(x10.x20)Ax1+9(x0.x20 Ax2=K1△xl+K2A axle 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的,平衡点附近,偏差一般不会 很大,都是“小偏差点”。 例2-4试把非线性方程z=xy在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算 当x=5,y=10时z值所产生的误差 解:由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12,故选择工作点x0=6,y0=11。于是z0=x0y0 =6×11=66 求在点x0=6,y0=11,z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点 0,y0,z0处展开成泰勒级数,并忽略其高阶项,则有 z-20=a(x-x0)+b(y-y0) 式中G/m=n=y0=11 b= exo 0=6 因此,线性化方程式为: z-66=11(x-6)+6(y-11) z=11x+6y-66 当x=5,y=10时,z的精确值为z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49 因此,误差为50-49=1,表示成百分数502% 第4讲 数学工具一拉普拉斯变换与反变换 (1)拉氏变换定义设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0 ②t>0时,f(t)分段连续 f(eldt <oo 则f(t)的拉氏变换存在,其表达式记作 F(s)=LIf(]= f(oe"dt (2)拉氏变换基本定理 线性定理La1f()+a22()=a1F1(s)+a2F2(s) 位移定理ef()=F(s+a) 延迟定理L(-可)=eF(s) lim f(o=lim SF(s) 终值定理 lim f(o=lim sF(S) 初值定理 df(o) L[,]=sF(s)-f(0) 微分定理 a1=sFs)-y(0)-
19 2 1 1 2 2 2 ( 10, 20) 1 10 ( 10, 20) x K x K x x f x x x x f x x y 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会 很大，都是“小偏差点”。 例2-4 试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算 当x=5，y=10时z值所产生的误差。 解： 由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0 =6×11=66. 求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点 x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有 z-z0=a(x-x0)+b(y-y0) 式中 0 11 0 0 y x z a y y x x 0 6 0 0 x y z b y y x x 因此，线性化方程式为： z-66=11(x-6)+6(y-11) z=11x+6y-66 当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49 因此，误差为50-49=1，表示成百分数 2% 50 1 第4讲 数学工具－拉普拉斯变换与反变换 ⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0 ② t>0时，f(t)分段连续 f t e dt st 0 ( ) 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 F s L f t f t e dt st 0 ( ) [ ( )] ( ) ⑵拉氏变换基本定理 ·线性定理 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 L a f t a f t a F s a F s ·位移定理 L[e f (t)] F(s a) at ·延迟定理 L[ f (t )] e F(s) s ·终值定理 lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t s ·初值定理 lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t s ·微分定理 ] ( ) (0) ( ) [ sF s f dt df t L ] ( ) (0) (0) ( ) [ 2 ' 2 2 s F s sf f dt d f t L
叫(0=2(s)_f-(0) ·积分定理 S 可0m=(s)-o)-f°(o) (3)拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式 F(s)=B6)2=k(s+Xs+2)(+=n) A( P1S+P2)…(S+P a.F(s)中具有不同的极点时,可展开为 F(s)=-+ S+ p, B(S) ar=L-(S+ Pr) --Pk b.F(s)含有共扼复数极点时,可展开为 s+a F(s) l3 (s+P1)(s+P2) B(s) [a, S+a2Jss-p- A(s) (s+P1)(s+P2) =-P C.F(s)含有多重极点时,可展开为 b = p1)(s+p1) (s+P1)(s+p+) (S+pu) b=/2() +P1)] d b(s) (s+P1)]} ds A(s) dB(s) j! dsA(s) (s+P1)]} b 1d- B(s) (r-1)!ds=A(s) (s+P1)]}= 其余各个极点的留数确定方法与上同
20 ·积分定理 s f s F s L f t dt ( ) (0) [ ( ) ] 1 s f s f s F s L f t dt ( ) (0) (0) [ ( ) ] 2 2 1 2 ⑶ 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 nm s p s p s p k s z s z s z A s B s F s a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为 n n s p a s p a s p a F s 2 2 1 1 ( ) k k k s p s p A s B s a ( )] ( ) ( ) [ b. F(s)含有共扼复数极点时，可展开为 n n s p a s p a s p s p a s a F s 3 3 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 1 1 ( )( )] ( ) ( ) [ ] [ 1 2 s p 1 2 s p s p s p A s B s a s a c. F(s)含有多重极点时，可展开为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r r s p a s p a s p b s p b s p b F s 1 ( ) ] ( ) ( ) [ 1 s p r r s p A s B s b 1 1 1 ( ) ]} ( ) ( ) { [ s p r r s p A s B s ds d b 1 1 ( ) ]} ( ) ( ) { [ ! 1 s p r j j r j s p A s B s ds d j b 1 1 1 1 1 ( ) ]} ( ) ( ) { [ ( 1)! 1 s p r r r s p A s B s ds d r b 其余各个极点的留数确定方法与上同