西安电子科技大学：《数字通信理论与系统》课程教学课件（研究生）第4章数字调制与基带传输技术.pdf_P6-P10

西安电子科技大学 6 ( )|t iT g t = =δ ( )i = 1, 0 0, 0 i i ⎧ = ⎨ ⎩ ≠ (4.2-2b) 这个准则除了用于成形波设计，还隐含了整个传输过程不出现码间干扰的条件，即只要信道总特性符合这一准则，就可进行无 ISI 传输。符合式(4.2-2)条件的成形滤波器有许多种可能；但如果是单峰形式的波形，其长度最长只能是符号周期长度T ，其频率响应的带宽较宽，因而频带效率很低。 z 带宽为1/ (2 ) T 的理想低通滤波器，其单位冲击响应是 Sinc 函数，即 r g ( )t = sin( / ) sinc( / ) / t T t T t T π = π (4.2-3) 符合上述无 ISI 的条件；并且具有最高的频带效率，即基带传输 2Baud/Hz，载波调制传输 1Baud/Hz。但是 Sinc 函数波形的包络衰减很慢，呈1/ t 规律，需要截取相当长的波形才能足够精确地表示。这不仅使实现的复杂度高，而且对于符号定时偏差比较敏感。 z 升余弦谱特性的成形波也符合上述无 ISI 的条件；其频谱特性是在矩形的两边各加半个余弦波镶边，即 c 1 2 111 ( ) 1 cos[ ( )] 2 222 1 0, 2 T f T T T Gf f f TTT f T β β β β β β ⎧ − , 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ π− − + = + − , ⎨⎨ ⎬ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ + ⎪ > ⎩ ≤ ≤ ≤ ≤ (4.2-4a) 其中 β 称为滚降系数，0≤ β ≤ 1；相应的时域波形表达式为 (1 )/(2 ) j2 c c (1 )/(2 ) ( ) ( )e d T ft T g t Gf f β β + π − + = ∫ (4.2-4b) 图 4.2-2 升余弦谱特性的成形波其频谱带宽为(1 ) / (2 ) + β T ，因符号速率 Rs =1/T 因此基带传输时其频带效率为 η = 2 / (1 ) + β (Baud/Hz) (4.2-5) 如果采用载波调制传输，其频带效率还要降低一倍，即η =1 / (1 ) + β Baud/Hz，因为载波调制是基于平衡调幅法的双边带调制。 z β 值越大波形包络的衰减越快，有效长度越短。其波形包络的衰减呈 2 1/ t 规律；当 β = 0 时就变为 Sinc 函数。可以证明升余弦谱特性的成形波是符合奈奎斯特第一准则的。由于其带宽大于 Rs =1/ T ，因此如果以

第4章数学调制及基带传输技术符号速率对其波形进行采样得到(g.(mT),n=-0,-L,0,L.,0,就会因为不符合奈奎斯特采样定理而出现频谱混叠现象：但是这种混叠的频谱函数G。(@)正好是一个恒定的实常数，如图4.23所示：所得离散信号的频谱因混叠而正好使相邻两个频谱的过渡段互补而形成平坦的谱特性。图423以符号速率采样时成形波的频谱混叠现象 2.奈奎斯特第二准则奈奎斯特第二准则的基本思想是，对于一个符号序列所形成的信号波形在接收端能采用限幅法恢复各个符号的正、负矩形脉冲而无相互串扰。当波形设计合适时，在接收端选择合适的正负两个门限电平，对接收信号进行门限的检测和限幅，恢复出一个一个的正负矩形脉冲，然后在每个符号时间间隔内进行积分，确保在无噪声条件下符号间的串扰等于零。 @接妆信号波形 (通过，蚂得到的矩形液图424通过限幅恢复一个符号的矩形脉冲 3.奈奎斯特第三准则奈奎斯特第三准则是脉冲波形面积不变准则。如果每个符号的成形波在其时间间隔内的积分（面积）保持不变，而其他符号在这个符号时间间隔内的积分都等于零，那么接收端分别检测各个符号时就没有S。持续时间小于或等于符号时间间隔T的脉冲波形都满足这一准则。但是，这些单码元长度的成形波，其频带效率在基带传输情况下都小于或等于0.5Baud/Hz。基于这一准则的PAM调制基带传输，可达到的最高效率是1 Baud/Hz,此时必须采用特殊设计的、长度大于T的成形波。采用1/sinc(x)函数截取其主兼作为频谱函数，即 If>1/(2T) (4.2-6a 通过傅里叶反变换得到其时域波形 0=度y=02 (4.2-6b) sin(af) 用此波形作为成形波完全符合奈奎斯特第三准则，而且用于基带传输时的频带效率可达到1 波特Hz。西安电子科技大学

