第2章（上）：填值函数—亦或不是？ 现在的麻烦是，把两个明显有效的推断串连在一起，我们会得到明显无效的 推断，像这样： 女王富有。 女王富有或猪会飞。女王不富有。 猪企飞 这不可能是对的。将两个有效的推断以这种方式连接起来不可能得到一个无 效的推断。（译者注：对于有效的论证）任何情形下如果所有前提为填，那 么它们的所有结论也为其，由这些结论推得的结论也为其，如此下去，直到 我们得到最终的结论。问题出在哪儿呢？ 为了给这个问题一个正统的解答，让我们更详细地考察一下。首先·我们把 语句“猪会飞”记作p,把语句“女王富有”记作q’这让事情更紧凑些，但不止 于此：如果你思考一下就会发现，在这个例子中使用什么具体语句是无关紧 要的·我完全可以使用任意两个语句来构造这种形式的推断，因此我们可以 忽略其内容，这正是我们将语句记作单个字母时所做的· 语句“女王富有或猪会飞”现在就变成“q或p”，逻辑学家通常将其记作 qVp。“女王不富有”怎么记呢？让我们先把这句话改写为“并非女王富有”，将 否定词挪到句子前面。这样，这句话就变成“并非g”，逻辑学家通常将其记作 g,称为g的否定(negation）。“女王富有且猪会飞”，也就是“g且p”这句 话怎么记呢？适辑学家通常将其记作g八p,称为g和p的合取 (conjunction)。有了这套改写机制，我们就可以把上面那个串连起来的推断 写成如下形式： qVPq p 关于这个推断我们有什么要说的呢？ 语句可以为其，可也以为假。让我们用T表示其，用F表示假。自现代逻辑 的莫基者之一，德国哲学家和数学家弗雷格之后，它们通常被称为真值 (truth values）。给定任何语句a'a的填值与其否定a的填值之间有何联
现在的麻烦是，把两个明显有效的推断串连在一起，我们会得到明显无效的 推断，像这样： 女王富有。 —————————————— 女王富有或猪会飞。 女王不富有。 ———————————————————————— 猪会飞 这不可能是对的。将两个有效的推断以这种方式连接起来不可能得到一个无 效的推断。（译者注：对于有效的论证）任何情形下如果所有前提为真，那 么它们的所有结论也为真，由这些结论推得的结论也为真，如此下去，直到 我们得到最终的结论。问题出在哪儿呢？ 为了给这个问题一个正统的解答，让我们更详细地考察一下。首先，我们把 语句“猪会飞”记作 p，把语句“女王富有”记作 q，这让事情更紧凑些，但不止 于此：如果你思考一下就会发现，在这个例子中使用什么具体语句是无关紧 要的，我完全可以使用任意两个语句来构造这种形式的推断，因此我们可以 忽略其内容，这正是我们将语句记作单个字母时所做的。 语句“女王富有或猪会飞”现在就变成“ q 或 p ”，逻辑学家通常将其记作 q ∨ p。“女王不富有”怎么记呢？让我们先把这句话改写为“并非女王富有”，将 否定词挪到句子前面。这样，这句话就变成“并非 q”，逻辑学家通常将其记作 ¬q，称为 q 的否定（negation）。“女王富有且猪会飞”，也就是“ q 且 p ”这句 话怎么记呢？逻辑学家通常将其记作 q ∧ p，称为 q 和 p 的合取 （conjunction）。有了这套改写机制，我们就可以把上面那个串连起来的推断 写成如下形式： 关于这个推断我们有什么要说的呢？ 语句可以为真，可也以为假。让我们用 T 表示真，用 F 表示假。自现代逻辑 的奠基者之一，德国哲学家和数学家弗雷格之后，它们通常被称为真值 （truth values）。给定任何语句 a，a 的真值与其否定 ¬a 的真值之间有何联 p q ∨ p ¬q q 第2章（上）：真值函数——亦或不是？ 11
第2章（上）：其值函数一亦或不是？ 系呢？一个自然的回答是，如果一个为其，另一个就为假，反之亦然。这 样，如果“女王富有”为填，则“女王不富有”就为假，反之亦然·我们可以将这 一联系记录如下： ·a具有旗值T,当且仅当a具有旗值F。 ·a具有其值F，当且仅当a具有其值T。 逻辑学家将其称为否定的其值条件(truth conditions)。如果我们假定每个语 句或者为填或者为假，但不会既真又假，我们就可以用下面的表格来描绘这 些条件，辽辑学家称之为填值表(truth table)： a a T F T 如果a具有它下面那一列的真值，a就具有其右边对应的的其值。析取V的 填值条件呢？正如我已提到的，一个自然的假设是，一个析取式aVb为填， 若a和b中的其中一个（或两个都）为其，否则该析取式就为假。我们可以 将这一联系记录在析取的其值条件中： ·aVb具有其值T,当且仅当a和b中至少有一个具有其值T。 ·aVb具有旗值F,当且仅当a和b都具有填值F。 这些条件可以用填值表描绘如下： a b avb T T T T F T F F 除了第1行的表头，每一行记录了一种a(第1列)与b(第2列)的填值 的可能组合。共有4种这样可能的组合，因而有4行。对每一种组合，右边 都给出了aVb对应的莫值（第3列）。 12
