1,于是：=1或-1. 例题g.4设4为n阶可逆实矩阵证明 ()存在正交矩阵Q及上三角矩阵T使得A=Q,其中T的主对角线上的元素为正数，且这样的分解 是唯一的 (2)设A为n阶正定矩阵，则存在上三角矩阵T使得A=T'T. (③)存在正定矩阵P及正交矩阵U使得A=PU; 证()设a1,…,an为A的列向量组，因为A可逆，所以a1…,an作成R严的一组基.由Schimidt正交 化方法可将其变为的一组标准正交基m, %如下 0先正交化：=m,=2-会， =an-8 -n-1 于是a=,a2=盼a+2,…,am=++…+n-1+B 令an=盼，1≤j<i≤n,于是 1 1n (1,…,0n)=(,…,)K,其中K1 00. 1 (m)再单位化：令%=岛，即B=lB,1≤i≤n,则1，…，m为标准正交基且(，…，Bn)= (m…,n)K2,其中乃 因此 =(1 a2，T KK2,Q=(,…,n)则A=QT,其中Q为正交矩阵 T是主对角线上元素为3(>0)的上三角矩阵。 若4=Q五=QT为两种分解，其中Q1,Q为正交矩阵，五，T为主对角线上的元素为正数的上三 角矩阵，则QQ=TT-1.因为QQ为正交矩阵，所以TT-1为正交矩阵，同时T-1为上三角阵，所 以TT1为主对角线上元素为1或-1的对角阵.因为工，T的主对角线上元素为正数，所以TT-1为单位阵， 因此红=T.由T可逆得Q -0 3
(2) ¶R2 ò|IOƒ; (3) ¶› P, ¶A = P 0P. ~K9.2 x = (1, −1, 0)0 , y = (1, 0, −1)0 , z = (4, 2, 0)0 ∈ R3 , ¶zfòmW = L(x, y)Âl. ) -α = ax + by = (a + b, −a, −b) ∈ W ¶z − α ⊥ W, =(z − α, x) = (z − α, y) = 0. œ èz − α = (4 − a − b, 2 + a, b), §±d(z − α, x) = (z − α, y) = 0 2 − b − 2a = 0, 4 − a − 2b = 0, œ da = 0, b = 2, u¥z − α = (2, 2, 2). |z − α| = √ 2 2 + 22 + 22 = 2√ 3 =èzfòmW = L(x, y)Âl. ~K9.3 ˛n› 7èÈ , ÖÈDzÉè1½−1. y A = a11 · · · a1n . . . . . . ann è˛n› , KA−1 = b11 · · · b1n . . . . . . bnn èè˛n› . d uAè› , u¥A0 = A−1 . =A0 = a11 . . . . . . a1n · · · ann = b11 · · · b1n . . . . . . bnn , œdaij = 0,(i 6= j), u¥A = a11 . . . ann , dAA0 = Ea 2 ii = 1, u¥aii = 1½−1. ~K9.4 Aèn å_¢› , y² (1) 3› Q9˛n› T¶A = QT, Ÿ•TÃÈDzÉèÍ, Ö˘©) ¥çò. (2) Aèn ½› , K3˛n› T¶A = T 0T. (3) 3½› P9› U¶A = P U; y (1) α1, · · · , αnèAï˛|, œèAå_, §±α1, · · · , αnä§Rnò|ƒ.dSchimidt zê{åÚŸCèRnò|IOƒη1, · · · , ηn Xe (i) kz: β1 = α1, β2 = α2 − (α2,β1) (β1,β1) β1, · · · , βn = αn − (αn,β1) (β1,β1) β1 − (αn,β2) (β2,β2) β2 −· · ·− (αn,βn−1) (βn−1,βn−1) βn−1. u¥α1 = β1, α2 = (α2,β1) (β1,β1) β1 + β2, · · · , αn = (αn,β1) (β1,β1) β1 + (αn,β2) (β2,β2) β2 + · · · + (αn,β1) (β1,β1) βn−1 + βn. -aji = (αi,βj ) (βj ,βj ) , 1 ≤ j < i ≤ n, u¥ (α1, · · · , αn) = (β1, · · · , βn)K1, Ÿ•K1 = 1 a12 · · · a1n 0 1 · · · a2n · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · 1 . (ii) 2¸†z: -ηi = βi |βi| , =βi = |βi |ηi , 1 ≤ i ≤ n, Kη1, · · · , ηn