第 4 章数字调制及基带传输技术西安电子科技大学 7 符号速率对其波形进行采样得到{() c g nT ， n = −∞ − ∞ , , 1,0,1, , " " }，就会因为不符合奈奎斯特采样定理而出现频谱混叠现象；但是这种混叠的频谱函数 c G ( ) ω 正好是一个恒定的实常数，如图 4.2-3 所示；所得离散信号的频谱因混叠而正好使相邻两个频谱的过渡段互补而形成平坦的谱特性。图 4.2-3 以符号速率采样时成形波的频谱混叠现象 2．奈奎斯特第二准则奈奎斯特第二准则的基本思想是，对于一个符号序列所形成的信号波形在接收端能采用限幅法恢复各个符号的正、负矩形脉冲而无相互串扰。当波形设计合适时，在接收端选择合适的正负两个门限电平，对接收信号进行门限的检测和限幅，恢复出一个一个的正负矩形脉冲，然后在每个符号时间间隔内进行积分，确保在无噪声条件下符号间的串扰等于零。图 4.2-4 通过限幅恢复一个符号的矩形脉冲 3．奈奎斯特第三准则奈奎斯特第三准则是脉冲波形面积不变准则。如果每个符号的成形波在其时间间隔内的积分(面积)保持不变，而其他符号在这个符号时间间隔内的积分都等于零，那么接收端分别检测各个符号时就没有 ISI。持续时间小于或等于符号时间间隔T 的脉冲波形都满足这一准则。但是，这些单码元长度的成形波，其频带效率在基带传输情况下都小于或等于 0.5Baud/Hz。基于这一准则的 PAM 调制基带传输，可达到的最高效率是 1Baud/Hz，此时必须采用特殊设计的、长度大于T 的成形波。采用1 / sinc( ) x 函数截取其主瓣作为频谱函数，即 X f ( ) = / sin( ), | | 1 / (2 ) 0, | | 1/ (2 ) Tf fT f T f T ⎧π π ⎨ ⎩ > ≤ (4.2-6a) 通过傅里叶反变换得到其时域波形 1 2 j2 1 2 () e d sin( ) T ft T Tf x t f fT π − π = π ∫ 1 2 0 cos(2 ) 2 d sin( ) T fT ft f fT π π = π ∫ (4.2-6b) 用此波形作为成形波完全符合奈奎斯特第三准则，而且用于基带传输时的频带效率可达到 1 波特/Hz

