§83值集和除零原理 151 则f是定义在子空间y∈R+1上的线性泛函,其范数为 f {u2b|} 6∈y-,‖5- 若定义 a∈R 则F(6)是定义在R+1上的线性泛函,且满足 6=f(6),6∈D,a∈R F(6)的范数为 {|(u+av)26|} uP6ey,|611=1{(+a)2 l} (8.55) {ub|}=‖fl 若能找到a∈R使得‖F‖≤‖f‖,则有 +all=‖f 显然, 酬≤‖f←→ f|l+avll≤‖f 由 Hahn-Banach定理,存在定义在Rn+1上的泛函F,满足 1.F(6)=f(6),6∈ 2.|F|=f Haln- Banach定理保证了满足(8.57)式的a∈R的存在。于是可得下述结果 定理87m(6)= infeR‖lu+all 下面考虑求解 naeR u+al1,由于u和υ均为已知向量,对于给定的频率u,|lu+al只是a的函 数,不妨记做r(a,则有 ∑|+al 注意U是一个正交阵。用U左乘一个列向量相当于对这个向量做旋转变换。由9 fi 知,v和v实际上分别为f;在新坐标系中的横坐标和纵坐标。从而,在原坐标系中共线(方向相同或相 反)的向量在新坐标系中仍然共线。由(8.39知,f1,f3,…f2+1,…等可表示为 显然这些是共线向量。而f2,f4……,f2,…等可表示为 显然,它们也是共线向量。于是 ∑1 u;+an|+∑| code 容易算出 (8.59
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第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 于是,和式∑c|+aol|中每一项都有因子|cosb+sin,而∑a|+ao|中每一项都有因子 cos6-asin.将公因子提到连加号之外,并定义 6h(u2) 0+W2u +w3w2+wsw# 则r(a)可表示为 (8.61) f1 wdg, f2 (8.62) 则r(a)又可表示为 r(a)=|a+i1+|ai2+i2 (8.63) f1=-(f1+f2),=f-1+2f 这里f3=-f1,f4=-f2,则f;与(8.28)式中的k的关系是 f, =k -. 用向量∫;定义下列扇形区域 =: (865) 则由 Lf2<丌 知S互不重叠。于是复平面内任一点t必然唯一地落入某一扇区S,见图87.我们有下述结果 f4 图87:用值集rj,65)的4顶点定义的扇区S;和向量r(adj)t 定理88f(j,6)是以f1,f2,f3,f4为顶点的矩形 证明:只需证明当t位于扇区S内时,m(θ)t位于联结f和f;+1的直线段上。不妨先设 9,=[=U子 0≤∠91<∠92≤丌 (866)
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§83值集和除零原理 于是的≥0,j=1,2,折线函数|y+i可表示为 + 的+訪, >O 这里ad:=-/=-cot4g,因为-cotz在区间p,内单调增, (8.68) a,叫做折线函数r(a)的分界点,因为在a,处r(a)中的一项l+i的斜率由一变为这意味 着在a处r(a)的斜率变化为2j·由(8.58),(8.67)和(8.68)消去绝对值符号可得r(a)的显式如下 a,1≤a<a ),a,2≤ 这里[a1:=91=-∑2=19,[2a2:=92=91+201,显然,9是子经过旋转变换后的表达, 亏和分别为其纵坐标和横坐标 时,由9=[=U0子知 此时r(a)的显式为 c<a1.2 这里[2i2]2=92=-g2-(-91),[i3]=g3=g2+22当f2≤t<∠f3时,r(a)的显式为 CU3+I C <ad.3 a4+w4 a,3≤a<cd,4 -(ai+i3),aa,4,≤a 最后,当∠f3≤∠t<∠f4时,r(a)的显式为 C <al. r(a)= ad,4≤a<c,1 上述分析表明,无论t在哪个象限,r(a)都是有两个分界点的非负且斜率严格单调增的折线函数。于是 infoRM(αx)只可能在斜率由负变为非负的分界点α,处取得。而斜率由负变为非负等价于可+1≤0.将 a=a,代入(8.69)可得 (8.70) 另一方面,考虑线性方程组 f+l(f1+1-f1)=t
