y四、求解微分方程 由D(p)r(t)=N(p)e(t), 齐次解的求解:描述方程式左边=0的解 即求解(p+an-1p1+…+a1p+ao)r=0 A:对于一阶齐次方程(p-4)r=0 ar 丌r=0→=at 取不定积分有hr=+k→r(t)=ce,(c=e) 其中c为待定系数,由系统初始条件决定 若r(0已知,有:r(0)=ce0,则c可求 若r()知,有:r(1)=r(t0)e0)自已证
1） 由D(p)r(t)=N(p)e(t), ( ... 1 0 ) 0 1 + 1 + + + = − − p a p a p a r n n 即求解： n A：对于一阶齐次方程 ( p − )r = 0 t r t k r t ce dt r dr r dt dr = + = − = = ln ( ) 0 取不定积分有： ;( ) k c = e 其中c为待定系数，由系统初始条件决定 = = ( − ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (0) (0) , t t r t r t r t e r r ce c 若 已知，有： 若 已知，有： 则 可求自已证 四、求解微分方程 齐次解的求解：描述方程式左边=0的解
§24系统的零输入响应 B:对于二阶齐次方程 (p+a,p+aor=0 设p2+a1p+a0=0的两单根为,A2,则: (P-1)(p-22)r(t)=0 (p-41)=0与(p-2)=0中能成立一个,则(1)成立 若两个都成立,则两者之和满足方程(1),即有: r(t)=ce +c,e c1c2为待定系数,一般r(O)=c1+c2、∫1 r(O)=1c1+2c 于是方程得解
§2.4 系统的零输入响应（2） B：对于二阶齐次方程： ( 1 0 ) 0 2 p + a p + a r = ( )( ) ( ) 0 0 1 2 1 0 1 2 2 − − = + + = p p r t p a p a 设 的两单根为 ， ，则： (p −1 )r = 0与(p −2 )r = 0中能成立一个，则（1）成立 （1） 若两个都成立，则两者之和满足方程(1),即有： t t r t c e c e 1 2 1 2 ( ) = + = = = + = + 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 '(0) (0) , c c r c c r c c c c 为待定系数，一般： 于是方程得解
C:对于一般系统:D(P)=(P”+an-1p+…+a1p+a0)r=0 D(p)=0特征方程P45 D(p)=0的根称为特征根,特征根对应的频率称自然频率。 、若D(P)=0有n个单根,22…n,则: r()=ce+c2e+…+c,e 2、若D(P)=0有重根,不妨设1为n重根,则: r(t)=(c1+c21+….+cn1m)e4+cne++cnel 3、若D(p)=0有复根,则一对复根对应的解的形式为: r()=e"(c.sm+c2cosB)(设复根2=a±B) 其中c1c2Cn为待定系数,由n个初始条件决定 (0)=…;r(0) ··· r(m=1(0) →c;,= 2
C：对于一般系统： ( ) ( ... 1 0 ) 0 1 = + 1 + + + = − − D p r p a p a p a r n n n D(p)=0——特征方程 P45 D(p)=0的根称为特征根，特征根对应的频率称自然频率。 t n t t n n r t c e c e c e D p n = + + + = ( ) ... 1 ( ) 0 ... , 1 2 1 2 、若 有 个单根 1 ， 2 则： t n t m m t m n r t c c t c t e c e c e D p n = + + + + + + = + − ( ) ... ) ... 2 ( ) 0 1 2 1 1 1 2 1 （ 、若 有重根，不妨设 为 重根，则： ( ) ( sin cos ) 3 ( ) 0 1 1 2 r t e c t c t D p t = + 、若 = 有复根，则一对复根对应的解的形式为： ( ) 1 2 设复根 ， = i (0) ...; '(0) ...;.... (0) ... ... ( 1) 1, 2 = = = n− n r r r 其中c c c 为待定系数，由n个初始条件决定 ...; ...;... ... c1 = c2 = cn =
例 描述某线性非时变系统的微分方程为y(t)+3y(1)+2y(t)=f(t) 已知系统的初始条件为y(0)=y(0)=0,输入激励f(t)=e-l()试求 全响应y(t 解:由特征方程x+32+2=0得A1 1,=-2 因此该方程的齐次解y cle+c2e 2t 特解yn(1)=p1e+pe由待定系数法 y,(t)=te 完全解为y(4)=cle+c2 te 由初始条件y(0)=y(0=0y(0)=c+c2=0y(0=clc2+1=0 解得c1=-1,c2=1,所以,全响应为 ()=(-e-+e2+te)l()
例 ( ) (0) '(0) 0, ( ) ( ), ( ) 3 '( ) 2 ( ) ( ), '' y t y y f t e u t y t y t y t f t t 全响应 已知系统的初始条件为 输入激励 试求 描述某线性非时变系统的微分方程为 − = = = + + = １＝－１ ２ = −２. 因此该 方程的齐次解 t t yz t c e c e 2 ( ) 1 2 − − = + 特解 t t p y t p te p e − − = 1 + 0 ( ) 由待定系数法 t p y t te− ( ) = t t t y t c e c e t e − − − = + + 2 完全解为 ( ) 1 2 由初始条件y(0)=y’(0)=0 y(0)=c1+c2=0 y’(0)=-c1-c2+1=0 解得c1=－１，c2=1,所以，全响应为 ( ) ( ) 2 y t e e te u t =（－ −t + − t + −t ） 解：由特征方程 ２ ＋３＋２＝０得
由上例可以看出微分方程解的物理意义:当微 分方程用以描述系统的输入输出关系时,微分方程 的解是系统的响应。 齐次解是系统的自由响应,解的模式依赖于系统 的特性,它的指数幅度与初始条件和输入有关; 特解是系统的强迫响应,它取决于系统特性与输 入函数
由上例可以看出微分方程解的物理意义：当微 分方程用以描述系统的输入输出关系时，微分方程 的解是系统的响应 。 齐次解是系统的自由响应，解的模式依赖于系统 的特性，它的指数幅度与初始条件和输入有关； 特解是系统的强迫响应，它取决于系统特性与输 入函数