第七章电磁感应与暂态过程6.2.1有一无限长螺线管，每米有线圈800匝，在其中心放置一个圆形小线圈，其匝数为30，其半径为1.0厘米，且使其轴线与无限长螺线管轴线平行，若在二利秒内，使螺线管中电流均匀地从0增到5.0安，问圆形小线圈中感应电100动势为多大？解：已知长螺线管内部产生的磁感应强度为：B=μoni通过圆形小线圈的磁通匝链数为：Φ=μni·n'元r?感应电动势的大小为：dd1=o nn'nr2 di23dtdt=4元2×10-7×800×30×10-×51100=4.74×10-（伏）6.2.2一无限长螺线管每厘米有200匝，载有电流1.5安，螺线管的直径为3.0厘米，在管内放置一个直么工业区规划2.0厘米的密绕100匝的线圈A，且使其轴线与无限长螺线管的轴线平行，在0.05秒内使螺线管中的电流匀速地降为0，然后使其在相反的方向匀速率地上升为1.5安，试问当电流改变时，线圈中的感应电动势有多大？此过程中感应电动势的大小，方向变不变？为什么？解：感应电动势的大小：dd=Honn'元r?di8=dtdt20010-×100×10×15-(-1.5)=4元2×107×30.05=4.74×10-（伏）此过程中感应电动势的大小方向均不变。大小不变是因为典是常dt量。根据楞次定律判断的方向不变。6.2.3如图所示，通过回路的磁通量与线圈平面垂直且指向纸面内，磁通量依下列关系变化Φ，=(6t2+7t+1)×10-3韦伯，式中t的单位为秒，求t=2秒时
第七章 电磁感应与暂态过程 6．2．1 有一无限长螺线管，每米有线圈 800 匝，在其中心放置一个圆形小 线圈，其匝数为 30，其半径为 1.0 厘米，且使其轴线与无限长螺线管轴线平行， 若在 1 100 秒内，使螺线管中电流均匀地从 0 增到 5.0 安，问圆形小线圈中感应电 动势为多大？ 解：已知长螺线管内部产生的磁感应强度为： B n i 0 通过圆形小线圈的磁通匝链数为： 2 0 n i n r 感应电动势的大小为： dt di nn r d t d e 2 0 100 1 5 4 10 800 30 10 2 7 4 4.74 10 ( ) 3 伏 6．2．2 一无限长螺线管每厘米有 200 匝，载有电流 1.5 安，螺线管的直径 为 3.0 厘米，在管内放置一个直么工业区规划 2.0 厘米的密绕 100 匝的线圈 A， 且使其轴线与无限长螺线管的轴线平行，在 0.05 秒内使螺线管中的电流匀速地 降为 0，然后使其在相反的方向匀速率地上升为 1.5 安，试问当电流改变时，线 圈中的感应电动势有多大？此过程中感应电动势的大小、方向变不变？为什么？ 解：感应电动势的大小： dt di nn r d t d 2 0 0.05 1.5 ( 1.5) 100 10 10 200 4 10 4 2 2 7 4.74 10 ( ) 2 伏 此过程中感应电动势的大小方向均不变。 大小不变是因为 dt di 是常 量。 根据楞次定律判断 的方向不变。 6．2．3 如图所示，通过回路的磁通量与线圈平面垂直且指向纸面内，磁通 量依下列关系变化 2 3 (6 7 1) 10 B t t 韦伯，式中 t 的单位为秒，求 t=2 秒时
回路中感应电动势的大小和方向。解：do (121 + 7)×10-38:dt=2秒时8=（12×2+7)×10-3=3.1×10-2（伏）电动势为逆时针方向。6.2.4由两个正方形线圈构成的平面线圈，如图所示，已知a=20（厘米），b=10(厘米），今有按B=Bsinのt规律变化的磁场垂直通过线圈平面，B。=1x10-2（特），①=100（弧度/秒）。线圈单位长度的电阻为5×10-2欧/米，求线圈中感应电流的最大值。解：当B想内且崇>0则§,6,均为道时针方向。故整个电路中的电动势大dt小为：dBdB(α -b)(S, -S,)=8=8,-8, =dtdtdB)(α2 -b3)而mdtdB= B,ocos otdtdB=Boadt将上试代入式得m=Boo(a?-b")Ia=- Bo(a'-b)_ Bo(a-b)R4R(a+b)4R。式中R。为单位长度的电阻。I=1×10~×100(20-10)×10-2=0.5（安）4×5×10-26.2．5如图所示，具有相同轴线的两个圆形导线回路，小回路在大回路上面，相距为x，x远大于回路半径R，因此当大回路中有恒定电流I按图示方向流动时，小线圈所围面积之内（元r2）的磁场可视为均匀的。现假定x以等速率
