第六章磁介质7.1.1.一均匀磁化的电磁棒，直径为25毫米，长为75毫米，其总磁矩为12000安3.米2。求棒中的磁化强度M解：由M的定义式有：M-ZPA,M-Pa-12000A,元(25)2 *10-6 *75*10-32=3.3*103（安/米）7.1.2.半径为R的磁介质球被均匀磁化，磁化强度为M与Z轴平行（如图所示）。用球坐标表示出这个介质球面上的面磁化电流密度，并求出这样分布的磁化电流所提供的点磁矩Pm。解：7=(M,-M)*nn是介质球面的外法向单位向量。M,=M,M,=0..7=Mxn=Msin0面磁化电流可看作是相互平行的圆电流，圆电流所在平面与乙轴垂直。宽度为dl的面磁化电流产生的磁距为：dp_idl·Sk。上式中S为磁化电流i所围成的面积S=r2。S的法向与z轴一致故用其单位矢量k表示。整个球面上所有元dP的方向均指向k，故失量和变为求代数和。Pm=Jdp,=,imr~dl（dl=Rde R为介质球的半径，r=Rsinの）Pm=J" Msing.πR’ sin"o.Rdem amrao- m m4元RM写成矢量式Pm=由于是均匀磁化，不可用积分求解，而用式P.=MV--aR'M3
第六章 磁介质 7.1.1.一均匀磁化的电磁棒，直径为 25 毫米，长为 75 毫米，其总磁矩为 12000 安 3. 米2 。求棒中的磁化强度 M. 解：由 M 的定义式有： M = i P mi i P M 总 = 2 6 3 ) *10 *75*10 2 25 ( 12000 =3.3* 3 10 （ 安 米 ） 7.1.2.半径为 R 的磁介质球被均匀磁化，磁化强度为 M 与 Z 轴平行（如图所示）。 用球坐标表示出这个介质球面上的面磁化电流密度 " i ，并求出这样分布的磁化电 流所提供的点磁矩 Pm 。 解： ' i = ^ (M2 M 1 )*n ^ n 是介质球面的外法 向单位向量。 M2 M,M1 0 ∴ ˆ i M n M sin 面磁化电流可看作是相互平行的圆电流,圆电流所在平面与 Z 轴垂直。宽度为 dl 的面磁化电流产生的磁 距为： dp i dl Sk m ˆ 。 上式中 S 为磁化电流 i 所围成的面积 S= 2 r 。S 的法向与 z 轴一致故用其单位 矢量 k ˆ 表示。整个球面上所有元 d Pm ˆ 的方向均指向 k ，故矢量和变为求代数和。 P dP i r dl m m 0 2 （dl=Rd R 为介质球的半径，r=R sin ） R M d R M p M R Rd m 3 3 3 2 2 3 4 sin sin sin 写成矢量式 pm R M 3 3 4 由于是均匀磁化，不可用积分求解，而用式 Pm MV R M 3 3 4
7.1.3在磁化强度为M的均匀磁化介质中，挖去一球形空穴。证明：空球表面上磁化电流对球心0的磁感应强度为B=-2Su证明：由式i=Mxn判断出磁化电流i的方向如图所示，应为是球形空穴，上式中n为球面指向球心0点的法向单位。i的大小为i= Msin(π-0)=Msing。空穴表面的磁化电流可看作是许多平行的圆形电流。宽度为d1的磁化电流在空穴中心O点产生的dBdB'=or'i'dl;2R3式中R为球形空穴半径，r为圆形磁化电流半径，为z的单位失。由于所有圆形磁化电流在0点产生的均与反向，故把求失量和变成求代数和。B'=[dB'="["R’Sin"α-MsinoRde2R3(r = RSing, dl = R-do)2H.Msin'odo =u.M23写成矢量式：BB=-2u.M3《证明完毕》7.1.4螺绕环中心周长为10厘米，环上均匀密绕线圈为200匝，线圈中通过电流为0.1安，试求：（1）若管内充满相对磁导率μ，=4200的介质，求管内B的和H是多少？（2）求磁介质内由导线中电流产生的B。和由磁化电流产生的B各是多少？解：（1）在环内任取一点，过该点作一与环同心的圆周。半径为r。由对称性可知圆周上各点H大小相等，方向沿切向。由磁介质的安培环路定理得：f H.di -ZloH.2m=NINI。_200×0.1=200(安/米)H=0.12 元B=μH=μoμ,H=4元×10-7×4200×200=1.05（特）
