数 理 着考处 般地,在巴特沃斯模拟低通滤波器的设计中, 要求an=3dB,换言之,当=n=l时, 3dB,即 an=-101gH()=101g(1+C2)=10g2, 于是C=1 考虑到100-1=C2=1,则式(9,215)可写成 10,/0-1 g=1g√010-1/g2(9216 考虑到C=1,则式(9213)可写成 hi() 1+2N 92.17) 式中,M由式(92.16)确定,它是归一化巴特沃斯低通 滤波器唯一的一个参数
2 2 10 2 10 10 10 3dB 1 3dB 10lg ( 1) 10lg(1 ) 10lg 2 1 10 1 1 9.2.15 10 1 lg lg = lg 10 1 lg (9.2.16) 10 1 1 9.2.13 p s s p p p p p L s s L Hj C C C N C H α α α α α λ λ α α λ λ = = = = = − = + = = −= = − = − − = 一般地，在巴特沃斯模拟低通滤波器的设计中， 要求 ，换言之，当 时， ，即 ， 于是 。 考虑到 ，则式（ ）可写成 考虑到 ，则式（ ）可写成 2 2 1 ( ) (9.2.17) 1 9.2.16 N j N λ λ = + 式中， 由式（ ）确定，它是归一化巴特沃斯低通 滤波器唯一的一个参数
数 理 着考处 基于式(9.2.17),则有 dH2() d d1+2))=-(1+2)2M2Nx1 d2|H2( [-(1+2)2NN d2 (-1)(-2)1+)3(2N)22-)-(1+2)22N(2N-1)22 显然有 d2N-|H4(j2) z=0=0 因此,归一化的巴特沃斯阶低通滤波器幅频特性具有下述特点 )由于归一化的巴特沃斯阶低通滤波器在=0处幅度平方函数|H1() 的前(2N-1)阶导数为零,因此,巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最 平坦的幅度特性;
2 2 2 21 2 2 2 2 2 21 2 2 3 2 2(2 1) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 9.2.17 ( ) 1 ( ) (1 ) 2 1 ( ) [ (1 ) 2 ] ( 1)( 2)(1 ) (2 ) (1 ) 2 (2 1) ( ) 0 L N N N L N N N NN N N L N dH j d N d d dH j d N d d N N N d Hj d λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ − − − − −−− − − − = = = − + + = −+ =− − + − + − = 基于式（ ），则有 显然有 因此，归一化的巴特沃斯阶 2 1 0 ( ) (2 1) H j L N λ = λ − 低通滤波器幅频特性具有下述特点： （）由于归一化的巴特沃斯阶低通滤波器在 处幅度平方函数 的前 阶导数为零，因此，巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最 平坦的幅度特性；
数 理 着考处 (2)不论巴特沃斯低通滤波器的阶数N取何值,当Ω=0时,则有 =0H1(Gi2)2=1,a(0)=0,即在9=0处无衰减 3)不论巴特沃斯低通滤波器的阶数取N何值,当Ω=Ω时,则有 死=1H2(1=12,(入)2,即幅频特性H(入,都通 过(2)点; (4)当从0增加到时,H(jλ)单调减小,a(g2)单调增加,N越大, HL()减小得越来越慢; 5)当9>9时,2>1H1()也随的增加而单调减小,由于2>1 所以这时比通带内衰减速度加快,N越大减速度越快,当s=Ω时 则有a(2)=,并且=2,H(4随N变化的曲线,如图921所示
2 2 2 2 2 0 0 ( ) 1 (0) 0 0 3 1 ( ) 12 ( ) 1 2 ( ) (1 1 2) 4 0 1 ( ) () ( ) 5 L p p Lp Lp L p L L N H j N Hj Hj H j H j N H j λ λα λλ λ λ λ λα λ Ω = = = = Ω= Ω=Ω == = Ω （ ）不论巴特沃斯低通滤波器的阶数 取何值，当 时，则有 ， ， ，即在 处无衰减； （ ）不论巴特沃斯低通滤波器的阶数取 何值，当 时，则有 ， ， ，即幅频特性 都通 过 ， 点； （ ）当 从 增加到 时， 单调减小， 单调增加， 越大， 减小得越来越慢； （ ）当 2 1 () 1 ( ) ( ) 9.2.1 pp L st st s s L H j N Hj N λ λλ λ α α λλ λ Ω>Ω > > Ω=Ω Ω= = 时， ， 也随 的增加而单调减小，由于 ， 所以这时比通带内衰减速度加快， 越大减速度越快，当 时， 则有 ，并且 ， 随 变化的曲线，如图 所示
数 理 着考处 H() 0.5 图9.2.1H2()随N变化的曲线 总之,巴特沃斯低通滤波器的幅频特性完全由阶数N确定, 若N增加时,滤波器的幅频特性更陡,因而幅频特性更接近理 想的矩形幅频特性
N N 总之，巴特沃斯低通滤波器的幅频特性完全由阶数 确定， 若 增加时，滤波器的幅频特性更陡，因而幅频特性更接近理 想的矩形幅频特性
数 理 2奶【2】巴特沃斯模拟低通滤波器极点分布的特点 着考处 因为D=j,考虑到式(9217),则有 H(P)H1(p)=H(i2) =1+(p/) 1+(-1)p (9.2.18) 令1+(-1)p2N=0,可得极点 2i+N-1 p,=e2N (i=1,2,3,…,2N) (9.2.19) 由式(92.19)可知,p1=e2N",pN=e2N", N+1 p2N=e2N",因此,p12p 这N个 极点分布在P平面的左半面,而p1,p+2,…,p2这N个 极点分布在P平面的右半面
【2】巴特沃斯模拟低通滤波器极点分布的特点 2 2 2 2 2 1 2 9.2.17 1 () ( ) ( ) 1( ) 1 (9.2.18) 1 ( 1) 1 ( 1) 0 , ( 1, 2,3, , 2 ) (9.2.19) 9.2. LL L j p N N N N N i N j N i p j H pH p H j p j p p pe i N λ π λ λ = + − = −= = + = + − +− = = = " 因为 ，考虑到式（ ），则有 令 ，可得极点 由式（ 1 3 1 2 2 1 3 1 5 1 2 2 1 2 1 2 12 2 19 ,,, , ,, N N j j N N N N N j j N N NN N NN N pe p e p e p e pp p N P p p p N P π π π π + − + − + + + = = = = " " ）可知， ， ， ， ，因此， 这 个 极点分布在 平面的左半面，而 这 个 极点分布在 平面的右半面