èIOƒÖ(β1, · · · , βn) = (η1, · · · , ηn)K2, Ÿ•T2 = |β1| |β2| . . . |βn| . œd(α1, · · · , αn) = (η1, · · · , ηn)T1T2, T = K1K2, Q = (η1, · · · , ηn), KA = QT, Ÿ•Qè› , T¥ÃÈDzÉè|βi |(> 0)˛n› . eA = Q1T1 = QT踴©), Ÿ•Q1, Qè› , T1, T èÃÈDzÉèͲn › , KQ −1 1 Q = T1T −1 . œèQ −1 1 Qè› , §±T1T −1è› , ”ûT1T −1è˛n , § ±T1T −1èÃÈDzÉè1½−1È . œèT, T1ÃÈDzÉèÍ, §±T1T −1踆 , œdT1 = T. dTå_Q1 = Q. 3
(②)因为A为n阶正定矩阵，所以存在可逆矩阵P使得A=P卫.由(1)存在正交矩阵和及主对角线元素 大于零的上三角矩阵T使得P=UT,因此A=(UT)y(UT=T(UUT=TT. /111Y 例题9.5设4=-101 011 ()求正交矩阵Q及主对角线元素大于零的三角阵T使得A=QT (②)求正定矩阵P及正交矩阵U使得A=PU (3)求正交矩阵M及正交矩阵N使得MAN为对角阵 例题9.6设A是阶实矩阵，证明：存在正交矩阵T使得T-1AT为上三角矩阵的充要条件是A的特征 值全为实数 证必要性.设T-1AT=B,其中B为上三角矩阵，其主对角线上的元素依次为b11,·,bn,因为A,T为 实矩阵，所以b:为实数，i=1,·,n.因为A与B相似，所以有相同的特征值，因此A的特征值为b1,·,bnn为 实教 充分性.设1,·,入，为A的所有不同的实特征值，则存在实可逆矩阵P使得P-1AP=J为约当标准 型，其中J= J2 = i=1,…,8 λ1 因为A,为实数，所以J为实上三角阵.对P存在正交矩阵U及上三角矩阵T使得P=UT,于是(UT)1AUT =1.因此U-440 =TJT- 例题9.7设A,B为n阶实对称矩阵，B为正定矩阵.证明：存在一个n阶实可逆矩阵T使得TAT,TBT同 时为对角阵。 证由B为正定矩阵，故存在可逆矩阵C使得CBC=E.因为A对称，所以C'AC对称，所以存在正交 矩阵D使得D(CAC)D为对角阵.令T=CD,则T'AT,TBT同时为对角阵. 例题98设A,B为阶实对称矩阵，且A为正定的。证明：AB相似于对角阵.又若B也是正定的， 则AB的特征值为正实数. 证因为A正定，所以存在正交矩阵P使得PAP=diag(A1,·,入n),因此A=PMP',AB=PMP'B P(MPBP)P',于是AB相似于MPBP.令C=MPBP.因为A正定，所以M正定，从而存在正交矩 阵N使得M=N2,这样C=N2PBP,因此N-1CN=NP'BPN=(PNyB(PN).由于B实对称，所 以(PNyB(PV)为实对称于是(PNyB(PN)相似于对角阵D B ,C~(PNYB(PN)~D,即AB相 似于对角阵。 若B正定，由(PNyB(PN与B合同得(PN)'B(PN)正定，因此(PNYB(PN)的特征值为实数，从而AB的 特征值为正实数 例题9.9设n阶实矩阵矩阵A的特征值为实数且A4'=A'A,证明：存在正交矩阵T使得TAT为对角 证对n用归纳法.当n=1时结论显然成立.假定结论对n-1成立.考虑n的情形 n维欧式空间，2 为令为的特证雕量a为对的将证的盒将定的你代和干一二的凭吴 ·,n为标准正交基，则有V的线性变化 于a1:a2,…,an的矩阵，T为从g1:2,…,cn到a1:a2,…,an的过渡矩阵，则 4
(2) œèAèn ½› , §±3å_› P¶A = P 0P. d(1)3› U9ÃÈÇÉ åu"˛n› T¶P = UT, œdA = (UT) 0 (UT) = T 0 (UU)T = T 0T. ~K9.5 A = 1 1 1 −1 0 1 0 −1 1 . (1) ¶› Q9ÃÈÇÉåu"n T¶A = QT; (2) ¶½› P9› U¶A = P U; (3) ¶› M9› N¶MANèÈ . ~K9.6 A¥n ¢› , y²: 3› T¶T −1ATè˛n› øá^á¥AA ä è¢Í. y 7á5. T −1AT = B,Ÿ•Bè˛n› , ŸÃÈDzÉùgèb11, · · · , bnn, œèA, Tè ¢› , §±biiè¢Í, i = 1, · · · , n. œèA ÜBÉq, §±kÉ”Aä, œdAAäèb11, · · · , bnnè ¢Í. ø©5. λ1, · · · , λsèA§kÿ”¢Aä, K3¢å_› P ¶P −1AP = JèIO ., Ÿ•J = J1 J2 . . . Js , Ji = λi 1 λi . . . . . . λi 1 λi , i = 1, · · · , s. œèλiè¢Í,§±Jè¢˛n . ÈP3› U9˛n› T¶P = UT, u¥(UT) −1A(UT) = J. œdU −1AU = T JT −1 . ~K9.7 A, Bèn ¢È°› , Bè½› . y²: 3òán ¢å_› T ¶T 0AT, T0BT” ûèÈ . y dBè½› , 3å_› C¶C 0BC = E. œèAÈ°,§±C 0ACÈ°, §±3 › D¶D0 (C 0AC)DèÈ .