系呢？一个自然的回答是，如果一个为真，另一个就为假，反之亦然。这 样，如果“女王富有”为真，则“女王不富有”就为假，反之亦然。我们可以将这 一联系记录如下： ¬a 具有真值 T，当且仅当 a 具有真值 F。 ¬a 具有真值 F，当且仅当 a 具有真值 T。 逻辑学家将其称为否定的真值条件（truth conditions）。如果我们假定每个语 句或者为真或者为假，但不会既真又假，我们就可以用下面的表格来描绘这 些条件，逻辑学家称之为真值表（truth table）： a ¬a T F F T 如果 a 具有它下面那一列的真值，¬a 就具有其右边对应的的真值。析取 ∨ 的 真值条件呢？正如我已提到的，一个自然的假设是，一个析取式 a ∨ b 为真， 若 a 和 b 中的其中一个（或两个都）为真，否则该析取式就为假。我们可以 将这一联系记录在析取的真值条件中： a ∨ b 具有真值 T，当且仅当 a 和 b 中至少有一个具有真值 T。 a ∨ b 具有真值 F，当且仅当 a 和 b 都具有真值 F。 这些条件可以用真值表描绘如下： a b a ∨ b T T T T F T F T T F F F 除了第 1 行的表头，每一行记录了一种 a（第 1 列） 与 b（第 2 列） 的真值 的可能组合。共有 4 种这样可能的组合，因而有 4 行。对每一种组合，右边 都给出了a ∨ b 对应的真值（第 3 列）。 1 第2章（上）：真值函数——亦或不是？ 12
第2章（上）：填值函数—亦或不是？ 同样，既然谈到这里，a和b的真值与a八b的英值之问有何联系呢？一个自 然的假定是，a八b为填，若a和b都为填，否则aΛb为假。这样，比 如，“约翰35岁且有棕色的头发”为其，当且仅当“约翰35岁”和“约翰有棕色 的头发”都为員。我们可以将这一联系记录在合取的真值条件中： ·aΛb具有其值T,当且仅当a和b都具有真值T。 ·a八b具有旗值F,当且仅当a和b中至少有一个具有旗值F。 这些条件可以用填值表描绘如下： a b anb T 2 T F F F F F 1,译者注：原文对合取采用的记号是&，中译采用了更标准的记号A。 13
同样，既然谈到这里，a 和 b 的真值与 a ∧ b 的真值之间有何联系呢？一个自 然的假定是，a ∧ b 为真，若 a 和 b 都为真，否则 a ∧ b 为假。这样，比 如，“约翰 35 岁且有棕色的头发”为真，当且仅当“约翰 35 岁”和“约翰有棕色 的头发”都为真。我们可以将这一联系记录在合取的真值条件中： a ∧ b 具有真值 T，当且仅当 a 和 b 都具有真值 T。 a ∧ b 具有真值 F，当且仅当 a 和 b 中至少有一个具有真值 F。 这些条件可以用真值表描绘如下： a b a ∧ b T T T T F F F T F F F F . 译者注：原文对合取采用的记号是 &，中译采用了更标准的记号 ∧。 ↩ 1 1 第2章（上）：真值函数——亦或不是？ 13
第2章（下）其值函数—亦或不是？ 第2章（下）：真值函数一亦或不 是？ 那么，所有这些与我们一开始提出的问题有何关系呢？让我们回到我在上一 章结束时提出的问题：什么是一个情形？一个自然的想法是，不管情形是什 么，它确定了每个语句的其值。因此，比如，在某个特定情形中，女王富有 为填而猪会飞为假。在另一个情形中，女王富有为假而猪会飞为旗。（注意 这些情形可以纯粹是假设性的！)换言之，一个情形确定了每个相关语句为 其或为假。这里的相关语句不包含“且”、“或”或“非”的任何出现。给定关于某 个情形的基本信息·包含这些词的语句的填值我们可以利用填值表算出· 例如，假设我们有下面的情形： p:T q:F r:T (r可能是语句“大黄有营养”，“p:T”表示p被指派填值T，等等。)那么， 比方说pA(TVg)的旗值是多少呢？我们计算这一填值的方法，和用乘法表 与加法表计算3×(-6+2)的数值完全一样。于是，一的填值表告诉我们· r的填值是F。又由于q的其值也是F,V的真值表告诉我们，rVg的填 值为F。由于p的填值是T(译者注：这里其实不需要考虑这一条件)·人 的填值表告诉我们·pA(一TVg)的填值为F。用这种逐步计算的方法，我们 可以算出任何包含A,V和一出现的公式的真位· 现在，回想一下，上一章我们说一个推断是有效的，只要不存在使得所有前 提都为填而结论不为填（为假）的情形。也就是说，一个推断是有效的，只 要不存在对相关语句的填值指派，使得所有前提的其值都为T而结论的填值 为F。比如，考虑我们前面见过的推断：q/gVp。(我把它写成一行是为了 给牛津大学出版社省点钱。）这里的相关语句是q和p。有4种真值组合，对 每种组合我们都能算出前提和结论的其值。我们可以将结果表示如下： 14
