数 理 着考处 若令p,=e2N=e,(k=1,2),则 k,即 2N (2k-1)N+1 9.220) 由式(9.2.20)可知,若N为奇数,当k=l时,i N+1 即存在极点p42=e=-1,当k=2时3N+1 ,即存在极 点p32=ex=1。换言之,当N为奇数时,积H(p)HL(p) 在P平面的实轴上存在p=±的极点。 考虑到式(9,2.19),则有 2(N+1-i)+N-1 (4-1)N+1-2i 2+N-1 N+1-i e 2N P (9.2.21)
2 1 2 ( 1) 2 2 (3 1) 2 2 1 1, 2 2 (2 1) 1 (9.2.20) 2 1 9.2.20 1 2 3 1 1, 2 , 2 1 , i N j N jk i j N j N i N pe e k k N k N i N N ki N p e ki pe N π π π π + − + + + − == = = − + = + = = + = =− = = = = 若令 ，（ ），则 ，即 由式（ ）可知，若 为奇数，当 时， ， 即存在极点 当 时 ，即存在极 点 。换言之 当 为奇数时 2( 1 ) 1 (4 1) 1 2 2 1 2 22 1 () ( ) 1 9.2.19 ,( 1,2,3, , ) (9.2.21) L L N i N N i iN j jj N NN N i i H pH p P p pe e e pi N π ππ +− + − − +− + − − + − ∗ − = ± = == = = " ，积 在 平面的实轴上存在 的极点。 考虑到式（ ），则有
数 理 着考处 结论: 巴特沃斯模拟低通滤波器的积H,(p)HL(-p)的极点分布有下述特点 (1)共有2N个极点,极点之间的角度间隔为丌/ Nrad 2)考虑到极点绝不会落在虚轴上,故系统总是稳定的; 当为N奇数时,实轴上有极点,N为偶数时,实轴上无极点 3)由式(9221可知,1与p,P2与p…,互为共轭复数; 即p(=1,2,…,N)这N个极点中,当N为偶数(或奇数)时 有N/2(或(N-1)/2)对极点以共轭形式对称分布于P平面的左半面 (4)由结论(3),并考虑到积H(p)H(-p)的极点以共轭形式成对出现, 并对虚轴呈成对称分布,那么,2N个极点在P平面上是象限对称的,并 且分布在半径为的圆(巴特沃斯圆)上
1 21 () ( ) 1 2 2 3 9.2.21 ( 1,2, , ) 2 ( 1) 2 L L N N i H pH p N N rad N N pp p p pi N N N N N π − − = − " " 结论： 巴特沃斯模拟低通滤波器的积 的极点分布有下述特点： （）共有 个极点，极点之间的角度间隔为 ； （ ）考虑到极点绝不会落在虚轴上，故系统总是稳定的； 当为 奇数时，实轴上有极点， 为偶数时，实轴上无极点 （ ）由式（ ）可知， 与 ， 与 ， ，互为共轭复数； 即 这 个极点中，当 为偶数（或奇数）时， 有 （或 4 3 () ( ) 2 , 1 L L P H pH p N P − ）对极点以共轭形式对称分布于 平面的左半面 （ ）由结论（ ），并考虑到积 的极点以共轭形式成对出现， 并对虚轴呈成对称分布，那么， 个极点在 平面上是象限对称的 并 且分布在半径为 的圆（巴特沃斯圆）上
数 理 【3】确定巴特沃斯模拟低通滤波器的转移函数 着考处 为了保证设计的归一化巴特沃斯低通滤波器是因果稳定系统, 应将积H(P)H4(p)极点p(=1,2,3,…N)赋于H4(P)并且用 各对共轭极点构成一个二阶系统,即 (p-p)(P-pN+-) 2i+N-1 9.2.22) p-2 pcos( 丌)+1 2N 当N为偶数时,系统的转移函数应是N/2个H(p)之积,即 H(p)=∏H2(p) (92.23) 当N为奇数时,因有一极点位于p=-1处,因此,系统的转移函数 应是(N-1)/2个H4(p)与1(P+1)之积,即 (N-1)/2 H, (p) P+11z(p) (9.2.24)