-T = CD, KT 0AT, T0BT”ûèÈ . ~K9.8 A, Bèn ¢È°› , ÖAè½. y²: ABÉquÈ . qeB襽, KABAäè¢Í. y œèA½, §±3› P¶P 0AP = diag(λ1, · · · , λn), œdA = PMP0 , AB = PMP0B = P(MP0BP)P 0 , u¥ABÉquMP0BP. -C = MP0BP. œèA½, §±M½, l 3› N¶M = N2 ,˘C = N2P 0BP, œdN −1CN = NP0BP N = (P N) 0B(P N). duB¢È°, § ±(P N) 0B(P N)è¢È°.u¥(P N) 0B(P N) ÉquÈ D, AB ∼ C ∼ (P N) 0B(P N) ∼ D, =ABÉ quÈ . eB½, d(P N) 0B(P N)ÜB‹”(P N) 0B(P N)½,œd(P N) 0B(P N)Aäè¢Í,l AB Aäè¢Í. ~K9.9 n ¢› › AAäè¢ÍÖAA0 = A0A, y²: 3› T¶T 0ATèÈ . y Èn^8B{. n = 1û(ÿw,§·. b½(ÿÈn − 1§·. ƒnú/ V ènëÓ™òm, ε1, ε2, · · · , εnèIOƒ, KkV Ç5Czϕ¶ϕ'uε1, ε2, · · · , εn› èA.-λèA¢Aä, ¸†ï˛α1èÈAAï˛, ÚŸ*øèV IOƒα1, α2, · · · , αn, B¥ϕ' uα1, α2, · · · , αn› , T1èlε1, ε2, · · · , εn α1, α2, · · · , αn Lfi› , K 4
入b12b1n 0 622 ..b2n B= ,且B=TAI,I为正交矩阵.于是B=TA'T1,BB=TATTA'T1= TAAT=B 因此b2 b1n=0. b2…b2m 令B1 ,则B=0B ,且BB1=BB,因为A与B相似，所以由A的特征 值为实数知B1的特征值也为实数.因此有归纳假设，存在正交矩阵乃使得TB乃 知=('）r= 例题9.10欧式空间V的线性变换p称为对称变换，若((a),3)=(a,p(),对任意a,B∈V.证明 ()欧式空间V的线性变换为对称变换在任一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵 ()设为对称变换，y是p不变的子空间，则以也是不变的子 (曲)欧式空间V的对称变换的特征值为实数，特征向量为实向量，且属于不同特征值的特征向量一定 正交. 证dimV=n,e1,s2,·,en为v的标准正交基 0设p在e1,e2 cn下的矩阵为A=(a,则(e)=a11+a21+…+ama,(g)=aje1十 -A-Aam 2ye1+ 若A为对称矩阵，则对任意a,B∈V,令X,Y分别为a,B在e1,2,…,:下的坐标，因此p(a,p()在e1 ·,9m下的坐标分别为AX,AY.于是((a),B)=(AXyY=XA'Y=X'AY=(X,AY)=(a,(3) 从而2为对称变换. 例题9.11欧式空间V的线性变换p称为对称变换，若((a),)=-(a,p(3),对任意a,eV.证明 )欧式空间V的线性变换为反对称变换分在任一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵 ()设为反对称变换，上是 不变的子空间，则也是不变的子空间。 ()欧式空间V的反对称变换的特征值为零或纯虚。 =ai,a≠0为p的特征值，u+im为对应的 特征向量，则=一为V的特征值，“-为对应的特征向量，且叫=此属于互不共轭的特征值的特征 向量一定正交 ()反对称矩阵A的特征值为零或纯虚数，若入=ai,a≠0为A的特征值，u十i池，，v∈为对应的 特征向量，则=-a为A的特征值，u一切为对应的特征向量，且叫=叫 证dimv …,n为的标准正交基，为V的反对称变换 ()类似于例题9.11中()的证明可得： (间)设a∈，3∈，则(8，(a)=-((),a).因为%是p不变的子空间，所以()∈，因 此(e(),a)=0,于是(B,(a》=0.即y也是p不变的子空间. ()令入为A的特征值，X∈严为对应的特征向量，则AX=X.由A=-A得XAX=-AXX -AXTX=-xX'X,即X=-x'X,因此(A+刀x'X=0,因为X≠0，所以X'X≠0，于是入+入=0， 所以为零或纯虚数.进一步有，若AX=AK,则A下==不，因此也是A的特征值，下是对应的 特征向量 5
