§2.3起始点的跳变一一从0到0+状态的转换 0、0+状态的定义 0状态:系统在激励信号加入之前瞬间的一组状态,定为 r(0)=[r(0),2r(0) 称为系统的起始状态,简称0状态 对于一个具体的电网络,0状态就是系统是储能元件的储能情况, 0+状态:系统在激励信号加入之后,由于受到激励的影响,0瞬 间状态从t=0到t=0+时刻可能发生变化加入后瞬间的这组状态, 定为 r((O+)=[r(O+)r(O+) (O+ dt ) 称为初始条件,简称0+状态
§2.3起始点的跳变－－从0_到0+状态的转换 一、 0_ 、0+ 状态的定义 0_状态：系统在激励信号加入之前瞬间的一组状态，定为 (0 ) [ (0 ), (0 ),... (0 )] 1 1 + = + + + − − r dt d r dt d r r n n （k） 称为系统的起始状态，简称0_状态 0＋状态：系统在激励信号加入之后,由于受到激励的影响,0_瞬 间状态从t=0_到t=0+时刻可能发生变化,加入后瞬间的这组状态， 定为 称为初始条件，简称0+状态 对于一个具体的电网络,0_状态就是系统是储能元件的储能情况, (0 _) [ (0 _), (0 _),... (0 _)] 1 1 r dt d r dt d r r n n k − − = （ ）
0_、0+边界条件值的确定 令1、t<0时,系统已达稳定,根据电路定律求得储能元件L c的初始值(0)uc(0_) 2、t=0加入信号,从t=0到t=0+时刻,是否变化取决于: 微分方程右端的是否包含有冲激及其导数。 包含有,则0、0+状态发生变化,r0_r(0+) 不包含,则不发生变化,r(0)=r(0+) 由冲激匹配法或冲激平衡法把给定的0转换为0+边界值
二、 0_ 、0+ 边界条件值的确定 ❖ 1、t<0时，系统已达稳定，根据电路定律求得储能元件L、 C的初始值i(0_) uc(0_) ❖ 2、t=0加入信号，从t=0_到t=0+时刻 ，是否变化取决于： 微分方程右端的是否包含有冲激及其导数。 包含有，则0_ 、0+ 状态 发生变化，r(0_)=r(0+) 不包含，则不发生变化，r(0_)=r(0+) ❖ 由冲激匹配法或冲激平衡法把给定的0_ 转换为 0＋边界值
已知系统微分方程,起始条件及激励信号判断 在起始点是否发生跳变,并写出r(0+)边界值 冲激匹配法dh(t) +3r(t)=36(1),r(0)=0 解:方程右端含有冲激项,起始点发生跳变 右边最高次:8(),左边最高次r() 设r(t)=a(t)+bo(t)+c△(t) r(t)=ad(t)+b△(t) [aS"(t)+b6()+c△(t)+3{a6(t)+b(t)]=30(1) 3 b+3a=0 abc r(0)-(0)=b=-9 C+3b=0 r(0+)=-9
( ) 3 ( ) 3 '( ), (0 _) 0 dr t r t t r dt + = = 右边最高次: '( ), '( ) t r t 左边最高次 设r'(t) = a'(t)+b(t)+cu(t) r(t) = a (t) + bu(t) [a '(t) + b (t) + cu(t)]+ 3[a (t) + bu(t)] = 3 '(t) + = + = = 3 0 3 0 3 c b b a a 解：方程右端含有冲激项， 起始点发生跳变 冲激匹配法 = = − = 9 9 3 c b a 因此， , (0 ) , , , 在起始点是否发生跳变 并写出 边界值 已知系统微分方程 起始条件及激励信号 判断 r + r r b (0 ) (0 _) 9 + − = = − r(0 ) 9 + = −
冲激平衡法 +2r()=e(t),r(0)=0,e(t)=l(t) 解:方程右端不含有沖激项,则不发生跳变,r(0)=r(0+)=0 釆用冲激平衡法求解即微分方程两边的最高阶项应保持平衡. 推导:因方程右端最高项为r(),故有 左边:r(t)→>右边:l(t) r()→>t(t) 显然tu(t)在t=0处连续而无跳变,故有在t=0处无跳变, 即r(0)-r(0+)=0 r(0+)=r(0)=0
: '( ) : ( ) : '( ), . . : , , (0 _) (0 ) 0 2 ( ) ( ), (0 _) 0, ( ) ( ) ( ) r t u t r t r r r t e t r e t u t dt dr t 左边 右边 推导 因方程右端最高项为 故有 采用冲激平衡法求解即微分方程两边的最高阶项应保持平衡 解 方程右端不含有冲激项 则不发生跳变 → = + = + = = = r(t) → tu(t) 显然,tu(t)在t=0处连续而无跳变,故有在t=0处无跳变, 即r(0_)-r(0+)=0 r(0+)=r(0_)=0 冲激平衡法
dr(t) 2.,+2r(t)=3 de(t dt r(0)=0,e(t)=l(t) 解:方程右端含有冲激项,起始点发生跳变 方程两边平衡有:r(1)→3e'(t)=36() (t)→>3l( 显然r(t)在t=0处有跳变,即r(0+)-r0)=3 因此, r(0+)=(0)+3=3
, (0 _) 0, ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) r e t u t dt de t r t dt dr t 2. + = = = ( ) 3 ( ) '( ) 3 '( ) 3 ( ) r t u t r t e t t → → = 显然,r(t)在t=0处有跳变,即 r(0+)－r(0_)=3 因此， r(0+)=r(0_)+3=3 方程两边平衡有： 解：方程右端含有冲激项， 起始点发生跳变