均匀带电圆环轴线上一点的电场强度为：aaqqxE=E,=xax[4e(R? +x46(R +)/2和前面直接积分法的结果相同。例题2（课本P45-P46）求电偶极子电场中任意一点的电势和电场强度。解：如图所示，+q和-q在A点的电势分别为：1_4,V.=1qV.:4元804元0由电势叠加原理得A点的电势为：q(1.1)V=V.+V. -4元80）0=q--4O+994元80对电偶极子：《r，-~lcoso，r2，所以有：qlcoso1pcosoV4元8。24元8021卫最高当0=0°时，V=4元80(1)1_P最低当0=元时，V=4元0(2)当0=时，cosO=0,V=0.(3)2qlxxcosO_二V =4o(2+y(r+y2)y2r:.由电场强度和电势的关系：ql y2-2x2avE,=4ne (P+yayFaxav-3xyqlE,4ne (r2 +yaayql (4x2 + y2y/2E+E2=-4元 (x2+y2)2ql 12p 1当y=0时，即延长线上，E=二4元4元(1)ql 1p1当x=0时，即中垂线上，E=一4元y4元y(2)作业和思考题：26
26 均匀带电圆环轴线上一点的电场强度为： ( ) ( ) 3 2 2 2 0 1 2 2 2 4 0 4 E R x qx R x q x x V Ex + = ∂ + ∂ = − ∂ ∂ = = − πε πε 和前面直接积分法的结果相同。 例题 2（课本 P45-P46） 求电偶极子电场中任意一点的电势和电场强度。 解：如图所示，+q 和-q 在 A 点的电势分别为： − − + + = = − r q V r q V 0 4 0 1 , 4 1 πε πε 由电势叠加原理得 A 点的电势为： + − − + + − + − − = = + = − r r q r r r r q V V V 0 0 4 1 1 4 πε πε 对电偶极子： 2 l〈〈r, r − r ≈ l cos , r r ≈ r − + θ + − ，所以有： 2 0 2 0 cos 4 cos 1 4 r p r q l V θ πε θ πε ≈ = （1） 当 时， ;最高 4 1 0 2 0 0 r p V πε θ = = （2） 当 时， ;最低 4 1 2 0 r p V πε θ = π = − （3） 当 时， cos 0, 0。 2 = θ = V = π θ ∵ ( ) 1 2 2 2 cos x y x r x + θ = = ，∴ ( ) 3 2 2 2 4 0 x y ql x V + = πε 由电场强度和电势的关系： ( ) 5 2 2 2 2 2 0 2 4 x y ql y x x V Ex + − = − ∂ ∂ = − πε ( ) 5 2 2 2 0 3 4 x y ql xy y V Ey + − = − ∂ ∂ = − πε ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 0 2 2 4 4 x y ql x y E Ex Ey + + = + = πε （1） 3 0 3 0 1 4 1 2 4 2 0 x p x ql y E πε πε 当 = 时，即延长线上， = = （2） 3 0 3 0 1 4 1 4 0 y p y ql x E πε πε 当 = 时，即中垂线上， = = 作业和思考题：
电磁学课程教案第授课时间星期一5周第3、4节授课题目（章、节）：S1静电场中的导体教学基本要求：1、了解导体的特性，理解导体的静电平衡条件2、理解静电平衡时导体上电荷分布教学方案：导体在电结构上的特殊性和静电平衡时的特殊条件，使导体在静电场中产生许多新现象和新应用，这些除与导体固有特性密切相关外，还须服从场方程，本章是上一章的应用、继续和发展。S1静电场中的导体一、导体的特性导体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动。对于金属导体，若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于正离子点阵间，从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度p=0。电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。二、导体的静电平衡条件1、静电平衡的定义带电体系中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随t而变的状态。2、静电平衡的条件所有场源（包括分布在导体上的电荷）共同产生的电场之合场在导体内处处为零，即E=0。[分析]一一当某原因使导体内存在电场E。（施感外场）时，E。推动自由电子作定向运动，引起自由电荷重新分布一一静电感应，出现感应电荷而产生附加场E，此时导体内存在：E。一一外场，驱使自由电子运动，但此场恒定。E'一一附加场，起因于电子定向运动的积累，阻止电子无休止地定向运动，此为变场。E。与E'方向相反，当达到E。与E在导体内完全抵消时，即E-E.+E'=0无净电力作用于电子，则它停止定向运动，电荷重新分布过程结束一一静电平衡。27
