2、误差分析 Rn称为局部截断误差,它表示当ym=y(xm)为 精确值时,计算时y(xn+h)的误差 记 =y(xm)-yn, 估计En 假设f(x,y)关于x满足 Lipschitz条件 ∫(x1,y)-f(x2,y)K|x1-x2, 有 湘潭大学数学与计算科学学院 下一页111
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 11 2、误差分析 R m 称为局部截断误差， 计算时 y x h ( ) m + 的误差. 记： ( ) , m m m = − y x y 1 2 1 2 | ( , ) ( , ) | | |, f x y f x y K x x − − 有： . m 估计 假设 f x y ( , ) 关于 x 满足Lipschitz条件： 精确值时， ( ) m m 它表示当 y y x = 为
IRmh If(x,(x))-f(rm, y(m ))ldx I ≤」∫~(x,y(x)-f(xn,y(x)|dk +∫ +1 f(xm,y(x))-f(m,y(m)ldx <KI idx+l ly(x)-y(xm) dx ≤M/2+」-1y(xn+6(x-x)x-x)d ≤(K+LMh2/2 其中:0<<1,M=max|y(x)=max|f(x,y(x)|.s ∈a, ∈a,b 湘潭大学数学与计算科学学院 页一页12
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 12 1 | ( , ( )) ( , ( )) | mmx m x f x y x f x y x dx + − 1 | ( , ( )) ( , ( )) | mmx m m m x f x y x f x y x dx + + − 1 1 | | | ( ) ( ) | m m m m x x m m x x K x x dx L y x y x dx + + − + − 1 2 / 2 | ( ( )) | ( ) mmx m m m x Kh L y x x x x x dx + + + − − 2 + ( ) / 2 K LM h 其中： [ , ] [ , ] 0 1, max | ( ) | max | ( , ( )) | . x a b x a b M y x f x y x = = 1 | | | [ ( , ( )) ( , ( ))] | mmx m m m x R f x y x f x y x dx + = −
记R=(K+LMh2/2,则有 Rn≤R 几何分析: y(x Yfy,+(x-x)(x,) i+1 i+1 Euer公式的误差 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页]13
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 13 几何分析： Euler公式的误差 xi i 1 x + i y ( ) i 1 y x + i 1 y + y y x = ( ) Y y x x f x y = + − i i i i ( ) , ( ) | | R R m 记 2 R K LM h = + ( ) / 2 ，则有
整体截断误差: Em=y(xm)-y 由: y(xm+h)=y(xm)+hf(xm,y(xm))+ r +1下 ym+hf(xm,ym), Em1=8+hff(x, y(xm)-f(x, y)+r 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页下一页]14
上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 14 整体截断误差： ( ) , m m m = − y x y 由： ( ) ( ) ( , ( )) , m m m m m y x h y x hf x y x R + = + + 1 ( , ), m m m m y y hf x y + = + 1 [ ( , ( )) ( , )] . m m m m m m m + = + − + h f x y x f x y R