7.1.3 在磁化强度为 M 的均匀磁化介质中，挖去 一 球形空穴。证明：空 球表 面上磁化电流对球心 O 的磁感应强度为 B M 3 2 证明：由式 i M n 判断出磁化电流 i 的方向如图所示，应为是球形空穴， 上式中 n 为球面指向球心 O 点的法向单位 矢。 i 的大小为 i M sin( ) M sin 。 空穴表面的磁化电流可看作是许多平行的圆形电流。宽度为 dl 的磁化电流在空 穴中心 O 点产生的 d B d B = k R r i dl ˆ 2 3 2 式中 R 为球形空穴半径，r 为圆形磁化电流半径，为 z 的单位矢。由于所有圆 形磁化电流在 O 点产生的均与反向，故把求矢量和变成求代数和。 d M M r R dl R d R Ms R B dB 3 2 sin 2 ( Sin ) R Sin in d 2 3 3 2 2 ， 写成矢量式： B B M 3 2 《 证明完毕》 7.1.4 螺绕环中心周长为 10 厘米，环上均匀密绕线圈 为 200 匝，线圈中通过电流为 0.1 安，试求： （1） 若管内充满相对磁导率 r 4200 的介质，求管内 B 的和 H 是多少？ （2） 求磁介质内由导线中电流产生的 B0 和由磁化电流产生的 ' B 各是多少？ 解：（1）在环内任取一点，过该点作一与环同心的圆周。半径为 r 。由对称性可 知圆周上各点 H 大小相等，方向沿切向。由磁介质的安培环路定理得： 200(安/米） 0.1 200 0.1 2 2 0 0 0 r NI H H r NI H dl I L 4 10 4200 200 1.05 7 0 B H rH （特）
(2) B=B+B由于μ,>1... B= B + BB = μonl。= 4元×10-7 ×200×0.10.1=2.5×10-4（特）B=B-Bo=1.05-2.5×10-4=1.05（特）7.1.5一铁环中心线的周长为30厘米，横截面积为1.0厘米2，在环上紧密地绕有线圈300匝。当导线中通有电流32毫安时，通过环的磁通量为2.0*10-8韦伯。试求：（1）铁环内部磁感应强度B的大小；（2）铁环内部磁场强度H的大小；（3）铁的绝对磁导率μ和磁化率x；（4）铁环的磁化强度M的大小。B==_2×10*6解：（1）1"1x10-=2×10-2(特)（2）由有磁介质时的安培环路定理H.di=NIo300×32×10-3NI。_3H==32（安/米）L0.3B= μuH(3)=H_2×10-2=6.25×10-4（韦/安·米）AB32A, =_ 6.25×10=494元×10-7Loxm=μ,-1= 496（4）M=xmH=496×32=1.59×104（安/米）7.1.6在螺绕环上密绕线圈400匝，环的平均周长是40厘米。当导线中通有电流20安时，测得环内磁感应强度是1.0特斯拉。计算环的圆截面中心处的下列各量：（1）磁场强度：（2）磁化强度：
（2） ' B B0 B 由于 r 1 ' B B0 B 2.5 10 (特） 0.1 0.1 200 4 10 4 7 0 0 0 B nI 1.05 2.5 10 1.05 4 0 ' B B B （特） 7.1.5 一铁环中心线的周长为 30 厘米，横截面积为 1.0 厘米 2 ，在环上紧密地 绕有线圈 300 匝。当导线中通有电流 32 毫安时，通过环的磁通量为 2.0*10 8 韦伯。试求： （1） 铁环内部磁感应强度 B 的大小； （2） 铁环内部磁场强度 H 的大小； （3） 铁的绝对磁导率 和磁化率 m x ； （4） 铁环的磁化强度 M 的大小。 解：（1） 2 4 6 2 10 1 10 2 10 S B （特） （2）由有磁介质时的安培环路定理 32（安/米） 0.3 300 32 10 3 0 0 L NI H H dl NI L （3） （韦 安米） 6.25 10 / 32 2 10 4 2 B H B H 1 496 49 4 10 6.25 10 7 4 0 m r r x （4） M = 4 xm H 49632 1.5910 （安/米） 7.1.6 在螺绕环上密绕线圈 400 匝，环的平均周长是 40 厘米。当导 线中通有电流 20 安时，测得环内磁感应强度是 1.0 特斯拉。计算环的圆 截面中心处的下列各量： （1）磁场强度； （2）磁化强度；
（3）磁化率；（4）磁化面电流和相对磁导率。解：（1）由有磁介质时的安培环路定理u,R, =u,2(b-R)R =-HrzbHn +μr2H, =oE_HrzbAr +μr2B, = MoGE L'nArzbr+μr2Ar,bAr2bH, =oE(b-)=0E—Mr +Hr2Hri +μr2B, = HoOE HnHrzbAn+μr27.1.9同轴电缆由两同心导体组成，内层是半径为R的导体圆柱，外层是半径分别为R.R,的导体圆筒，两导体内电流等量而反向，均匀分布在横截面上，导体的相对磁导率为μ，两导体间充满相对磁导率为μr的不导电的均匀介质。求B在各区域中的分布。解：由于对称性分析知在半径相等处H大小相等，方向与电流方向成右手螺旋。可用有介质时的安培环路定理求得H，再由B，H之间的关系式求得B的分布。H.di=Jmr<R,:R?r2H.2元R2rlH=2元R2B=HoH,H=MMrr!2元R?
