楚雄师范学院：《电磁学》课程教学资源（习题解答）第九章 电磁场和电磁波

第九章电磁场和电磁波9-1-1如图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度E=720sin10π（伏/米），正方向规定如图。求：（1）电容器中的位移电流密度，（2）电容器内距中×105（秒）时的磁场强度的大小及心联线r=102（米）的一点P，当t=0，t+=2方向。（不考虑传导电流的磁场）N: ) 7-在空气中：D=.EODOE(720sin10°元）=720×10°m（安/米2）-0%80at（2）根据环路定理：H·d]=[(位+］传)·ds=2.2伏10E=2元8.6,P=(8, -1)s,E= (6, -1)2元,（3）介质内表面：=-P=-(s,-1)8E= _ (6, -1)g2元8,R外表面：,=(,-1%g)2元8,R23.5.13两共周轴的导体圆筒，内筒的外半径为R，外简的内半径为R，（RZ2R），其间的两层均匀介质，分界面的半径为r，内层相对介电常数为6,，外层相对介电，两介质的介电强度（即击穿强度）都常数为6r2=2是EM。当电压升高时，哪层电解质先击穿？证明：两筒最

第九章 电磁场和电磁波 9-1-1 如图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度 E=720sin10 5 t （伏 /米），正方向规定如图。求：（1）电容器中的位移电流密度，（2）电容器内距中 心联线 r=10 2 （米）的一点 P，当 t=0，t= 2 1 5 10 （秒）时的磁场强度的大小及 方向。（不考虑传导电流的磁场） 解：（1） j  位 = t D    在空气中： D E    0  t t t t E t D j     5 5 0 0 720 10 (720sin10 )             位 （安/米 2 ） （2）根据环路定理：  H  d  l  = (  )   2.2  j j ds s    位 传 伏 o r E    2 0  r p E r r r      2 ( 1) ( 1) 0 0     （3）介质内表面： P r 0E '     ( 1) = — 1 0 2 ( 1) rR r     外表面： 2 ' 0 2 2 ( 1 ) rR r       3．5.13 两共周轴的导体圆筒，内筒的外半径为 R1 ,外 筒的内半径为 R2 （ R22R1 ）,其间的两层均匀介质，分 界面的半径为 r，内层相对介电常数为 r1  ，外层相对介电 常数为 2 1 2 r r    ，两介质的介电强度（即击穿强度）都 是 EM 。当电压升高时，哪层电解质先击穿？证明：两筒最

R21大的电位差UM=rEMln2rR,证：设沿轴线单位长度内外筒的电量为土入。内层介质中的场强：元(R,ZrZr)E, =2元806.1外层介质中的场强：入E2 =(rLrZR,)2元80022Er"6r2 =2元L+U--dr, +drJR12元E06,12元806221n+一n2元68元"R82rR2元In-2元00rR故内层介质中场强最大植：元EM=206,RUM..EM=R2R, In -rR,外层介质场强的最大植：2UME2M-R2r InrR,E2M_2REMr又·RZ2R,E2M2R,R2>1EIMrr

大的电位差 1 2 2 ln 2 1 rR R U M  rEM 。 证：设沿轴线单位长度内外筒的电量为   。内层介质中的 场强： 0 1 1 1 2 r E r     （ R r r 1 1 ） 外层介质中的场强： 0 2 2 2 2 r E r     （ 2 R2 rr  ）  2 1 2 r r     2 0 2 2 1 1 0 1 1 2 2 2 dr r dr r U R r r r R r           =        r R R r r r 2 0 1 1 2 ln 1 ln 1 2    = 1 2 2 0 1 ln 2 rR R r    故内层介质中场强最大植：  0 1 1 1 2 R E r M      1 2 2 1 1 ln rR R R U E M M  外层介质场强的最大植： 1 2 2 2 ln 2 rR R r U E M M   r R E E M M 1 1 2 2  又  R22R1  r R E E M M 1 1 2 2  ＞ r R2 ＞1

即E2M>EIM因两种介质的击穿强度都是EM，古电压上升时外层介质中场强首先达到E2M=EM使其击穿。2UM由得出：E2M=EM:rhRrR,EMInR1UM=2rR3.6.1如图所示，由两层均匀电介质充满的圆柱形电，两电介质的相对介电常数分别为8，和sr2：设沿轴线单位长度上，内、外圆筒的电荷为几和-元；（1）问D及E在介质的分界面处是否连续？（2）求此电容器单位长度的电容。解：（1）利用高斯定理得：2D=在介质1中：(R,Zr/R,)2元mD=Ar在介质2中：(R,ZrZR, )2m在两介质的分界面上：元是连续的。D, = D, 2元R2D,元E, =3(R,ZrZR,2元806C00rD,1E, =(R,Lr/R,)2元8062806r2在两介质的分界面出；

