西安电子科技大学：《数字信号处理》课程教学课件（讲稿）03 离散傅里叶变换DFT及其快速算法FFT

2.DFT的隐含周期性 ■由于 W=e W胶=W+m) ■所以X(k)满足： X(k+mN)=∑x(n)wW+mn n=0 N-1 =∑xmw=X() n=0 ■物理意义：XK)为X(e)在区间[0,2π]上的N点等间隔 采样。 ■X(eo)以2π为周期，X(k)以N为周期。 29

2．DFT的隐含周期性  由于 k k mN ( ) W W N N   2j N N W e ,    W W N N  所以X(k)满足： N W e , -1 ( ) 0 ( ) () N k mN n X k mN x n WN     n0 -1 () () N kn N  x nW X k   物理意义：X(k)为 在区间 上的 X e( ) j [0, 2 ] N点等间隔 0 () () N n  ( ) 采样。  以2π为周期 X(k)以N为周期 [ ] X e( ) ( ) j X e  29  X e( ) 以2π为周期，X(k)以N为周期

3.循环移位性质 ■循环移位： 口有限长序列x(n),序列长度为M,对序列进行周期延拓，周期N2M v(n）=∑x(n+mW)=x(n)wN 口×n)的循环移位序列：xy(n)左移m个单位，取主值序列 y(n)=(n+m)Ry(n)=x((n+m))y Ry(n) 30

3. 循环移位性质  循环移位:  有限长序列x(n),序列长度为M，对序列进行周期延拓 对序列进行周期延拓，周期N≥M x n x n mN () ( )       x n (( ))  x(n)的循环移位序列 左移m个单位 取主值序列 () ( ) N m x n x n mN     (( ))N  x n  x(n)的循环移位序列： x n N ( ) 左移m个单位，取主值序列 yn x n mR n x n m R n ( ) ( ) ( ) (( )) ( )    N N NN 30

■ x(n),M=5 x(n 01234 -5-4-3-2-10123456789 x(n+2) x(3) i1. 01234 567 x(4)02 0°x(2) x(n+2)R(n) x(0) (1) i 01234 31

xn M ( ), 5  5 x ( )n 01234 5 x n  ( 2)  -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 x n( 2)  -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 5 x  ( 2) ( ) n Rn  31 01234

3.循环移位性质 ■循环移位： 口有限长序列x(n),序列长度为M,对序列进行周期延拓，周期N2M v(n）=∑x(n+mW)=x(n)wN 口n的循环移位序列：元v(n)左移m个单位，取主值序列 y(n)=x(n+m)Ry (n)=x((n+m))xRy(n) ■Q:循环移位序列的DFT与原序列x)的DFT有何关系？ 32

3. 循环移位性质  循环移位:  有限长序列x(n),序列长度为M，对序列进行周期延拓 对序列进行周期延拓，周期N≥M x n x n mN () ( )       x n (( ))  x(n)的循环移位序列 左移m个单位 取主值序列 () ( ) N m x n x n mN     (( ))N  x n  x(n)的循环移位序列： x n N ( ) 左移m个单位，取主值序列 yn x n mR n x n m R n ( ) ( ) ( ) (( )) ( )     Q 循环移位序列的DFT与原序列 (n)的DFT有何关系？ ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) N N NN yn x n mR n x n m R n     Q: 循环移位序列的DFT与原序列x(n)的DFT有何关系？ 32

序列循环移位后的DFT y(n)=x((n+m))x Ry(n),N2M X(k)=DFT[x(n)]N ■则 Y(k)=DFT[y(n)]x =Wk X(k) ■证明： Y(k)=】 n+mR,0k=0L.N- n=0 N-1 N-1+m =∑xn+m)》vWg=∑x()x- n=0 I=m N-1+m =m =WX(k) 33

序列循环移位后的DFT ( ) (( )) ( ), N N yn x n m R n N M    ( ) [ ( )] X k DFT x n  N k  则  证明: ( ) [ ( )] ( ) km Y k DFT y n W X k N N   1 0 ( ) (( )) ( ) 0,1, 1 N kn NN N n Y k x n m R nW k N        n0 1 (( )) N kn N N x nm W     1 ( ) (( )) N m kl m N N xl W      n0 l m 1 (( )) N m km kl W xl W     1 ( ) N km kl W xlW   N NN (( ))  l m W xl W    0 ( ) N N l W xlW    33 ( ) km W Xk N 