第三章静电场的电介质3.2.1偶极矩为p=a1的电偶极子，处于场强为E的外电场中，p与E的夹角为θ。（1）若是均匀的，为什么值时，电偶极子达到平衡？（2）如果E是不均匀的，电偶极子能否达到平衡？解：（1）偶极子受的力：F, =F =qE因而F,=F偶极子受合力为零。偶极子受的力矩.T-PxE即T=qEsin当T=0时，偶极子达到平衡，E+0..pEsinQ=0p*0.0=0，元9=0这种平衡是稳定平衡。9=元是不稳定平衡。（2）当E不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。所以不能达到平衡。3.2.2两电偶极子p，和p，在同一直线上，所以它们之间距r比它们自己的线度大的很多。证明：它们的相互作用力的大小为F=PP，力的方向是：P，与P，同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。2元0元证：已知当r>>1时，偶极子在其延长线上→p=E一点的场强：2元60r3当Pi与p2同方向时，如图P2所受的力的大小：PiqF-Eq-2m80(r+么))
第三章 静电场的电介质 3.2.1 偶极矩为 p =q l 的电偶极子，处于场强为 E 的外电场中， p 与 E 的夹角为 。 （1） 若是均匀的， 为什么值时，电偶极子达到平衡？ （2）如果 E 是不均匀的，电偶极子能否达到平衡？ 解： （1）偶极子受的力： F =F _ =qE 因而 F =-F _ 偶极子 受合力为零。偶极子受的力矩 T = p E 即 T=qEsin 当 T=0 时，偶极子达到平衡， pEsin =0 p 0 E 0 =0 , =0 这种平衡是稳定平衡。 = 是不稳定平衡。 （2） 当 E 不是均匀电场时，偶极子除受力矩外还将受一个 力（作用在两个点电荷的电场力的合力）。所以不能达到平衡。 3.2.2 两电偶极子 1 p 和 2 p 在同一直线上，所以它们之间距 r 比它们自己的线度大的很多。证明：它们的相互作用力的大小为 F= 4 0 1 2 2 3 r p p ，力的方向是： 1 p 与 2 p 同方向时互相吸引，反方向时互相排斥。 证： 已知当 r >>l 时，偶极子在其延长线上 一点的场强： E = 3 0 2 r p 当 1 p 与 2 p 同方向时，如图 2 p 所受的力的大小： F =E q= r l r p q 2 3 0 1 ) 2 2 (
-prqF=2)2元80(r-2piqL2元801,1(r+2O126r2Piq22元0n等高级小量。及略去486piqlzF=4ncorr3piP22m6or4rM反方向时（如图），同理：与P2p,1prqF=2元8012(r233r21,piqX2元8012r4略去高级小量得：F=3PP210r4r3.2.3一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为，其所在处的电场强度为。（1）求电偶极子在该处的电位能，（2）在什么情况下电偶极子的电位能最小？其值是多少？
F = -E q= r l r p q 2 3 0 1 ) 2 2 ( F = F + F = r l r l r p q 2 3 2 3 0 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 2 = r l r l l r p q 3 2 2 2 2 2 2 3 0 1 ) 2 ( ) 2 2( 2 6 2 略去 4 2 2 l 及 8 3 2 l 等高级小量。 F = - r r p ql 4 0 1 2 4 6 = - r r p p 4 0 1 2 2 3 当 1 p 与 2 p 反方向时（如图），同理： F = r l r l r p q 2 3 2 3 0 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 2 = 0 1 2 p q r l r l r l 3 2 2 2 2 3 2 2 ) 4 ( ) 2 3 2( 略去高级小量得： F = r r P P 4 0 1 2 2 3 3.2.3 一电偶极子处在外电场中，其电偶极矩为 ，其所在处的电场强度为 。 （1） 求电偶极子在该处的电位能， （2） 在什么情况下电偶极子的电位能最小？其值是 多少？
(3)在什么情况下电偶极子的电位能最大？其值是多少？解：（1）电位能：WqU-q=q由于=-器，An=lcoso (o是与巨间夹角).AU=-ENn=-Elcos0W-qElcoso.=-p·E（2）当p与E一致时，-pE.即θ=0时电位能最小。（3）当p与E方向相反时，严pE.即θ=元时电位能最大。3.2.4一电偶极子，由q=1.0x10-8（库）的两个异号电荷所组成，这两个电荷相距为1=2.0（厘米），把这电偶极子放在1.0x105牛顿/库伦的均匀外场中,（1）外电场作用于电偶极子上最大转矩的多大？（2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力所作的功是多大？解：（1）外电场是匀强电场时，偶极子受的力矩为：T=pEsing当时9=时，力矩最大，2T=pE=q1E=10-8×2×10-2×10=2x10-3（牛顿·米）（2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力所做的功：A=[2TdO=pEsinede=pE=2×10-3（牛顿·米）3·4·1一平行板电容器面积为S，面板间距离为d，中间充满均匀电介质，已知当一板上自己电荷为Q时，整块介质的总偶极矩为总，求电容器中的电场强度。整块介质的总偶极矩为总
