例3.1.1 x(n)=R(n)分别计算序列的8点、16点DFT 解：8点DFT x)-立Rw-2e5 8k=0 0k=1,2,3,.,7 16点DFT -2k8 X()-R()R 1-W 1-e ,πk -jk 1=eke/2(e2=e2 e语sin _=e 2 1-ee(e-e π sin 16 k=0,1,2,.,15
例3.1.1 x() () n Rn 8 分别计算序列的 分别计算序列的8点、16点DFT 解: 8点DFT 7 8 8 () () kn X k R nW 8 7 2 8 j kn e 8 8 n0 n0 8 0 k 16点DFT 0 1, 2, 3, , 7 k 16点DFT 15 7 8 16 8 16 () () () kn kn X k R nW R nW 2 8 16 2 1 j k e 8 16 1 k k W 8 16 8 16 0 0 () () () n n 2 16 1 j k e 16 1 k W 7 sin kk k jj j j k k 7 22 2 16 8 16 16 16 sin 1 () 2 1 ( ) sin 16 jj j j k j k jk j k j k j k k e ee e e e ee e k 7 ( ) 16 0, 1, 2, , 15 e ee e k
幅频特性 8点DFT 10 5 爱 5 0 0.5 1 1.5 0 /r k 32点DFT 16点DFT 10 10 5 w.o. 8 1624 32 8 12 1日 ■N不同，DFT变换结果不同，因此N是DFT的一个参数 ■X(k)是X(eo)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样 8
N不同，DFT变换结果不同，因此 N 是DFT 的 一个参数 8 X k( ) 是 在频率区间 上的 ( ) N点等间隔采样 j X e [0, 2 ] 不同 变换结果不同 因此 是 的 个参数
3.1.2DFT与FT、ZT、DFS之间的关系 1.DFT与FT、ZT之间的关系 ■有限长序列 x(n) n=0,1,2,.M-1 N≥M ■DFT与FT、ZT (k)=DFTLx(a)(n)e M-1 0≤k≤N-1 i=0 Ke)=ZIx1=2m-”=2m= M- X(e)=FT[x(nl=∑xn)em=∑x(n)e- X(k)=X(e儿÷，X(k)=X(eo)儿a-k' 0≤k≤N-1 9
3.1.2 DFT与FT、ZT、DFS之间的关系 1. DFT与FT、ZT之间的关系 3 与 、 、 S之间的关系 有限长序列 xn n M ( ) 0,1,2, 1 N M DFT与FT、ZT ( ) 1 2j M kn 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) M n n j 0 ( ) [ ( )] ( )e 0 1 kn N N n X k DFT xn xn k N 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) n n n n X z ZT x n x n z x n z 1 ( ) [ ( )] ( ) ( ) M j jn jn 2 ( ) ( ) ( ) ( )| 0 1 j Xk X Xk X k N 0 ( ) [ ( )] ( ) ( ) j jn jn n n X e FT x n x n e x n e 9 2 () () ( ) ( )| 0 1 2 j k N N j z e k Xk X z Xk X e k N , ，
X(k)=X(e÷,X(k)=X(eo)儿ak, 0≤k≤N-1 ■序列x《)的N点DFT是xn)的Z变换在单位圆上的N点等 间隔采样，频率采样间隔为2T/N; ■X(k)为xn)的傅立叶变换X(e)在区间[0,2π]上的N 点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。 jIm[z] 2π X(eio) X(k) K=0 Re[Z] 2π 6 (N-1) 0 N-1 DFT与z变换 DFT与FT变换 10
2 () () j k N ( ) ( )| 2 0 1 j k Xk Xz Xk Xe k N , ， 序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等 间隔采样 频率采样间隔为2π / N； ( ) ( ) ( ) ( )| N 2 N z e k 间隔采样，频率采样间隔为2π / N； X(k)为x(n)的傅立叶变换 在区间 上的N 点等间隔采样 这就是DFT的物理意义 ( ) [0, 2 ] j X e j Z Im 点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。 X(ejω) X(k) 1 2 3 2 R Z 3 4 N k 0 2 o 0 N 1 k 0 ReZ 5 6 7 (N-1) k=0 DFT与z变换 10 6 N 1 k DFT与FT变换
3.1.2DFT与DFS、ZT、FT之间的关系 2.DFT与DFS之间的关系 ■有限长序列 x(n)n=0,1,2,.M-1 ■将x)以N为周期进行周期延拓，得到周期序列 v(n)=∑x(n+mW)=x(n)w m=- xx(n)=x(n)Rv (n) 显然，当 N≥M,x(n)=x(n) xv(n)是x(n)的周期延拓序列 x(n)是xv(n)的主值区间序列 11
3.1.2 DFT与DFS、ZT、FT之间的关系 2. DFT与DFS之间的关系 有限长序列 将 以 为周期进行周期 拓 得到周期序列 xn n M ( ) 0,1,2, 1 将x(n)以N为周期进行周期延拓，得到周期序列 x n x n mN x n ( ) ( ) (( )) N N ( ) ( ) (( )) m x n x n mN x n () () () N NN x n x nR n 显然，当 () () () N NN x n x nR n , () () N M x n xn N x n N ( ) 是 的周期延拓序列 x( ) n 11 x( ) n 是 的主值区间序列 ( ) Nx n