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第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 因为Uo非奇异,(8.71)又等价于 解这个方程,可得r=r(a,),l=1/(1-分+x/).由(8.71)知,r(a,j)位于过f和f+1的直线上, 见图87在r(a)的极小值处句+1≤0,于是l∈[,1,这意味着t∈S,于是,在扇区S内,Of(iu,65) 是联结子和子;+1的直 为第j个 Kharitonov多项式的实部和虚部构成的向量,这里j=1,2,3,4.由图8.7可得 (6)=min(lr(a,),r(aa,2)} 84区问多项式族的稳定性半径 88.4.1稳定性半径的定义 当区间多项式族的系数的变化范围,即区间[a;,a]足够大时,可能失去稳定性.为说明这一点 我们考虑下述3阶多项式 f(8.,6)=83+62+118+[6-66+6] (872) 显然,这是有一个不确定参数δ的区间多项式.容易验证,当δ=0时,f(8,0)稳定.f(8,6)的根由下 列两组根轨迹所决定 R+:1+O5+682+11+60,RL s3+6s2+11s+ (873) 当δ=60时,根轨迹RL+穿过±3.3166进入右半平面,而当δ=6时,根轨迹RL-穿过8=0进入右 半平面.于是对所有的6<min{60,6}=6,RL+和RL-的所有分支都位于左半平面.从而,区间多项式 族f(8,6)=83+6s2+118+(0,12)鲁棒稳定,而(012)是参数变化而f(8,6)不失去稳定性的最大范 围。本节的目的是研究如何确定这个最大范围 定多项式族F(8,6),其中‖l|≤1,可用 Kharitonov定理检验其稳定性.如果稳定性检验通不过, 我们可能希望减小系数区间的长度,即将;,a打]减小到[a;+∈,a-小,再进行稳定性检验.同样,如 果稳定性检验能够通过,我们可以增加系数区间的长度,即将回,增加到[;-∈,a+,再进行 稳定性检验.这样,通过有限次检验,有可能确定系数变化而(s,6)不失去稳定性的最大范围.显然 这种做法计算量可能相当可观.另一方面,当各个区间的长度的比值很大时,用这种办法就可能找不到这 个最大范围 基于上述考虑,我们会想到让各个区间按比例缩小或放大.为此,考虑(833)式中的区间多项式族 F(s,6)其中‖|k≤δ.不妨设后(s)稳定.由于多项式的根是其系数的连续函数,当δ足够小时,F(s,b) 仍然稳定。所以,可用下述方法确定F(s,6)能保持稳定的最大的δ.对于给定的6,用 Kharitonov定理判 断J(s,6)的稳定性.若结果是肯定的,则增加δ.若结果是否定的,则减小δ.用这种方法,可以通过迭 代确定最大的δ,记做max 定义81nax叫做J(8)的稳定性半径,若 1.当‖b‖<amax时,J(s.5)鲁棒稳定4 2.当‖δ‖第ma时,F(s,6)章至项式族的鲁稳定的棒稳 由于6mx定性的是6在分范数意将下的大小,m又∫做()的分范数稳定性半(或摄;在 )+1中,分定为一个以f(8)的系数向量禦为中部和虚为(a;-:pma,a;+:mx)的最大=立方
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§84区间多项式族的稳定性半径 体,以这个超立方体中任一点为系数向量的多项式都是稳定的。通常也称amx是区间多项式族F(s,b)的 ∞范数稳定性半径。显然,当6max≥1时,(a;-m;6mx,a;+6mx)覆盖了原区间[a;,a]应该指出 的是,对任何一个稳定的f0(s),6mx>0且有界。这是因为 使得F(s,6)的一个系数为0,相应的多项式肯定是不稳定的。所以, <min Kharitonov定理和等比例放大各个区间的办法确定x仍然存在计算量大和物理意义不明确的问题。 下面我们将证明6mx可以表示为两个形如HHk的矩阵的实特征值,其中丑3:是标称多项式f(s) 的 Hurwitz矩阵,而H,是用v;定义的 Hurwitz矩阵。 设fo(s)稳定。由于多项式的根是其系数的连续函数,当δ足够小时,J(s,6)仍然稳定。增加δ,F(s,6) 可能失去稳定性。此时必有 (i)F(0,61)=0,和/或(i)F(∞,62)=0,和/或(i)(ju,b3)=0. (8.76) 上式意味着F(s6)至少有一个根穿过稳定性定义域的边界,见图 88:F(s,)的根穿过稳定性边界的三种情况 方程(i)等价于a0+600=0.这是一个关于61=[6061…6n]的线性方程。由于仅有一个方 程,而有n+1个未知数,这个方程有无穷多个解。事实上,具有下述形式 的61都是方程的解。而满足条件|11k=|ao/uo的61是所有的解中范数最小的解,称为最小范数解。 任何范数小于|ao/vo的b1都不可能是这个方程的解 (8.77) 则f(0,6)≠0,6<P1,同理可证, 现在考虑(ⅲ)定义f=[mf6(j)Ref(j)]2,则方程(i)等价于 fo+263
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