（3） 在什么情况下电偶极子的电位能最大？其值是 多少？ 解： （1）电位能： W=q U -q U_ =q U 又由于 E = - n n U ，n lcos ( 是 l 与 E 间夹角) U En El cos W= -qElcos = - p E （2）当 p 与 E 一致时，W= -pE.即 =0 时电位能最小。 （3）当 p 与 E 方向相反时， W= pE. 即 = 时电位能最大。 3.2.4 一电偶极子，由 q=1.0 10 8 （库）的两个异号电荷所组成，这两 个电荷相距为 l=2.0（厘米），把这电偶极子放在 1.0 10 5 牛顿/库伦的均匀外场 中， （1） 外电场作用于电偶极子上最大转矩的多大？ （2） 把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力 所作的功是多大？ 解： （1）外电场是匀强电场时，偶极子受的力矩为： T=pEsin 当时 = 2 时，力矩最大， T=pE=qlE=10 8 2 10 2 10 5 =2 10 3 (牛顿 米) （2）把偶极子从原来的位置（）转到最大转矩时，外力 所做的功： A= 2 0 Td = 2 0 sin pE d =pE=2 10 3 (牛顿 米) 3·4·1 一平行板电容器面积为 S，面板间距离为 d，中间充满均匀电介质，已 知当一板上自己电荷为 Q 时，整块介质的总偶极矩为 总, 求电容器中的电场强 度。 整块介质的总偶极矩为 总
极化强度=设上、下是介质上下两面的外法线，上=·上=Pn=P下=·下=—Pn=P自由电荷激发的场强：AB= AB极化电荷激发的场强：BA= — AB= AB= — AB电容器中电场强度：AB = AB3:4·22一半径为R，厚度为d的均匀介质圆板（Rd）被均匀极化，其极化强度为P，且平行于板画（如图所示），求极化电荷在圆板中心产生的电场强度。解：如图所示，在柱坐标系中：是面元法线与极化强度为夹角其中根据对称性分析，极化电荷在圆板中心产生的电场强度只有y方向分量(y轴与反方向），当R>>d时，略去高级小量得：3·4·3在图中A为一块金属，其外部充满均匀介质，其极化率为x，已知交界面上某点的极化电荷面密度为，求该点的自由电荷面密度
极化强度 = 设 上、 下是介质上下两面的外法线， 上= · 上= —Pn= —P 下= · 下= —Pn= —P 自由电荷激发的场强： AB= AB 极化电荷激发的场强： BA= — AB= — AB= — AB 电容器中电场强度： AB = AB 3·4·2 一半径为 R，厚度为 d 的均匀介质圆板（R d）被均匀极化，其 极化强度为 P，且 平行于板画（如图所示），求极化电荷在圆板中心产生的电 场强度。 解：如图所示，在柱坐标系中： 是面元法线与极化强度 为夹角 其中 根据对称性分析,极化电荷在圆板中心产生的电场强度只有 y 方向分量 (y 轴与 反方向), 当 R>>d 时,略去高级小量 得: 3·4·3 在图中 A 为一块金属,其外部充满均匀介质,其极化率为 x,已知 交界面上某点的极化电荷面密度为 ,求该点的自由电荷面密度
解：在静点平衡时，利用高斯定理可得，导体外（即介质内）紧靠导体表面一点的场强为：= =-与反方向，如图所示，是介质表面外法线又由于在介质内：=；==-=求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，已知极化强度为，如图所示.解：取球心Q为原点，极轴与平行的球坐标，由于轴对称性，表面上任一点A的极化电荷密度只与角有关.着也是A点外法线与的夹角，故这表明：在右半球为正，左半球为负；在两半球分界线面上，在3·4·5图中沿x轴放置的介质圆柱，地面积为S，周围是真空，已知介质内个点极化失量（为常数）（1）求圆柱两底面上的极化电荷密度及；（2）求出圆柱内体电荷密度。解: (1) °。 =P,h,=P,cos元=-kao,=P,-n,=P,coso=kb（2）由定义得：P.ds(Pr+dr - P.)SP'SdxT_ Skdx _ -kSdx3.4.6平行板电容器充满了极化率为新的均匀电介质，已知充电后金属板极板上的自由电荷面密度为土。，求电容器的电容C与没有电介质时的电容C之比。解：o'=P.n=P
解: 在静点平衡时,利用高斯定理可得,导体外(即介质内)紧靠导体表面一 点的场强为: = =- 与 反方向,如图所示, 是介质表面外法线. 又由于在介质内: = ; · = =- = 求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布,已知极化强度为 ,如图 所示. 解: 取球心 Q 为原点,极轴与 平行的球坐标,由于轴对称性,表面上任一点 A 的极化电荷密度 只与 角有关.着也是 A 点外法线 与 的夹角,故 这表明：在右半球 为正，左半球 为负；在两半球分界线面上， 在 3·4·5 图中沿 x 轴放置的介质圆柱，地面积为 S，周围是真空，已知介 质内个点极化矢量 （为常数） （1）求圆柱两底面上的极化电荷密度 及 ； （2）求出圆柱内体电荷密度 。 解：（1） P n P kb P n P ka b b b b a a a a ˆ cos 0 ˆ cos （2）由定义得： k Sdx Skdx Sdx P P S P dS p s x d x x 3.4.6 平行板电容器充满了极化率为新的均匀电介质，已知充电后金属板极板上 的自由电荷面密度为 0 ，求电容器的电容 C 与没有电介质时的电容 C0 之比。 解： P n ˆ P