数 理 着考处 若将S平面左半面的极点赋于H(s),则保证了设计的模拟 低通滤波器是一个因果稳定的系统;若H(-s)H(s)在S平面的 虚轴上无零点,并将S平面左半面的极点和零点赋于H(s)则 保证了设计的模拟低通滤波器是一个因果稳定的最小相位系统 考虑到H(AD)=H()=,由式(921)可知由于H(9) 的分子和分母都是的有理多项式,考虑到(9)是9的偶 函数,由于H(3)在虚轴上无极点,则必有a0≠0,因此,H(19) 不可能出现两个关于9的奇次幂构成的多项式之比的形式,即 HL(D)的分子和分母都应该是9的有理多项式。目前,人们 给出了几种不同类型的解析函数H(2)的表达式,它们代表 了几种不类型的模拟低通滤波器
2 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 9.2.1 , ( ) ( ) ( ) L L L L L L L sj L L S H s H sH s S S H s H j Hs H j H j H s = Ω − Ω = Ω Ω Ω Ω 若将 平面左半面的极点赋于 ，则保证了设计的模拟 低通滤波器是一个因果稳定的系统；若 在 平面的 虚轴上无零点，并将 平面左半面的极点和零点赋于 ，则 保证了设计的模拟低通滤波器是一个因果稳定的最小相位系统。 考虑到 ，由式（ ）可知 由于 的分子和分母都是 的有理多项式，考虑到 是 的偶 函数，由于 在 2 0 2 2 2 0 () ( ) ( ) L L L a Hj H j H j ≠ Ω Ω Ω Ω Ω 虚轴上无极点，则必有 ，因此， 不可能出现两个关于 的奇次幂构成的多项式之比的形式，即 的分子和分母都应该是 的有理多项式。目前，人们 给出了几种不同类型的解析函数 的表达式，它们代表 了几种不类型的模拟低通滤波器
数 理 着考处 1】巴特沃斯( Butterworth)低通滤波器 H2(Q2) 9.26) 1+C(92) 式中,C为待定系数,N为待定的滤波器阶数 【2】切比雪夫I型( Chebyshev-I)低通滤波器 若定义切比雪夫多项式 cOS(N arccos Q2),Q2 C(Q)=i cosh(N arccosh Q2),Q2>1 (92.7) 式中,cosh(x)及 arccos h(x)分别为双曲余弦函数和反双曲余弦函数。 则|H(/) (928) 1+ECN(92/2n) 式中,ε为通带波纹参数,Ω为通带上截止频率,N为待定的滤波器阶数
2 2 2 1 ( ) (9.2.6) 1 () cos( arccos ) , 1 ( ) (9.2.7) cosh( arccosh ) , 1 L N N H j C C N N C N Ω = + Ω − ⎧ ΩΩ ⎪ ≤ Ω = ⎨⎪ Ω Ω> ⎩ 1 Butterworth 2 I Chebyshev I 【 】巴特沃斯（ ）低通滤波器 式中， 为待定系数， 为待定的滤波器阶数。 【 】切比雪夫 型（ ）低通滤波器 若定义切比雪夫多项式 2 2 2 cosh( ) arccos ( ) 1 ( ) (9.2.8) 1 () L N p p x hx H j C N ε ε Ω = + ΩΩ Ω 式中， 及 分别为双曲余弦函数和反双曲余弦函数。 则 式中， 为通带波纹参数， 为通带上截止频率， 为待定的滤波器阶数
数 理 着考处 【3】切比雪夫Ⅱ型低通滤波器 H(9)2 (9.29) 1+￡ (g2 (2x/2) 式中,Ω为阻带下截止频率,N为待定的滤波器阶数 【4】椭圆低通滤波器 HL(9) (9.2.10) 1+EU/(g) 式中,U2(2)是雅可比( Jacobian)椭圆函数。 我们只讨论巴特沃斯模拟低通滤波器和切比雪夫I型 模拟低通滤波器的设计方法
2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) (9.2.9) ( ) 1 ( ) 1 ( ) (9.2.10) 1 () ( ) Jacobian L N st N st st L N N H j C C N H j U U ε ε Ω = Ω + Ω Ω Ω Ω = + Ω Ω 3 II 4 【 】切比雪夫 型低通滤波器 式中， 为阻带下截止频率， 为待定的滤波器阶数。 【 】椭圆低通滤波器 式中， 是雅可比（ ）椭圆函数。 我们只讨论巴特沃斯模拟低通滤波器和切比雪夫 型I 模拟低通滤波器的设计方法
数 理 着考处 由于实际应用的每个模拟低通滤波器的频率 变化范围千差万别,为了设计规范化,我们需要 将模拟滤波器的频率参数作归一化处理。设所给 的实际频率!(或f),归一化的频率为λ,对模拟低 通滤波器,令 n=Q/Q (9.2.11) 显然,2=,=9/92,并令归一化的复变 量为D,即p=j,于是有 p=jn=jQ2/Q2 s (9.2.12)
, (9.2.11) 1 p p sst p f p pj λ λ λ λ λ Ω =Ω Ω = =Ω Ω = 由于实际应用的每个模拟低通滤波器的频率 变化范围千差万别，为了设计规范化，我们需要 将模拟滤波器的频率参数作归一化处理。设所给 的实际频率 （或 ）归一化的频率为 ，对模拟低 通滤波器，令 显然， ， ，并令归一化的复变 量为 ，即 ，于 (9.2.12) p p pj j s = = ΩΩ = Ω λ 是有
数 理 2、巴特沃斯模拟低通滤波器的设计 着考处 〖1】巴特沃斯模拟低通滤波器幅度平方函数的特点 考虑到归一化后,巴特沃斯模拟低通滤波器的幅度平方函数为 HZ(4) 1+C22N (92.13) 式中,=Ω/g 考虑到式(9213),则有a(x)=-101gH4(14)=10g1+C2y 即C22N=1010-1,C22=1000-1,因为n=1,所以 10°/0 (9.2.14) 于是有 10 N=lg 1g a (9,2.15) 10 那么分别可用式(92.14)及式(92.15)求出常数C及滤波器的阶数N
2 2 2 2 2 2 22 22 10 10 1 ( ) (9.2.13) 1 9.2.13 , ( ) 10lg ( ) 10lg[1 ] 10 1, 10 1, 1 p s L N p N L N N ps p H j C Hj C C C α α λ λ λ α λ λ λ λλ λ = + =Ω Ω =− = + =− =− = 考虑到归一化后，巴特沃斯模拟低通滤波器的幅度平方函数为 式中， 考虑到式（ ）则有 ， 即 因为 ，所 2 10 10 10 10 1 (9.2.14) 10 1 lg lg (9.2.15) 10 1 9.2.14 9.2.15 p s p s C N C N α α α λ = − − = − 以 于是有 那么分别可用式（ ）及式（ ）求出常数 及滤波器的阶数 。 2、巴特沃斯模拟低通滤波器的设计 【1】巴特沃斯模拟低通滤波器幅度平方函数的特点