即 E2M ＞ E1M 因两种介质的击穿强度都是 EM ，古电压上升时外层 介质中场强首先达到 E2M = EM 使其击穿。 由 1 2 2 2 ln 2 rR R r U E E M M  M  得出： 1 2 2 ln 2 1 rR R U M  EMr 3.6.1 如图所示，由两层均匀电介质充满的圆柱形电 ，两电介质的相对介电常数分别为 r1  和 r 2  ；设沿轴线单位 长度上，内、外圆筒的电荷为  和  ； （1） 问 D 及 E  在介 质的分界面处是否连续？ （2） 求此电容器单位 长度的电容。 解：（1）利用高斯定理 得： 在介质 1 中： r r D ˆ 2    （ 1 R2 R r ） 在介质 2 中： r r D ˆ 2    （ 2 R3 R r ） 在两介质的分界面上： r R D D ˆ 2 2 1 2       是连续的。 r r D E r r ˆ 0 1 2 0 1 1 1          （ 1 R2 R r r r D E r r ˆ 0 2 2 0 2 2 2          （ 2 R3 R r ） 在两介质的分界面出；

1E,2808,R元E2=2元608R在882时，E+E：E是不连续的元2R2U=(2)drJRI20JR22元[InR+二2元806元R,R672元2元806,16,2C=..A+eylneU6r,InRR,3.6.2分界面左、右两侧电介质的相对介电常数分别为：6,=3和6,=7。设在分界面左侧的场强大小为E,=1000伏/米，与发线成45°角，且指向右侧，求分界面右侧的场强E，。解：两种电介质界面上无自由电荷，故电位移矢量的法向分量是连续的。Din = D2n或E=2E2P118——P121P339在电容器中：传=0在平行板电容器中作过P点以r为半径的圆，如图所示

r R E r ˆ 2 0 1 2 1      r R E r ˆ 2 0 2 2 2      在 r1   r 2  时， E1 E2     E  是不连续的 （2） dr r dr r U R R r R R r     3 2 0 2 2 1 2 0 1 2      =        2 3 1 2 2 0 1 ln 1 ln 1 2 R R R R r r      C= 2 3 1 1 2 2 0 1 2 ln ln 2 R R R U R r r r r         3.6.2 分界面左、右两侧电介质的相对介电常数分别 为： r1  =3 和 r 2  =7。设在分界面左侧的场强大小为 E1  1000 伏/米，与发线成  45 角，且指向右侧，求分界面右侧的场强 E2  。 解：两种电介质界面上无自由电荷，故电位移矢量的法向分量 是连续的。 D1n  D2n 或 r1 0E1n r2 0E2n      P118——P121 P339 在电容器中： j传  0  在平行板电容器中作过 P 点以 r 为半径的圆，如图所示

根据对称性可知其上H大小相等。:4H.di-H.2m（选积分方向与H方向一致）J位·dS= j位mr?：Hg_720×10x10~5,cos10°m22=3.6×10元。cos10。（安/米）当t=0时，H=3.6×105元8（安/米）当t=×10'时，H=029.1.2一平行板电容器的两板面积均为A的圆形金属板，接一交流电源时，板上的电荷随时间变化。即q=qmsin ot。(1)试求电容器中的位移电流密度（2）试证两板之间的磁感应强度分布rolcos.ot，其中r为由圆板中心线到该点的距离。B=92A解：（1）q=qmsinot对于平行板电容器D=0. - lo - In sin otAAOD _ m cos ot J位=atA（3）根据环路定理知：H·di=门位·ds（电容器中的传=）以两极板中心线为对称轴，在平行于极板的平面内，以该平面与中心线的交点为圆心，以r为半径作圆，根据对称性知，其上H大小相等，选积分方向与H方向大小一致。fH.di =H.2m..Jj位 ds = jα·m-?

根据对称性可知其上 H 大小相等。   H  dl  H  2r   （选积分方向与 H  方向一致） 2 j dS j r S 位   位     2 720 10 10 cos10 2 5 0 5 2 j r t Hcp          位 =3.6  0 5 0 5 10  cos10  （安/米） 当 t=0 时，H=3.6 0 5 10  （安/米） 当 t= 5 10 2   时，H=0 9.1.2 一平行板电容器的两板面积均为 A 的圆形金属 板，接一交流电源时，板上的电荷随时间变化。 即 q q t 0  m sin 。 （1） 试求电容器中的位移电流密度 （2） 试证两板之间的磁感应强度分布 t A q r B m   cos 2 0  ，其中 r 为由圆板中心线到该点的距离。 解：（1） q q t 0  m sin 对于平行板电容器 t A q A q D m  sin 0  0    t A q t D j m    cos   位  （3） 根据环路定理知： H dl j s R        d   位 （电容器中的 j传  0  ） 以两极板中心线为对称轴，在平行于极板的平面内，以 该平面与中心线的交点为圆心，以 r 为半径作圆，根据对称 性知，其上 H 大小相等，选积分方向与 H  方向大小一致。   H  dl  H  2r   2 j dS  j r  位 位  