回路中感应电动势的大小和方向。 解： 3 (12 7) 10 t dt d B t 2秒时 （ ） 3 （伏） 2 12 2 7 10 3.1 10 电动势为逆时针方向。 6．2．4 由两个正方形线圈构成的平面线圈，如图所示，已知 a=20（厘米）， b=10（厘米），今有按 0 B B t sin 规律变化的磁场垂直通过线圈平面， 2 0 B 1 10 （特）， 100 （弧度/秒）。线圈单位长度的电阻为 2 5 10 欧/米，求线圈中感 应电流的最大值。 解：当 B 想内且 dt dB >0 则 1 2 , 均为逆时针方向。故整个电路中的电动势大 小为： ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 a b dt dB S S dt dB 而 ( ) 2 2 a b dt dB m m B t dt dB 0cos B0 dt dB m 将上试代入 m 式得 ( ) 2 2 m B0 a b 0 0 0 2 2 0 4 ( ) 4 ( ) ( ) R B a b R a b B a b R I m m 式中 R。为单位长度的电阻。 0.5( ) 4 5 10 1 10 100(20 10) 10 2 2 2 安 m I 6．2．5 如图所示，具有相同轴线的两个圆形导线回路，小回路在大回路上 面，相距为 x，x 远大于回路半径 R，因此当大回路中有恒定电流 I 按图示方向 流动时，小线圈所围面积之内（ 2 r ）的磁场可视为均匀的。现假定 x 以等速率
dx=v而变化。dt（1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和x之间的关系：（2）当x=NR时刻（N为一正数，小回路内产生的感应电动势）；（3）若v>0确定小回路内感应电流的方向。AoIR2解：（1）圆形电流轴上的B=-2(R2 +x)B= 4oIR?当 x>>R时2x3当小线圈的半径工较小时，小线圈内的B可作是均匀的，所以小线量Φ=B.元r?=01元rR?圈中的磁通量2x3（2）感应电动势的大小dp(μ01 元r?R)x-dx48=dtdt2将x=N R及v=会代入上式dt30元1r28=32R°N4V3）由楞次定律判断，小线圈中的电流方向与大线圈中的电流方向相同。6.3.1一细导线弯成直径为d的地圆形状（如图），均匀磁场B垂直向上通过导体所在平面。当导体绕着A点垂直于半圆面逆时针以勾角速度の旋转时，求导体AC间的电动势8Ac。解：在半圆AC之间连一补助线AC如图6.3.1（a）所示。当闭合的ABC半圆线圈在磁场中旋转时，由于转动过程中Φ不变: 8=-dp=0dt8=ABC +8cA=0..01c =0cxc=J(vxB)·dl ="Boldl= Bo["'ldl =oBd?..0ABC -10oBd226.3.2如图所示，忽略电阻的两平行导轨上放置一金属杆，其EF段的电
dx v dt 而变化。 （1）试确定穿过小回路的磁通量 和 x 之间的关系； （2）当 x=NR 时刻（N 为一正数，小回路内产生的感应电动势）； （3）若 v>0 确定小回路内感应电流的方向。 解：（1）圆形电流轴上的 2 3 2 2 2 0 2(R x ) IR B 当 x>>R 时 3 2 0 2x IR B 当小线圈的半径 r 较小时，小线圈内的 B 可作是均匀的，所以小线 圈中的磁通量 3 2 2 2 0 2x I r R B r （2）感应电动势的大小 dt dx I r R x dt d 2 2 4 0 ( ) 2 3 将 x=N R 及 代入上式 dt dx v v R N Ir 2 4 2 0 2 3 （3） 由楞次定律判断，小线圈中的电流方向与大线圈中的电流方向相同。 6．3．1 一细导线弯成直径为 d 的地圆形状（如图），均匀磁场 B 垂直向上 通过导体所在平面。当导体绕着 A 点垂直于半圆面逆时针以勾角速度 旋转时， 求导体 AC 间的电动势 AC 。 解：在半圆⌒AC 之间连一补助线 AC 如图 6.3.1（a）所示。当闭合的 ABC 半 圆线圈在磁场中旋转时，由于转动过程中 不变 ∴ 0 dt d ⌒ABC + C A =0 ∴ ABC AC d d AC v B dl B l d l B ldl Bd 0 2 0 2 1 ( ) ∴ ⌒ABC = 2 2 1 Bd 6．3．2 如图所示，忽略电阻的两平行导轨上放置一金属杆，其 EF 段的电