4.2.3成形波函数的平移正交性如果成形波g0具有平移正交性，即{gú-)，1一，-l0,12,0}是一个正交基函数族，那么式(4.2-1)给出的符号波形成形表达式 -g-m+- (4.2-8) 就是一个正交基展开式，其中符号矢量序列{，}就是)在正交基函数族{g1-四}中各个函数上的投影。因此波形成形的过程，可看作由符号矢量空间{y}向正交基函数族{g(-)}空间的映射。在接收端得到s,)信号的估计)之后，要估计任意一个符号的特征矢量可，只需要进行逆映射，即同步相关运算： =∫0-iT)g1-Id1=-西，-1,0，l2.,o (4.2-9) 下面来证明某些成形波函数具有平移正交性。【定理】如果g)是符合无码间干扰奈奎斯特第一准则的成形波函数，并且是轴对称的实函数，设其频谱函数为G(o),那么谱特性为G(@)=√G(@的成形波函数&0具有平移正交性，即{8w-)1=.,-1,0,12.是一族正交基函数： -n6-ma-& k,i=.,-1,0,1,2. (4.2-10) 根据此定理可知，平方根升余弦谱特性的成形波都具有平移正交性。其实只要是符合奈奎斯特第一准则的任何其他成形波，只要将其频谱函数求平方根，所对应的成形波就具有平移正交性。Sinc函数也具有平移正交性，{Sinc(-m}是一族正交基函数。此外，符合无码间干扰奈奎斯特第三准则的单码元长度（即g)帅0）成形波也具有平移正交性，因为g0和g(-T)的非0值区间互不重叠 4.2.4码间干扰受控的波形成形技术 ●基于前述无S信号波形设计的三准则，载波调制方式传输时其频带效率总是小于 1Baud/Hz的。 ●如果放宽零ISI的要求，设计一个具有受控IS的带限信号波形x),虽然在i≠0时 x)的值不等于零而存在ISL,但它所引入的ISI是确定的，“受控的”，可以在检测中计及而不至于使误码特性显著变坏+。这种受控1S1调制方式基带传输时可实现频带效率可达2Baud/Hz的传输。这种受控1S1成形波信号称为部分响应信号，这种波形成形准则是奈奎斯特第二准则的一种变形和发展：但它必须将相邻两个符号进行联合判决。 1,双二进制成形波双二进制成形波，由两个频谱带宽都为2W的Si心函数错开r的时间相加得到，这里 T=1/(2W,即 x(t)=sinc(2Wr)+sinc[2(W-1/2) (4.2-11a) 西安电子科技大学

西安电子科技大学 8 4.2.3 成形波函数的平移正交性如果成形波 g( )t 具有平移正交性，即{ g( ) t iT − ，i = −∞ − ∞ , , 1,0,1,2, , " " } 是一个正交基函数族，那么式(4.2-1)给出的符号波形成形表达式 ( ) l s t = ( ) i i g t iT ∞ =−∞ ∑v − = () () [ ( ) ( )] m m i i i I g t iT jQ g t iT ∞ =−∞ ∑ −+ − (4.2-8) 就是一个正交基展开式，其中符号矢量序列{ i v }就是 ( ) l s t 在正交基函数族{ g( ) t iT − }中各个函数上的投影。因此波形成形的过程，可看作由符号矢量空间{ i v }向正交基函数族{ g( ) t iT − }空间的映射。在接收端得到 ( ) l s t 信号的估计 ˆ ( ) l s t 之后，要估计任意一个符号的特征矢量 ˆ i v ，只需要进行逆映射，即同步相关运算： ˆ i v = ˆ ( ) ( )d l t iT g t iT t ∞ −∞ − − ∫ s i = −∞ − ∞ , , 1,0,1,2, , " " (4.2-9) 下面来证明某些成形波函数具有平移正交性。【定理】如果 g( )t 是符合无码间干扰奈奎斯特第一准则的成形波函数，并且是轴对称的实函数，设其频谱函数为G( ) ω ，那么谱特性为 sqr G ( ) ω = G( ) ω 的成形波函数 sqr g ( )t 具有平移正交性，即{ sqr g ( ) t iT − i = − " " , 1,0,1,2, }是一族正交基函数： sqr sqr g ( ) ( )d t kT g t iT t ∞ −∞ − − ∫ = 1, 0, k i k i ⎧ = ⎨ ⎩ ≠ k i, , 1,0,1,2, =" " − (4.2-10) 根据此定理可知，平方根升余弦谱特性的成形波都具有平移正交性。其实只要是符合奈奎斯特第一准则的任何其他成形波，只要将其频谱函数求平方根，所对应的成形波就具有平移正交性。Sinc 函数也具有平移正交性，{Sinc( ) t iT − }是一族正交基函数。此外，符合无码间干扰奈奎斯特第三准则的单码元长度(即 | | /2 ( )|t T g t > =0)成形波也具有平移正交性，因为 g( )t 和 g( ) t iT − 的非 0 值区间互不重叠. 4.2.4 码间干扰受控的波形成形技术 z 基于前述无 ISI 信号波形设计的三准则，载波调制方式传输时其频带效率总是小于 1Baud/Hz 的。 z 如果放宽零 ISI 的要求，设计一个具有受控 ISI 的带限信号波形 x( )t ，虽然在i ≠ 0 时 x( ) iT 的值不等于零而存在 ISI，但它所引入的 ISI 是确定的，“受控的”，可以在检测中计及而不至于使误码特性显著变坏[4-1]。这种受控 ISI 调制方式基带传输时可实现频带效率可达 2Baud/Hz 的传输。这种受控 ISI 成形波信号称为部分响应信号，这种波形成形准则是奈奎斯特第二准则的一种变形和发展；但它必须将相邻两个符号进行联合判决。 1．双二进制成形波双二进制成形波，由两个频谱带宽都为 2W 的 Sinc 函数错开T 的时间相加得到，这里 T =1/ (2 ) W ，即 x t Wt Wt ( ) sinc(2 ) sinc[2( 1/ 2)] =+− (4.2-11a)