1 2 ( ) ( ) ( 1, 2,3, , ) ( ) 1 ( ) ( )( ) 1 (9.2.22) 2 1 2 cos( ) 1 2 2 () L L i L iL i Ni iL H pH p p i N H p H p pppp i N p p N N N Hp π + − − = = − − = + − − + " 为了保证设计的归一化巴特沃斯低通滤波器是因果稳定系统， 应将积 的极点 赋于 。并且用 各对共轭极点构成一个二阶系统，即 当 为偶数时，系统的转移函数应是 个 之积，即 2 1 ( 1) 2 1 ( ) ( ) (9.2.23) 1 ( 1) 2 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) ( ) 1 N L iL i iL N L iL i Hp H p N p N Hp p Hp H p p = − = = Π = − − + = Π + 当 为奇数时，因有一极点位于 处，因此，系统的转移函数 应是 个 与 之积，即 (9.2.24) 【3】确定巴特沃斯模拟低通滤波器的转移函数
数 理 2【4】巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤 着考处 综上所述,可以得出巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤: (1)将实际频率归一化; 以便得到归一化巴特沃斯模拟低通滤波器的幅度平方函数式(9.2.17) (2)利用式(92.16)确定滤波器的阶数; (3)利用式(92.22)及式(92.23)或利用式(92.22)及式(9.2,24), 求出归一化巴特沃斯模拟低通滤波器的转移函数H1(p; 4)令P=SD2,从归一化巴特沃斯模拟低通滤波器的转移函数H(P) 得到实际巴特沃斯模拟低通滤波器的转移函数,即 H(S)=H(Pp-s? (9225)
【4】巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤 1 9.2.17 2 9.2.16 3 9.2.22 9.2.23 9.2.22 9.2.24 ( ) 4 L p H p p s = Ω H 综上所述，可以得出巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤： （）将实际频率归一化； 以便得到归一化巴特沃斯模拟低通滤波器的幅度平方函数式（ ） （ ）利用式（ ）确定滤波器的阶数； （ ）利用式（ ）及式（ ）或利用式（ ）及式（ ）， 求出归一化巴特沃斯模拟低通滤波器的转移函数 ； （ ）令 ，从归一化巴特沃斯模拟低通滤波器的转移函数 ( ) ( ) ( ) (9.2.25) p L L ps p Hs H p = = Ω 得到实际巴特沃斯模拟低通滤波器的转移函数，即
数 理 着考处 例921:试设计一个巴特沃斯模拟低通滤波器,要求截止频率 f=5×10H,通带最大衰减a2=3dB,阻带起始频率f=10H, 阻带最小衰减a,=18dB。 解:(1)将频率作归一化处理 因为n=2zf=x×10rd/,9n=2xfn=2x×l0rad/ 所以n=1,4=9/92n=2 2)计算常数C及巴特沃斯模拟低通滤波器的阶数N 因为an=3dB,所以C=1,考虑到式(9.2.16),则有 N=lg√10/0 g√6309574243-1/g2=2978211 取N=3
3 4 4 4 9.2.1 5 10 3dB 10 18dB 1 2 10 2 2 10 1 2 2 3dB 1 9 p pst s p p st st p s st p p f Hz f Hz f rad s f rad s C N C α α π π π π λ λ α = × = = = Ω= = × Ω= = × = =Ω Ω = = = 例 ：试设计一个巴特沃斯模拟低通滤波器，要求截止频率 ，通带最大衰减 ，阻带起始频率 ， 阻带最小衰减 。 解：（）将频率作归一化处理 因为 ， 所以 ， （ ）计算常数 及巴特沃斯模拟低通滤波器的阶数 因为 ，所以 ，考虑到式（ 10 1.8 .2.16 lg 10 1 lg lg 10 1 lg 2 lg 63.09574243 1 lg 2 2.978211 3 s N s N α = −= − λ = −= = ），则有 取