第 2 章（下）：真值函数——亦或不 是？ 那么，所有这些与我们一开始提出的问题有何关系呢？让我们回到我在上一 章结束时提出的问题：什么是一个情形？一个自然的想法是，不管情形是什 么，它确定了每个语句的真值。因此，比如，在某个特定情形中，女王富有 为真而猪会飞为假。在另一个情形中，女王富有为假而猪会飞为真。（注意 这些情形可以纯粹是假设性的！）换言之，一个情形确定了每个相关语句为 真或为假。这里的相关语句不包含“且”、“或”或“非”的任何出现。给定关于某 个情形的基本信息，包含这些词的语句的真值我们可以利用真值表算出。 例如，假设我们有下面的情形： p : T q : F r : T （r 可能是语句“大黄有营养”，“p : T”表示 p 被指派真值 T，等等。）那么， 比方说 p ∧ (¬r ∨ q) 的真值是多少呢？我们计算这一真值的方法，和用乘法表 与加法表计算 3 × (−6 + 2) 的数值完全一样。于是， ¬ 的真值表告诉我们， ¬r 的真值是 F。又由于 q 的真值也是 F，∨ 的真值表告诉我们，¬r ∨ q 的真 值为 F。由于 p 的真值是 T（译者注：这里其实不需要考虑这一条件），∧ 的真值表告诉我们，p ∧ (¬r ∨ q) 的真值为 F。用这种逐步计算的方法，我们 可以算出任何包含 ∧,∨ 和 ¬ 出现的公式的真值。 现在，回想一下，上一章我们说一个推断是有效的，只要不存在使得所有前 提都为真而结论不为真（为假）的情形。也就是说，一个推断是有效的，只 要不存在对相关语句的真值指派，使得所有前提的真值都为 T 而结论的真值 为 F。比如，考虑我们前面见过的推断：q/q ∨ p。（我把它写成一行是为了 给牛津大学出版社省点钱。）这里的相关语句是 q 和 p。有 4 种真值组合，对 每种组合我们都能算出前提和结论的真值。我们可以将结果表示如下： 第2章（下）真值函数——亦或不是？ 14
第2章（下）旗值函数—亦或不是？ D q qVp T T T T T F T T F T 前两列给出了q和p的填位的所有可能组合·后两列分别给出了前提和结论 在每种组合下对应的填值。第3列与第1列相同，这是本例的一个巧合，之 所以如此是因为，在这个特定的例子中，前提恰好是其中一个相关语句。第4 列可以由析取的員值表读出·给定这些信息，我们就能看出这个推断是有效 的，因为没有一行前提q为填而结论qVp不为填。 推断qVp,qp的有效性如何呢？用同样的方法，我们得到： qvp g 3 T T T F T T F F T 2 2 F T F 这次有5列，因为有两个前提。前提和结论的填值可以由析取和否定的填值 表读出。同样，没有一行两个前提都为其而结论不为真。因此，该推断是有 效的。 我们一开始提到的那个推断q,g/p的有效性如何呢？用之前的方法，我们得 到： 9 D T T F T F T T 15
q p q q ∨ p T T T T T F T T F T F T F F F F 前两列给出了 q 和 p 的真值的所有可能组合。后两列分别给出了前提和结论 在每种组合下对应的真值。第 3 列与第 1 列相同，这是本例的一个巧合，之 所以如此是因为，在这个特定的例子中，前提恰好是其中一个相关语句。第 4 列可以由析取的真值表读出。给定这些信息，我们就能看出这个推断是有效 的，因为没有一行前提 q 为真而结论 q ∨ p 不为真。 推断 q ∨ p,¬q/p 的有效性如何呢？用同样的方法，我们得到： q p q ∨ p ¬q p T T T F T T F T F F F T T T T F F F T F 这次有 5 列，因为有两个前提。前提和结论的真值可以由析取和否定的真值 表读出。同样，没有一行两个前提都为真而结论不为真。因此，该推断是有 效的。 我们一开始提到的那个推断 q,¬q/p 的有效性如何呢？用之前的方法，我们得 到： q p q ¬q p T T T F T T F T F F F T F T T F F F T F 第2章（下）真值函数——亦或不是？ 15