§3,2容斥原理 DeMogan定理的推广:设 AA2,,4,是U的子集 则(a)A1∪A2U.Jn=A∩A21…A2 (p)UU"UN=￥∩平∩∩ 证明:只证(a).N-2时定理已证。 设定理对n是正确的,即假定:
DeMogan定理的推广：设 1, 2 ,..., A A An是U的子集 2 1 2 ... ... 则 1 A An A A An (a)A 2 1 2 ... ... 1 A An A A An (b)A 证明：只证(a). N=2时定理已证。 设定理对n是正确的，即假定： §3.2 容斥原理
§3,2容斥原理 A1∪A2∪.,JAn=A1∩A21∩…∩An正确 A1∪AU.A1∪A1=(A∪.JA)∪A1 =(A∪AU…A2∩A1 =A∩A1…A42∩A 即定理对n+1也是正确的
2 1 2 ... ... 1 A An A A An A 正确 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ... ( ... ) ( ... ... n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A 1 则 A 即定理对n+1也是正确的。 §3.2 容斥原理
§32容斥原理 §2容斥原理 最简单的计数问题是求有限集合A 和B的并的元素数目。显然有 定理: AUB=|4+|B-A∩B( 即具有性质A或B的元素的个数等于具
§2 容斥原理 最简单的计数问题是求有限集合A 和B的并的元素数目。显然有 即具有性质A或B的元素的个数等于具 A B A B A B (1) 定理： §3.2 容斥原理
§32容斥原理 有性质A和B的元素个数。 U A AnB B
有性质A和B的元素个数。 U A AB B §3.2 容斥原理
§32容斥原理 证若A∩B=,则|A∪B=A|+|B A|=|A∩(BUB) =(A∩B)U(A∩B) =A∩B|+A∩B(1 同理|B|=|B∩A|+|B∩A|(2 A∪B|=(A∩(BUB)U(B(AUA (A∩B)∪(A∩B)∪(B∩A)∪(B∩A川 A∩B|+A∩B|+|B∩A(3)
§3.2 容斥原理 证 若A∩B=φ，则 | A∪B |= |A| + |B| | A |＝| A ∩( B∪B) | ＝| (A∩B)∪(A∩B)| ＝| A∩B | + | A∩B | ( 1 ) 同理 | B | ＝| B∩A | + | B∩A | ( 2 ) | A∪B |＝|(A∩( B∪B))∪(B∩(A∪A))| ＝|(A∩B)∪(A∩B)∪(B∩A)∪(B∩A)| ＝| A∩B| + |A∩B | + | B∩A| ( 3 )