27 电磁学 课程教案 授课时间 第 5 周 星期一 第 3、4 节 授课题目（章、节）： §1 静电场中的导体 教学基本要求： 1、 了解导体的特性，理解导体的静电平衡条件 2、理解静电平衡时导体上电荷分布 教学方案： 导体在电结构上的特殊性和静电平衡时的特殊条件,使导体在静电场中产生许多新现象和新 应用,这些除与导体固有特性密切相关外,还须服从场方程,本章是上一章的应用、继续和发展。 §1 静电场中的导体 一、 导体的特性 导体内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以移动。 对于金属导体，若不受外场作用，又不带净电荷，则自由电子均匀地迷漫于正离子点阵间，从 宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体密度 ρ = 0。 电荷的分布和电场的分布相互影响、相互制约。 二、 导体的静电平衡条件 1、 静电平衡的定义 带电体系中的电荷不作宏观运动，因而电场分布不随 t 而变的状态。 2、 静电平衡的条件 所有场源（包括分布在导体上的电荷）共同产生的电场之合场在导体内处处为零，即 E = 0 。 [分析]——当某原因使导体内存在电场 E0 （施感外场）时，E0 推动自由电子作定向运动，引 起自由电荷重新分布——静电感应，出现感应电荷而产生附加场 ′ E ，此时导体内 存在： E0 ——外场，驱使自由电子运动，但此场恒定。 E′ ——附加场，起因于电子定向运动的积累，阻止电子无休止地定向运动， 此为变场。 E0 与 E′ 方向相反，当达到 E0 与 E′ 在导体内完全抵消时，即 E = E0 + E′ = 0 无净电力作用于电子，则它停止定向运动，电荷重新分布过程结束——静电平 衡
3、推论（1）导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。：导体内处处E=0，E·di=0,即U=U。。：导体上任两点电势差Upo=J(2）导体面外附近场强处处与表面垂直。：E与等势面正交，且导体表面为一等势面，：E=En（n为导体面外法向单位矢）。[两点说明]（1）导体表面是一自然的或特殊的等势面，实用中通过改变或选择电极形状来控制空间场分布。(2）关于本章研究问题的方法有特别之处：因P、E分布相互制约，故不宜研究达静电平衡的过程，而是以达到平衡为基础进一步分析问题。三、静电平衡时导体上电荷分布处在静电场中的导体，不管它本来带净电与否，达静电平衡总有一定电荷分布，问这些电荷分布在何处？怎样分布？1、导体内电荷体密度p=0，电荷仅分布于导体表面。针对此结论，分述情况研究和分析如下：(1）实心导体在导体内取任意闭面S作为高斯面，如图2-2(a)所示: E丙=0,SE.内·ds=0,一内即q内=0又因为S为任意的，所以p=0即静电平衡时导体内电荷体分布为零，电荷只能分布于导体V的表面上。28
28 3、推论 (1) 导体静电平衡时，导体是等势体、导体表面是等势面。 ∵ 导体内处处 E = 0 ， ∴ 导体上任两点电势差 ∫ = ⋅ = Q P PQ U E dl 0 ，即 UP = UQ 。 (2) 导体面外附近场强处处与表面垂直。 ∵ E 与等势面正交，且导体表面为一等势面， ∴ E En = （ n 为导体面外法向单位矢）。 [两点说明] (1) 导体表面是一自然的或特殊的等势面，实用中通过改变或选择电极形状来控制空间场分布。 (2) 关于本章研究问题的方法有特别之处：因 ρ 、 E 分布相互制约，故不宜研究达静电平衡 的过程，而是以达到平衡为基础进一步分析问题。 三、静电平衡时导体上电荷分布 处在静电场中的导体，不管它本来带净电与否，达静电平衡总有一定电荷分布 ，问这些电荷分 布在何处？怎样分布？ 1、导体内电荷体密度 ρ = 0，电荷仅分布于导体表面。 针对此结论，分述情况研究和分析如下： (1) 实心导体 在导体内取任意闭面 s 作为高斯面，如图 2-2(a)所示 E内 = 0 ， ∴ ⋅ = 0 ∫ E ds S 内 ， 即 q内 = 0 又因为 s 为任意的，所以 ρ = 0 即静电平衡时导体内电荷体分布为零，电荷只能分布于导体 V 的表面上
(2）空腔导体（腔内无荷）导体有腔，V为复通域，表面S，+S，，如图2-2(b)所示，分述如下：①导体内p=0情况（理由同上分析）。②腔体内表面上无电荷分布，电荷仅分布于外表面（S）上。结论：腔内表面无电荷分布，腔内空间场强处处为零，导体及其所围空间区域构成的整体为等势区其电势等于外表面处的电势值。(3）导体腔（腔内有带电体）①导体内p=0（理由同前分析）。②导体腔内表面带电与腔内电荷等量异号。2、电荷面分布函数α(x,y,2)导体静电平衡时，电荷分布于表面，但确定α(x,y,z)是有一定难度的。形状(1）一般情况(x,y,2)与导体带电总量等因素有关。即使周围引入不带电的其它导体也会改变α(x,y,2)分布（静电瘤其老的)。(2）特例一一孤立导体其它物体在该导体处的影响略而不计。此时导体表面α分布（相对分布）只与导体形状有关：凸的地方（曲率大），大：凹的地方（曲率小），小。Q例如：孤立带电Q、半径R的导体球（壳），外表面α=电荷球面对4元R2Q称分布；孤立无限大导体平板带电Q、面积S，各面α：2S作业和思考题：29