（3）磁化率； （4）磁化面电流和相对磁导率。 解：（1）由有磁介质时的安培环路定理 ( ) ur1R1 ur2 b R1 1 2 2 1 r r r b R 1 2 2 1 r r r b H E 1 2 1 2 1 0 r r r r b B E 1 2 1 1 2 2 2 ( ) r r r r r r b E b H E b 1 2 1 2 2 0 r r r r b B E 7.1.9 同轴电缆由两同心导体组成，内层是半径为 R1 的导体圆柱，外层是半径 分别为 R2 . R3 的导体圆筒，两导体内电流等量而反向，均匀分布在横截面 上，导体的相对磁导率为 r1 ，两导体间充满相对磁导率为 r 2 的不导电的 均匀介质。求 B 在各区域中的分布。 解：由于对称性分析知在半径相等处 H 大小相等，方向与电流方向成右手 螺旋。可用有介质时的安培环路定理求得 H ，再由 B ， H 之间的关系式 求得 B 的分布。 r 〈 R1 ： 2 2 1 r R J H dl L I R r H r 2 1 2 2 2 2 R1 rI H 2 1 1 1 0 1 2 R rI B H r r
1R<r<R:JH.dl=1H=2元B= Holr,H = Holin!2元RR <r (R: fHodi=1-C"-R)π(R -R)H=(R'-r)2m(RR2)B= Mo,H = HoHn(R, -r2)2m(R -R2)r)R:fH.dl=0B=0H=0各区域B的方向与内层导体圆柱中的电流方向成右手螺旋。，7. 1. 10一绝对磁导率为μ的无限长的圆柱形直导线，半径为r其中均匀的通过电流I。导线外包一层绝对磁导率为μ,的圆筒形不导电磁介质，外半径为R。试求：7. 1. 2如图所示，相对磁导率为μ，的磁介质与真空交界，真空一侧是匀强磁场，磁场强度为B，其方向与界面法线夹角为θ，若在界面某点为球心以R为半径作一球面，求S面上H的通量为多少？并求磁感应强度沿着矩形路径积分的数值。F H.ds=H,-ds+J[H,ds解：(1)Bi.ds + J B2.dsSoLS为上半球面的面积，S,为下半球面的面积。由于B线连续所以II B dS = Bi, SoJJ B, -dS = -Ba,SoSS2S。为球面与介质面所交的截面积，n为s。的法向单位矢，方向向上。因而有：
R1 〈 r 〈 R2 ： H dl I l r I H 2 R I B H r r 2 0 2 0 2 R2 〈 r 〈 R3 ： I R R r R H dl I l ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 3 r R R R r I H 2 ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 0 1 3 0 1 r R R R r I B H r r r 〉 R3 ： 0 L H dl H 0 B=0 各区域 B 的方向与内层导体圆柱中的电流方向成右手螺旋。， 7.1.10 一绝对磁导率为 1 的无限长的圆柱形直导线，半径为 1 r 其中均匀的 通过电流 0 I 导线外包一层绝对磁导率为 2 的圆筒形不导电磁介质，外半径为 R2。 试求： 7.1.2 如图所示，相对磁导率为 r 的磁介质与真空交界，真空一侧是匀强磁 场，磁场强度为 B ，其方向与界面法线夹角为 ，若在界面某点为球心以 R 为半 径作一球面，求 S 面上 H 的通量为多少？并求磁感应强度沿着矩形路径积分的数 值。 解：（1） dS B dS B H dS H dS H dS S S S S 2 0 1 1 2 1 1 2 1 S 为上半球面的面积， 2 S 为下半球面的面积。由于 B 线连续所以 1 1 0 1 B dS B n S S 2 2 0 2 B dS B n S S 0 s 为球面与介质面所交的截面积， n ˆ 为 0 s 的法向单位矢，方向向上。 因而有：