例42讨论n维单位向量e1,e2,…,en 的线性相关性 解:因为R(4)=R(e1,e,…,en)=n 所以向量组线性无关 例43设C1,2,C3线性无关试证 B1=a1+a2,B2=a2+a3,B3=a3+a 线性无关 解:无妨设C1,C2,C3均为列向量,则 西安建大
西安建大 例4.2 讨论 维单位向量 的线性相关性. 解:因为 所以向量组线性无关. n n e ,e , ,e 1 2 R(A) = R(e1 ,e2 , ,en ) = n 例4.3 设 1 ,2 ,3 线性无关,试证 1 =1 +2 2 =2 +3 3 =3 +1 , , 线性无关. 解:无妨设 1 ,2 ,3 均为列向量,则
101 (B,B,B3)=(a,a2,a3)110=(a,a,a3)C 因为矩阵C可逆所以C可以表示为有限个初等矩 阵的乘积即矩阵(B1,B,B3)可认为由矩阵 (a1,a2,a3)经过有限次初等变换得到从而矩阵 (B1,B2,B)的秩等于矩阵(a1,a2,a)的秩而 (a1,a2,a3)的秩为3所以(B,B2,B3)的秩为3 因此B1,B2,B3线性无关 西安建大
西安建大 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 )C 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = = ( ) 1 2 3 , , ( ) 1 2 3 , , ( ) 1 2 3 , , ( ) 1 2 3 , , ( ) 1 2 3 , , 因为矩阵 可逆,所以 可以表示为有限个初等矩 阵的乘积.即矩阵 可认为由矩阵 经过有限次初等变换得到,从而矩阵 的秩等于矩阵 的秩,而 的秩为3,所以 的秩为3, 因此 线性无关. C C ( ) 1 2 3 , , 1 2 3 ,
例4.4设a1,2,…,线性无关若B,a1…,Cn 线性相关则B可由Gx1,…,a1线性表示。 证:因B,a1,…,x线性相关,故有不全为零的数 k,k1,…,k,使kB+k1ax1+…+k,a=0 要证B可由a1,…,C1线性表示,只要证k≠0 用反证法设k=0,则k1,…,k不全为零且 能使k1a1+…+k,Cn=0这与a1,…, 线性无关矛盾所以k≠0,即B可由1,…,ar 表示为B=(k1a1+k2a2+…+k,a,) k 安建大
西安建大 例4.4 设 线性无关,若 线性相关.则 可由 线性表示. r 1 ,2 , , r ,1 , , r 1 , , 证：因 ,1 , ,r 线性相关,故有不全为零的数 kr k,k , , 1 使 k + k1 1 ++ kr r = 0 要证 可由 1 , ,r 线性表示,只要证 k 0 用反证法,设 k = 0, 则 k1 , ,kr 不全为零且 能使 k1 1 ++ kr r = 0 这与 1 , , r 线性无关矛盾.所以 k 0, 即 可由 r 1 , , 表示为 ( ) k k kr r k + + + − = 1 1 2 2 1
2向量组线性相关性的几个重要结论 定理4.2若a1,a2,…,C线性相关,则 Cm也线性相关 证:因C1,a2,…,Cx线性相关,所以存在不全为 零的数k1,…,k,使k1a1+…+k,an=0 从而存在不全为零的数k1,…,k,0,…,0 使k1a1+…+k,ar2+0n+1+…+0cmn=0 因此C1,C2,,C,Cx+1,…,Cm线性相关 西安建大
西安建大 2.向量组线性相关性的几个重要结论 r 定理4.2 若 1 ,2 , , 线性相关,则 r r m 也线性相关. 1 ,2 , , , +1 , , k1 , ,kr ,0, ,0 k1 , ,kr k1 1 ++ kr r = 0 k1 1 ++ kr r + 0r+1 ++ 0 m = 0 r r m 1 ,2 , , , +1 , , r 证:因 1 ,2 , , 线性相关,所以存在不全为 零的数 使 从而存在不全为零的数 使 因此 线性相关
定理4.3设a=(an1,a2,…,an) =(a ir gwir+1 若r维向量组1C2yC线性无关,则r+1 维向量组B2也线性无关 证:显然月=(,a1)设有数k1,…,km使 k1+…+kn=0,即 aI +…+k mm101r+1 +…+k +1 因此有k11+…+km=0由1yCm线性 无关知k1=…=km=0,因此,线性 无关 西安建大
西安建大 m 若 维向量组 1 ,2 , , 线性无关,则 r + 1 维向量组 也线性无关. r m 1 , 2 , , ( ) 0 k1 1 ++ km m ,k1 1r+1 ++ km mr +1 = ( ) ( , , , , ) (i , ,m) , , , i i i r i r i i i r 1 1 2 1 1 2 = = = + i i 定理4.3 设 km k , , i i 1 ( ) = i+1 , k k , 1 ++ m = 0 1 m 证:显然 设有数 使 即 m k1 == km = 0, 1 , , m 因此有 k1 1 ++ km m = 0. 由 1 , , 线性 无关,知 因此 线性 无关