W,=qoJ'E.di =qoVp4、电势能和电势的单位在SI制中，电势能和电势的单位均为导出单位。电势能一一同于能量单位：焦耳（J）。lev=1.6x10-19J,1Kev=10"ev,1Mev=10°ev,1Gev=10°ev。电势一一移动单位正电荷之功：伏特（V）。焦耳J=1伏特，1=1V。库仑C5、综述说明(1)区别电势与电势能空间某点的电势与有否试探电荷。无关，反映电场本身的性质；电势能则与场中某点的9.大小正、负有关，为场及试探电荷所共有。(2)电势是标量，有正负、高低之分。某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。参见图1-27加以分析，其中设9、9o本身代表正电荷：qE-%+-q E④0+P源源PWp=-qo.dl<0,(0=0)di<0,(:0=元)Wp=qoV,=WW>0V, =<=-qoqo【正场源电荷之场中近点电势高(Vp>0)结论：电势高低【负场源电荷之场中远点电势高(Vp<0)/正在远点处电势能低正场源场中负在远点处电势能高电势能高低/正荷在远点W高负场源中负荷在远点W低21
21 ∫ ∞ = ⋅ = P P q VP W q E dl 0 0 4、电势能和电势的单位 在 SI 制中，电势能和电势的单位均为导出单位。 电势能——同于能量单位：焦耳（J）。 ev J 19 1 1.6 10− = × ， Kev ev 3 1 =10 ， Mev ev 6 1 =10 ， Gev ev 9 1 =10 。 电势——移动单位正电荷之功：伏特（V）。 伏特 库仑 焦耳 1 =1 ， V C J 1 =1 。 5、综述说明 (1) 区别电势与电势能 空间某点的电势与有否试探电荷 0 q 无关，反映电场本身的性质； 电势能则与场中某点的 q0 大小正、负有关，为场及试探电荷所共有。 (2) 电势是标量，有正负、高低之分。 某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。参见图 1-27 加以分析，其中设 q 、 0 q 本身 代表正电荷： ∫ ∫ ∞ ∞ = ⋅ > − = = − ⋅ < = P P P P P E dl q W V W q E dl 0 0 , ( 0) 0 0 θ ∫ ∫ ∞ ∞ = = ⋅ < = ⋅ < = P P P P P E dl q W V W q E dl 0 0 , ( ) 0 0 θ π 结论： < > ( 0) ( 0) P P V V 负场源电荷之场中远点电势高 正场源电荷之场中近点电势高 电势高低 电势能高低 负荷在远点 低 正荷在远点 高 负场源中 负 在远点处电势能高 正 在远点处电势能低 正场源场中 W W q q 0 0 ⊝ • 源 P ∞ E ♁ • － 源 P ∞ E q0 + q0 q − q
推论：i）正场源电荷的场中，近电荷处U，高；负场源电荷的情况则反之。IU-rOrT-Uii）正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点：负电荷则相反。iii)沿电场线方向电势逐点降低。作业和思考题：22
22 推论: i) 正场源电荷的场中，近电荷处UP 高；负场源电荷的情况则反之。 ii) 正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点；负电荷则相反。 iii)沿电场线方向电势逐点降低。 作业和思考题：
电磁学课程教案授课时间第4周星期三第3、4节授课题目（章、节)：$1-5电势及其梯度教学基本要求：理解电势和电势的定义和物理意义1.2.掌握电势的计算教学方案：S1-5电势及其梯度三、电势的计算方法之1：电势叠加原理法先介绍电势叠加原理内容。当电荷分布于有限域内，可选U=0，则q.点电荷场中：V=—电荷组场中：V=ZV，（分立时）。4元80dq1rdq连续电荷分布：取dg=pdv，αds，adl，则dV=而V4元604元60例1：电偶极子的电势。例2：带电圆环电势例3：带电圆盘电势方法之二：场强积分法已知场E=E(x,J,2)分布，代入U-U。=E·di，选取合适积分路径，即可计算P、Q两点的电势差。若取U。=0，则U，='E·di；当电荷分布在有限区域时，可选U。=U。=0，E.dl.例2：求均匀带电为q、半径为R的薄球壳的电势V分布。例3：求均匀带电为q、半径为R的球体的电势V分布。例4：求均匀带电无限长带电圆柱体的电势V分布。作业和思考题：1.6.21.6.31.6.41.6.51.6.61.6.823