29 (2) 空腔导体（腔内无荷） 导体有腔，V 为复通域，表面 1 2 S + S ，如图 2-2(b)所示，分述如下： ① 导体内 ρ = 0情况（理由同上分析）。 ② 腔体内表面上无电荷分布，电荷仅分布于外表面( S1 )上。 结论：腔内表面无电荷分布，腔内空间场强处处为零，导体及其所围空间区域构成的整体为等势区， 其电势等于外表面处的电势值。 (3) 导体腔（腔内有带电体） ① 导体内 ρ = 0（理由同前分析）。 ② 导体腔内表面带电与腔内电荷等量异号。 2、电荷面分布函数σ (x, y,z) 导体静电平衡时，电荷分布于表面，但确定σ (x, y,z) 是有一定难度的。 (1) 一般情况 σ (x, y,z) 与导体 周围其它电荷的场 带电总量 形状 等因素有关。即使周围引入不带电的其它导体也 会改变σ (x, y,z) 分布（静电感应，达到新的平衡）。 (2) 特例——孤立导体 其它物体在该导体处的影响略而不计。此时导体表面σ 分布（相对分布）只与导体形状有关： 凸的地方（曲率大），σ 大；凹的地方（曲率小），σ 小。 例如：孤立带电 Q、半径 R 的导体球（壳），外表面 2 4 R Q π σ = ，电荷球面对 称分布；孤立无限大导体平板带电 Q、面积 S，各面 S Q 2 σ = 。 作业和思考题：
电磁学课程教案第授课时间5周星期三第3、4节授课题目（章、节)：$2.2封闭导体壳内外的静电场教学基本要求：1、理解封闭导体壳内外的静电场的分布规律理解两种静电感应现象2、S1静电场中的导体五、导体静电平衡时的讨论方法困难：因为电场影响导体，发生电荷重新分布，反过来，电荷的重新分布，又会改变电场的分布，这使得问题陷入了循环的地步，在数学上有相当的困难。解决途径：用电场线的性质+导体静电平衡的性质，可以定性甚至在某些情况下定量的解决一些问题。1．利用电场线定性讨论电场线始于正电荷，止于负电荷（或来自无穷远，去向无穷远）若带电体系中正，负电荷一样多则由正电荷出发的全部电场线都终止到负电荷上.若带电体系中正，负电荷不一样多，若正电荷>负电荷，则由正电荷出发的电场线部分终止到负电荷上，部分终止到无穷远顺着电场线的方向，电势降低，即一根电场线的起点电势比终点电势高例1：感应电荷的绝对值小于或等于施感电荷的绝对值例2：讨论接地导体表面的感应电荷分布例3：关于中性导体的电势2：对简单，特殊导体静电平衡问题进行定量计算主要计算问题为：导体上电荷分布及空间场强和电势的计算计算方法为：假设导体表面的电荷分布让假设的电荷分布满足：（1）电荷守恒定律：（2）导体内任一点场强为零根据电荷分布，利用第一章求解方法求出场强和电势例1：在一个接地导体球附近有一个电量为q的点电荷，已知球的半径为R。点电荷与球心的距离为1，求导体球表面上感应电荷的电量30
30 电磁学 课程教案 授课时间 第 5 周 星期三 第 3、4 节 授课题目（章、节）： §2.2 封闭导体壳内外的静电场 教学基本要求： 1、 理解封闭导体壳内外的静电场的分布规律 2、理解两种静电感应现象 §1 静电场中的导体 五、导体静电平衡时的讨论方法 困难： 因为电场影响导体，发生电荷重新分布，反过来，电荷的重新分布，又会改变电场的分布，这 使得问题陷入了循环的地步，在数学上有相当的困难。 解决途径： 用电场线的性质+导体静电平衡的性质，可以定性甚至在某些情况下定量的解决一些问题。 1. 利用电场线定性讨论 电场线始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去向无穷远) 若带电体系中正，负电荷一样多, 则由正电荷出发的全部电场线都终止到负电荷上. 若带电体系中正，负电荷不一样多,若正电荷>负电荷,则由正电荷出发的电场线部分终止到负电荷 上,部分终止到无穷远 顺着电场线的方向，电势降低，即一根电场线的起点电势比终点电势高 例 1：感应电荷的绝对值小于或等于施感电荷的绝对值 例 2：讨论接地导体表面的感应电荷分布 例 3：关于中性导体的电势 2: 对简单，特殊导体静电平衡问题进行定量计算 主要计算问题为： 导体上电荷分布及空间场强和电势的计算 计算方法为： 假设导体表面的电荷分布 让假设的电荷分布满足： （1）电荷守恒定律 ；（2）导体内任一点场强为零 根据电荷分布，利用第一章求解方法求出场强和电势 例 1：在一个接地导体球附近有一个电量为 q 的点电荷，已知球的半径为 R。点电荷与球心的距离为 l，求导体球表面上感应电荷的电量