阻为R，有一均匀磁场垂直通过导轨所在的平面，已知导轨两端电阻为R与R，求当金属杆以恒导速率v运动时在杆上的电流I（忽略导轨与金属杆的摩擦及回路的自感）。×B).dl = vBl解：SFFvBlvBII =R,·RR+R#R+R, +R26.3.3一平行导轨上放置一质量为m的金属杆，其AB段的长为1，导轨的一端连接电阻R，均匀磁场B垂直地通过导轨平面（如图所示），当杆以初速度v向右运动时，试求：（1）金属杆能移动的距离？（2）在这过程中电阻R所发的焦尔热：（3）试用能量守恒规律分析讨论上述结果。（注：忽略金属杆AB的电阻及它在导轨的摩擦力，忽略回路自感。）解：Ⅲ（1）当金属杆AB以。的初速度向右运动，要产生动生电动势。由于它与电阻R组成闭合回路，载流导体AB在磁场中要受到作用力。在AB杆初始位置建立坐标OS。OBA=VBl1=VBIR又安培力公式得B"l,?B? dsF"=-ilBs=-5.(1)RRdt上式说明F与方向相反，AB杆受到的是阻力。AB运动到一定距离就会停止。由牛顿第2定律：f'= ma=mas(2)（1）（2）式相等：B212 dsdvma=mR dtdtmRd(3)ds = -Ba12将3式两边积分
阻为 R，有一均匀磁场垂直通过导轨所在的平面，已知导轨两端电阻为 R1 与 R2 ， 求当金属杆以恒导速率 v 运动时在杆上的电流 I（忽略导轨与金属杆的摩擦及回 路的自感）。 解： v B dl vBl E F FE ( ) 1 2 1 2 R R R R R vBl R R vBI I 并 6．3．3 一平行导轨上放置一质量为 m 的金属杆，其 AB 段的长为 l，导轨的 一端连接电阻 R，均匀磁场 B 垂直地通过导轨平面（如图所示），当杆以初速度 0 v 向右运动时，试求： （1）金属杆能移动的距离？ （2）在这过程中电阻 R 所发的焦尔热； （3）试用能量守恒规律分析讨论上述结果。 （注：忽略金属杆 AB 的电阻及它在导轨的摩擦力，忽略回路自感。） 解：m（1）当金属杆 AB 以 0 v 的初速度向右运动，要产生动生电动势。由于 它与电阻 R 组成闭合回路，载流导体 AB 在磁场中要受到作用力 f 。在 AB 杆初 始位置建立坐标 OS。 vBl BA R vBl i 。 又安培力公式得 s R B lv f il Bsˆ ˆ 2 2 s dt ds R B l ˆ 2 2 （1） 上式说明 f 与 0 v 方向相反，AB 杆受到的是阻力。AB 运动到一定距离 就会停止。 由牛顿第 2 定律： f ma mas ˆ （2） （1）（2）式相等： dt dv ma m dt ds R B l 2 2 dv B l mR ds 2 2 （3） 将 3 式两边积分
mR-dB212mRmRyS=(V)B12B12（2）所发的焦耳热Q=「iRdlBdQ-BrRJvd=BRJR?dtB"12B-?mRvds:B212RR-vd=1mg02（3）由于金属杆由初速为V。减至末速为零。动能的变化量1AEk=E始-E来=-mv2其值正好等于在整个过程中电阻发出的焦耳热。这说明由机械能转变为电能最后转变为热能，在整个过程中符合能量守恒转换定律。6.3.4上题中如果用一恒力F拉金属杆，求证杆的速度随时间变化规律为：B"12F(1-e"l)，其中a=（已知杆的初速率为0）。V-mRma证：由牛顿第2定律ma=F+f由于安培力的方向总与运动方向（即外力方向）相反，故写成B'1vma=F-f",f的大小为f'=RB312B212vdvdv=F_..m令α== dtR dtB212RFmRB?1?Mrdv积分αdtFmαAInma-αtFmaα
dv B l mR ds v S 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 ( ) B l mRv v B l mR s v （2）所发的焦耳热 Q i Rd l 2 v dt R B l R Q 2 2 2 2 dt dt ds v R B l 2 2 vds R B l 2 2 dv B l mR v R B l v 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 1 0 m vdv mv v （ 3 ） 由 于 金 属 杆 由 初 速 为 V 。 减 至 末 速 为 零 。 动 能 的 变 化 量 2 0 2 1 E E E mv K 始 末 其值正好等于在整个过程中电阻发出的焦耳热。这说明由机械能转变为电能 最后转变为热能，在整个过程中符合能量守恒转换定律。 6．3．4 上题中如果用一恒力 F 拉金属杆，求证杆的速度随时间变化规律为： 1 (1 ) F a v e ma ，其中 2 2 B l a mR （已知杆的初速率为０）。 证：由牛顿第 2 定律 ma F f 由于安培力的方向总与运动方向（即外力方向）相反，故写成 ma F f , f 的大小为 R B l v f 2 2 ∴ R B l v F dt dv m 2 2 dt v B l RF Mr B l dv 2 2 2 2 令 mR B l 2 2 积分 v t d t v m F dv 0 0 t m F v m F ln