变形二进制脉冲波形在整数倍符号间隔处的取值为 1 i=-1 xT)={-l,i=1 (42-16) 0.其它显然也是存在可控ISI的。符号矢量序列{，1=0,1,2,0}的变形双二进制信号的形成方法如下： B=y-2' i=1,2,3.,0 (4.2-17) 然后用理想滤波器进行波形成形，即 0)=∑8snd2wu-T) (4.2-18) 此信号就可通过连续的基带信道传输。如果再进行平衡调幅将它调制到高频载波上，便可以在带通型信道中传输。 3.其他受控IS1带限信号成形方法上述双二进制信号成形方法，可以直接推广到M进制PAM调制的基带波形成形。设待发送的符号序列为{y,i=0,L,2,.,∞}，其中y有M种可能的取值，即{±1,3,5，M-1}。则 B=+ 1=1,2,3., (4.2-19) B的取值有2M+1种可能，即0,2,4,6，±M。然后用带宽为W的理想滤波器对{B}进行如式(4.2-14)所示的滤波，即完成了波形成形。另一种推广方式是放松到允许多个符号之间存在SI。上述部分响应成形波在整数倍符号间隔处有两个非零值，即两个符号之间存在S:可以推广到多个非零值，使多个符号之间存在IS1:这类波形的一般式为 0-立0小r】 (4.2-20a) 其相应的频谱为 - (4.2-20b) 0, >w 它们的基带传输频带效率都能达到2 Baud/Hz。但因存在多个符号相互干扰，接收处理显得很复杂而很难实用。 4.双二进制脉冲信号的逐个符号检测考虑二进制脉冲波形，当1=0和1=1时，xT)=1:对于其他1都有xT)=0。因此，接收端在每个符号间隔中点处抽样的值，应该是一个高斯随机变量，即 B=B.+n.=y+p,+n,i=1.2.3.o (4.2.21) 其中为第1个发送符号，{n}为加性高斯噪声。因为y=1,所以B的值有三种可能，即一2,0,2，相应的出现概率分别为14,12,14。假如不存在噪声，只要已正确判决，则由B可判决，=B-'。但实际中存在噪声会引起差错， ,判决不正确就可能导致，判决错误，即存在差错传播现象。实际上可以采用在发送端进行数据预编码、接收端做相应译码的方法，避免这样的差错传播，使逐个符号判决的办法能够实用：具体做法如下由希望发送的01二进制序列(D}产生一个预编码序列{}，预编码定义为 P=D,⊕P 1=1,2,3.,0 (42-22a) 西安电子科技大学 10