23 电磁学 课程教案 授课时间 第 4 周 星期三 第 3、4 节 授课题目（章、节）： §1-5 电势及其梯度 教学基本要求： 1． 理解电势和电势的定义和物理意义 2． 掌握电势的计算 教学方案： §1-5 电势及其梯度 三、电势的计算 方法之 1：电势叠加原理法 先介绍电势叠加原理内容。当电荷分布于有限域内，可选U∞ = 0 ，则 点电荷场中： r q V 4πε 0 = ，。 电荷组场中： = ∑ i V Vi ，（分立时）。 连续电荷分布：取dq = ρ dv, σ ds, λ dl ，则 r dq dV 4πε 0 = ， 而 ∫ = r dq V 4 0 1 πε 例 1：电偶极子的电势。 例 2：带电圆环电势 例 3：带电圆盘电势 方法之二：场强积分法 已知场 E E(x, y,z) = 分布，代入 ∫ − = ⋅ Q P P Q U U E dl ，选取合适积分路径，即可计算 P 、Q 两点的电势差。若取UQ = 0 ，则 ∫ = ⋅ Q P P U E dl ; 当电荷分布在有限区域时，可选UQ = U∞ = 0 ， 则 ∫ ∞ = ⋅ P P U E dl 。 例 2：求均匀带电为q 、半径为 R 的薄球壳的电势V 分布。 例 3：求均匀带电为q 、半径为 R 的球体的电势V 分布。 例 4：求均匀带电无限长带电圆柱体的电势V 分布。 作业和思考题： 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.6.6 1.6.8
电磁学课程教案授课时间第4周星期五第3、4节授课题目（章、节)：$1-5电势及其梯度教学基本要求：理解电势与场强的微分关系1.2.掌握利用电势与场强的微分关系求解场强的方法3.教学方案：S1-6电势及其梯度等势面1.概念在电场中电势相等的点所连成的曲面称为等势面。并规定，相邻等势面之间电势差相等。等势面用来形象表示电场中电势的分布。等势面密的地方场强大，等势面稀疏的地方场强小。例（见图1)：（1）点电荷电场：（2）均匀电场：（3）等量异号电荷电场。+100(1)(2)(3)图1几种电场的电力线和等势面2.等势面与电力线的关系：（1）等势面与电力线处处正交。证明：将试验电荷qo沿着等势面移动位移dli，电场力作功为：dW = qE.dl = qEdl cos0 = qodV = 00=元因为E+0，dl+0，必须2，所以电场强度矢量（电力线）和等势面正交。（2）电力线方向，指向电势降落方向。（3）等势面与电力线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。二、电场强度与电势的关系nV1.电势梯度dl设电场中有非常靠近的两等势面V和V+dV（dV>0)。P,和P2分别为两等势面上的一点。从Pi作等势面V的法线n，规定其指向电势增加方向，V+av24
24 电磁学 课程教案 授课时间 第 4 周 星期五 第 3、4 节 授课题目（章、节）： §1-5 电势及其梯度 教学基本要求： 1． 理解电势与场强的微分关系 2． 掌握利用电势与场强的微分关系求解场强的方法 3． 教学方案： §1-6 电势及其梯度 一、等势面 1. 概念 在电场中电势相等的点所连成的曲面称为等势面。并规定，相邻等势面之间电势差相等。 等势面用来形象表示电场中电势的分布。 等势面密的地方场强大，等势面稀疏的地方场强小。例（见图 1）： （1）点电荷电场； （2）均匀电场； （3）等量异号电荷电场。 （1） （2） （3） 图 1 几种电场的电力线和等势面 2. 等势面与电力线的关系： （1）等势面与电力线处处正交。 证明：将试验电荷 q0 沿着等势面移动位移 dl ，电场力作功为： dW = q0E ⋅ dl = q0Edl cosθ = q0dV = 0 因为 E ≠ 0，dl ≠ 0 ，必须 2 π θ = ，所以电场强度矢量（电力线）和等势面正交。 （2）电力线方向，指向电势降落方向。 （3）等势面与电力线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。 二、电场强度与电势的关系 1. 电势梯度 设电场中有非常靠近的两等势面 V 和 V+dV（dV＞0）。P1和 P2 分别 为两等势面上的一点。从 P1 作等势面 V 的法线 n ，规定其指向电势增加方向
