西安建筑科技大学：《线性代数》课程PPT课件_第四章 向量组的线性相关性和线性方程组解的结构

例如向量 2 2 3|,a 就是线性相关的因为a1+3a2+7a3=0 而 3 3 B1=2|,B2=2|,B3=3 3 就是线性无关的 西安建大

西安建大 例如向量           − − =           = −           = 1 1 1 1 3 2 4 2 1 1  2  3 , , 就是线性相关的,因为 而 1 + 32 + 73 = 0           =           =           − = 3 3 3 2 2 3 1 2 1  1  2  3 , , 就是线性无关的

事实上,要考察B1,B2,3是不是线性相关就 是要看有没有不全为零的数x1,x2,x3 使xB1+x2B2+x3B3=0,即看方程组 x1+3x2+3x3=0 2x1+2x2+3x2=0 x1+2x2+3x3=0 有无非零解因为其系数矩阵非奇异,即系数矩阵 的秩为3(向量的个数)因此方程组只有零解 即当且仅当x1=x2=x3=0时才有x1B1+x2B2 +x33=0,这表明B1,B2,B3线性无关 安建大

西安建大 事实上,要考察 是不是线性相关,就 是要看有没有不全为零的数 使 ,即看方程组 1  2  3 , , 1 2 x3 x , x , x1 1 + x2  2 + x3  3 = 0      − + + = + + = + + = 2 3 0 2 2 3 0 3 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 0 x1 1 + x2  2 x1 = x2 = x3 = 有无非零解,因为其系数矩阵非奇异,即系数矩阵 的秩为 (向量的个数),因此方程组只有零解, 即当且仅当 时才有 ,这表明 线性无关. 3 + x3  3 = 0 1  2  3 ,

定理4.1m维向量组a1,a2,…,On线性无 关的充要条件是R(A4)<m,其中 A是由a1,a2,…,On组成的m×n (或者n×m)维矩阵。 证明:设有数x1,…,xn使x1Cx1+…+xm2Om=0 即Ax=0,其中x=(x,…,xn) 由线性方程组的相容性定理知Ax=0 有非零解的充要条件是R(A4)<m 西安建大

西安建大 A m 1 ,2 ,  , mn m 1 ,2 ,  , R(A)  m, 定理4.1 n 维向量组 线性无 关的充要条件是 其中 是由 组成的 (或者 nm )维矩阵. 证明:设有数 使 即 其中 由线性方程组的相容性定理知 有非零解的充要条件是 xm x ,  , 1 x1 1 ++ xm  m = 0 Ax = 0, ( ) T xm x x ,  , = 1 Ax = 0 R(A)  m

推论:对m个n维向量若m>n,则该向量组 线性相关。 证:记这些向量组成的矩阵为A 则R(4)≤min(mn,n)=n<m 由定理4.1知该向量组线性相关 例如:a1=(1,1,2),a2=(0,0)y, 0 0 定线性相关。 西安建大

西安建大 ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T , , , , , , , , , , , 1 0 1 0 0 1 1 1 2 0 1 0 3 4 1 2 = = = =   例如:   一定线性相关. n A R(A)  min(m,n) = n  m 推论:对 个 维向量,若 ,则该向量组 线性相关. 证:记这些向量组成的矩阵为 则 由定理4.1知该向量组线性相关. m m  n

例4.1讨论向量组的线性相关性 a1=(1,1)y,a2=(0,2,5),a3=(1,3.)y 解 12 10 A=123 022 022 156 3-r 055 000 R(4)=2<3(向量个数)所以线性相关 西安建大

西安建大 例4.1 讨论向量组的线性相关性. ( ) ( ) ( ) T T T 1 = 1,1,1 ,2 = 0,2,5 ,3 = 1,3,6                               = → → − − − 0 0 0 0 2 2 1 0 1 0 5 5 0 2 2 1 0 1 1 5 6 1 2 3 1 0 1 3 2 2 1 3 1 2 5 r r r r r r A 解: R(A) = 2  3 (向量个数),所以线性相关