B = λ b12 · · · b1n 0 b22 · · · b2n · · · · · · · · · · · · 0 bn2 · · · bnn , ÖB = T 0 1AT1, T1è› . u¥B0 = T 0 1A0T1, BB0 = T 0 1AT1T 0 1A0T1 = T 0 1AA0T1 = B0B, œdb12 = · · · = b1n = 0. -B1 = b22 · · · b2n · · · · · · · · · bn2 · · · bnn , KB = λ 0 0 B1 ! , ÖB0 1B1 = B1B0 1 , œèAÜBÉq,§±dAA äè¢ÍB1 Aäèè¢Í. œdk8Bb, 3› T2¶T 0 2B1T2 = λ2 . . . λn . T = T1 1 T1 ! , KT 0AT = λ1 . . . λn . ~K9.10 Ó™òmV Ç5CÜϕ°èÈ°CÜ, e(ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)), È?øα, β ∈ V . y²: (i) Ó™òmV Ç5CÜϕèÈ°CÜ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› èÈ°› . (ii) ϕèÈ°CÜ, V1¥ϕÿCfòm, KV ⊥ 1 è¥ϕÿCfòm. (iii) Ó™òmV È°CÜAäè¢Í,Aï˛è¢ï˛, Ö·uÿ”AäAï˛ò½ . y dimV = n, ε1, ε2, · · · , εnèV IOƒ. (i) ϕ3ε1, ε2, · · · , εne› èA = (aij ), Kϕ(εi) = a1iε1 + a2iε1 + · · · + aniεn, ϕ(εj ) = a1j ε1 + a2j ε1 + · · · + anj εn, œd(ϕ(εi), εj ) = aji,(εi , ϕ(εj )) = aij . eϕèÈ°CÜ, K(ϕ(εi), εj ) = (εi , ϕ(εj )), =aji = aij , u¥A = A0 , AèÈ°› . eAèÈ°› , KÈ?øα, β ∈ V , -X, Y ©Oèα, β3ε1, ε2, · · · , εneãI, œdϕ(α), ϕ(β) 3ε1, ε2, · · · , εneãI©OèAX, AY . u¥(ϕ(α), β) = (AX) 0Y = X0A0Y = X0AY = (X, AY ) = (α, ϕ(β)), l ϕèÈ°CÜ. ~K9.11 Ó™òmV Ç5CÜϕ°èÈ°CÜ, e(ϕ(α), β) = −(α, ϕ(β)), È?øα, β ∈ V . y² (i) Ó™òmV Ç5CÜϕèáÈ°CÜ⇔ ϕ3?ò|IOƒe› èáÈ°› . (ii) ϕèáÈ°CÜ, V1¥ϕÿCfòm, KV ⊥ 1 è¥ϕÿCfòm. (iii) Ó™òmV áÈ°CÜAäè"½XJÍ; eλ = ai, a 6= 0èϕ Aä, u + ivèÈA Aï˛, Kλ = −aièV Aä, u − ivèÈAAï˛, Ö|u| = |v|; ·upÿ›AäA ï˛ò½. (iii’) áÈ°› AAäè"½XJÍ, eλ = ai, a 6= 0èAAä, u + iv, u, v ∈ RnèÈA Aï˛, Kλ = −aièAAä, u − iv èÈAAï˛, Ö|u| = |v|. y dimV = n, ε1, ε2, · · · , εnèϕIOƒ, ϕèV áÈ°CÜ. (i) aqu~K9.11•(i)y²å; (ii) α ∈ V ⊥ 1 , β ∈ V1, K(β, ϕ(α)) = −(ϕ(β), α). œèV1¥ϕ ÿCfòm,§±ϕ(β) ∈ V1, œ d(ϕ(β), α) = 0, u¥(β, ϕ(α)) = 0. =V ⊥ 1 è¥ϕ ÿCfòm. (iii’) -λèAAä, X ∈ RnèÈAAï˛, KAX = λX. dA = −A0X0AX = −(AX) 0X = −(λX) 0X = −λX0X, =λX0X = −λX0X, œd(λ + λ)X0X = 0, œèX 6= 0, §±X0X 6= 0, u¥λ + λ = 0, §±λè"½XJÍ. ?ò⁄k, eAX = λX, KAX = λX = λX, œdλXè¥AAä, X ¥ÈA Aï˛. 5