西安电子科技大学 10 变形二进制脉冲波形在整数倍符号间隔处的取值为 1, 1 ( ) 1, 1 0, i x iT i ⎧ = − ⎪ = ⎨− = ⎪ ⎩ 其它 (4.2-16) 显然也是存在可控 ISI 的。符号矢量序列{ i v ，i = ∞ 0,1,2,., }的变形双二进制信号的形成方法如下： Biii = − −2 v v ， i =1,2,3, , " ∞ (4.2-17) 然后用理想滤波器进行波形成形，即 1 ( ) .sinc[2 ( )] i i s t B W t iT ∞ = = − ∑ (4.2-18) 此信号就可通过连续的基带信道传输。如果再进行平衡调幅将它调制到高频载波上，便可以在带通型信道中传输。 3．其他受控 ISI 带限信号成形方法上述双二进制信号成形方法，可以直接推广到M 进制 PAM 调制的基带波形成形。设待发送的符号序列为{ i v ，i = ∞ 0,1,2, , " }，其中 i v 有M 种可能的取值，即{ ±1, 3, 5, , 1 ±± − " M }。则 Biii = + −1 v v ， i = ∞ 1,2,3, , " (4.2-19) Bi 的取值有 2 1 M + 种可能，即{0, 2, 4, 6, , } ±±± ± " M 。然后用带宽为W 的理想滤波器对{ Bi }进行如式(4.2-14)所示的滤波，即完成了波形成形。另一种推广方式是放松到允许多个符号之间存在 ISI。上述部分响应成形波在整数倍符号间隔处有两个非零值，即两个符号之间存在 ISI；可以推广到多个非零值，使多个符号之间存在 ISI；这类波形的一般式为 ( ) Sinc 2 2 2 N n N n n xt x W t =− W W ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = − ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∑ (4.2-20a) 其相应的频谱为 1 j / e 2 2 0, N n W n N n x fW X(f)= W W fW − π =− ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ , ⎜ ⎟ ⎨ ⎝ ⎠ ⎪ > ⎩ ∑ ≤ (4.2-20b) 它们的基带传输频带效率都能达到 2Baud/Hz。但因存在多个符号相互干扰，接收处理显得很复杂而很难实用。 4．双二进制脉冲信号的逐个符号检测考虑二进制脉冲波形，当i = 0和i =1时， x iT()1 = ；对于其他i 都有 x( ) iT =0。因此，接收端在每个符号间隔中点处抽样的值，应该是一个高斯随机变量 Bi ，即 B B i iiii i = +=+ + η v v −1 η ， i =1,2,3,.,∞ (4.2-21) 其中 i v 为第i 个发送符号，{ηi }为加性高斯噪声。因为 i v = 1± ，所以 Bi 的值有三种可能，即－2，0，2，相应的出现概率分别为 1/4，1/2，1/4。假如不存在噪声，只要 i−1 v 已正确判决，则由 Bi 可判决 i v = Bi − i−1 v 。但实际中存在噪声会引起差错， i−1 v 判决不正确就可能导致 i v 判决错误，即存在差错传播现象。实际上可以采用在发送端进行数据预编码、接收端做相应译码的方法，避免这样的差错传播，使逐个符号判决的办法能够实用；具体做法如下。由希望发送的 0/1 二进制序列{Di} 产生一个预编码序列{Pi}，预编码定义为 Pi ii = ⊕ D P−1 ， i =1,2,3, , " ∞ (4.2-22a)

西安电子科技大学：《数字通信理论与系统》课程教学课件（研究生）第4章 数字调制与基带传输技术

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