交等势面V+dV于P3点，场强E背离n方向。从Pi向P,引一位移失量i，根据电势差的定义，并考虑到两个等势面非常接近，因此：E~常矢量，则有：V-(V+dv)=E.di=Ecosodl即：-dV=EcosodlE=-dv令E,=Ecos为场强在di方向上的投影，则有：dl电场中某点的场强沿任意dl方向的投影等于沿该方向电势函数的空间变化率（电势函数的方向导数）的负值。两个特殊方向：dv（1）当=π时，di沿n方向，与E方向相反，有最大值，则该点电场强度的大小为：E =[E,/ = Vdn0=元dv（2）当2时，dl沿方向，与E方向相垂直，l有最小值，则该点电场强度的大小零，即：E,=0定义电势梯度（gradient）矢量：gradv=V_dyndn电势梯度的大小等于电势在该点的最大空间变化率：方向沿等势面法向，指向电势增加的方向。2.电场强度与电势的关系综上所述，我们有：E=-dv,n=-gradv=-Vdn电场中任一点的场强E，等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数的负值，即E的大小等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数，E的方向与法线方向相反。在直角坐标系，有：avE=-ovE,=-ovE, =，，azdyaxaVk)(1+j+E=-.O2ax3.几点讨论（1）V比E计算方便，因此对于给定电荷分布的系统，我们可以先求出V：然后在利用E=-VV求出E;（2）E取决于V的空间变化率，与V本身的值无关；(3）E的另一单位（SI)：伏·米-(V.m-")1(vm")=1(N.C-)（4）若gradV=0，则E=0，但V不一定为零。用电场强度和电势的关系，求均匀带电圆环轴线上一点的电场强度例题1（课本P45）qV=4nE (R? +x2)解：由前面例子我们已经求得轴线上一点P的电势为：avavavE.:E.Eaxay0=可得：由：25
25 交等势面 V+dV 于 P3 点，场强 E 背离 n 方向。 从 P1 向 P2引一位移矢量dl ，根据电势差的定义，并考虑到两个等势面非常接近，因此： E ≈ 常矢量 ，则有：V − (V + dV ) = E ⋅dl = E cosθ dl 即：− dV = E cosθ dl 令 El = E cosθ 为场强在dl 方向上的投影，则有： dl dV El = − 电场中某点的场强沿任意dl 方向的投影等于沿该方向电势函数的空间变化率（电势函数的 方向导数）的负值。 两个特殊方向： （1）当 θ = π 时，dl 沿n 方向，与 E 方向相反， dl dV 有最大值，则该点电场强度的大小 为： dn dV E = En = （2）当 2 π θ = 时，dl 沿τ 方向，与 E 方向相垂直， dl dV 有最小值，则该点电场强度的大 小零，即： = 0 Eτ 定义电势梯度(gradient）矢量： n dn dV gradV V = ∇ = 电势梯度的大小等于电势在该点的最大空间变化率；方向沿等势面法向，指向电势增加的 方向。 2. 电场强度与电势的关系 综上所述，我们有： n gradV V dn dV E = − = − = −∇ 电场中任一点的场强 E ，等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数的负值，即 E 的大小 等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数， E 的方向与法线方向相反。 在直角坐标系，有： z V E y V E x V Ex y z ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ， ， E ( i j k) z V y V x V ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∴ = − 3. 几点讨论 （1）V 比 E 计算方便，因此对于给定电荷分布的系统，我们可以先求出 V；然后在利用 E = −∇V 求出 E ； （2） E 取决于 V 的空间变化率，与 V 本身的值无关； (3) E 的另一单位（SI）： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 − − − − 伏⋅米 V ⋅m ， V ⋅m = N ⋅C （4）若 gradV=0, 则 E = 0 ，但 V 不一定为零。 例题 1（课本 P45） 用电场强度和电势的关系，求均匀带电圆环轴线上一点的电场强度。 解：由前面例子我们已经求得轴线上一点 P 的电势为： ( ) 1 2 2 2 0 4 R x q V + = πε ， 由： z V E y V E x V Ex y z ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ， ， 可得：