第三章化模型匹配问题为广义距离问题 本章内容包括传递函数矩阵的 Immer- outer分解以及谱分解。对这些分解涉及的代数 Riccati方程的解 的理论,将做比较详细的介绍。通过这些分解,可将模型匹配问题化为广义距离问题 31引言 第二章通过镇定器的 Youla参数公式,已将控制问题转化为模型匹配问题 Q。1+n12Qr21l 这里 t B2F Ba r=(T1T12) A+ HC2 B1+ HD21 0 C1+D D1 D D 0 其中状态反馈阵F和输出注入阵H的选择使得AF=A+B2F和AH=A+HC2稳定。为使所讨论的 问题更具有普遍意义,考虑一般的模型匹配问题。由(31)显而易见,T;和G;的维数相同。所以,在 (3.1)中,令T11∈ RHPI,T12∈RP1×m2,T21∈R2×m为已知的稳定的传递函数矩阵,Q为待 确定的稳定的传递函数矩阵。模型匹配问题可以通过 Nevannlina-Pick插值法解决。对于这种方法,这里 不做详细介绍。读者可参阅(Kima).本章先通过对T1和T21的 inner-outer分解把MMP化为一个与 之等价的广义距离问题,再通过谱分解把广义距离问题化为 Nehari问题 为闸明用 inner-outer分解法化简MMP的思路,先考虑j∞处的模型匹配问题 minl‖(T1+T12Q21)(1∞) 32) 由引理24, Yr(j∞)=I,xr(j0)=0,N(j∞)=D22,D1(j)=I 于是 K(10)=(I+Q(j0)D2)Q(∞),Q(1∞)=K(jx)(I-D22K(j∞) j∞处的模型匹配问题等价于 5Dn+D2(×1-D2(x)D21=V(DE(x) 记Q三Q(1∞)=K(j)(I-D2K(∞)-2.上式为 mind u1+ Di2QD21j 设D2满列秩,D21满行秩。于是可通过初等列变换,将D12的列向量正交化,通过初等行变换,将 D21的行向量正交化。即存在D12∈CP1Xm,D12,∈CmXm,D21∈Cpm1,D12,∈CpP满足 D12=D12,D12 =D21,D21i,D12D12;=Im2,D21D12=I2,D12,和D2,非奇异。若p1>m2 则可找到另外p1-m2个列向量构成p1x(m1-m2)矩阵D1,使得[D⊥D12,是一个方的酉矩阵,即 [D⊥D2i[D⊥D12,=.D1叫做D12的正交补。类似地,若P<m1,则可找到另外m41-p2个行 量构成(m1-p2)×m1矩阵D⊥,使得D1D2,d是一个方的酉矩阵,即[iD21i][DiD1,l=I
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第三章化模型匹配问题为广义距离问题 D⊥叫做D21i的正交补.由于左乘或右乘一个酉矩阵不改变矩阵的奇异值o(M),我们有 Q Dell a Da Du+ NoDAl Dt Di 00 R Ry Q R21R22+Q 这里Q R11R1 DI D11DI DI Di1 D21 R21 R Di2Di1Di 于是(2.35)等价于 11 R R21R22+Q (3.5)中的问题叫做矩阵扩张( Matrix Dilation)问题记该问题的解为Qopt,则模型匹配问题的解为Qopt= 矩阵扩张问题的解留待第5章.本章主要研究当T;均为传递函数矩阵时,如何将酉矩阵的概念推 广,引入 Immer, outer传递函数矩阵的概念,对传递函数矩阵T;进行分解,将模型匹配问题化为(3.5)的 形式,以使控制问题更进一步简化 832 inner、 outer传递函数矩阵的定义 先考虑下述单输入、单输出模型匹配问题 ∞‖(s+3)s+4) 然, G()=(s-1)(s-2)(s=1)(s-2)(s+1(s+2) (s+3)(s+4)(s+1)(s+2)(s+3)(s+4) 且有 2)(s-1)(s-2) 于是 Gis(w )Gi(w)=Gi(w Gi(w)=Gi(w) (s-1)(s-2) (-8-1)(-8-2) (s-1)(s-2) (8+3)(8+4)(8+3)(s+4) (-8+1)(-8+2)[(s+3)(s+4)(s+3)(s+4) (s+1)(s+2)(s+1.5)(s+1)(s+2) (s-1)(s-2)(s+3)(s+4)(s+3)(s+4) +1-2+可分解为 (8+1)(s+2)( (8-1)(8-2(s+3)(s+4)(s-1)(s-2) 记Q=8+3+Q-m3计+,则由于{+3#及其道均属于R,Q∈R∞当且仅当Q∈Rx 所以可以先解优化问题 m:5+-
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832 Inner、 outer传递函数矩阵的定义 得Q然后求出Qnm=#+9:#(Qnm+ 满足(36)的分解叫做G(8)的 lnner-outer分解。G1叫做G(s)的iner因子,C。叫做G(s)的 outer 因子。对于单变量系统, Inner- outer分解相当简单。iner因子G;具有 Blaschka乘积的形式: G:=II(53 (37) 其中包括了G所有不稳定的零点,而G=C∏(共)当G(为传递函数矩阵时,情况就复杂多 了。这时需要寻找iner- outer分解问题的解析算法 83.21 Inner矩阵 定义31G∈Rm叫做 inner矩阵( Inner matriz,如果G￠=I,这里C,=Cr(-s). 显然,G是iner矩阵的必要条件是p≥m,即G是一高矩阵。 Inner矩阵的一个有用的性质是 GFl=| Flloo VF∈Rh 这是因为当s=j时,G=G(-j)=G(j),从而G"(ju)G(j) [F(j=x22F(j)F(u=x2/[F'(j)G"(j)G(i)F(j) 下述引理给出了传函矩阵G是nner矩阵的充要条件 引|理3.1设(A,B,C,D)是G的一个最小实现。则G是iner矩阵,当且仅当 2. D"D=I 这里X是(C,A)的可观测性 Gmmian,x=oc4'C'Ce4td 证明:先证明X满足 Lyapunov方程XA+AX+C"C=0 XA+AX (AeA"C"Ceat +e"C"ceata)dt dea"C"Ceat=eAtC"CeAt 由于A稳定,im→se4t=0,于是XA+AX=-C"C 再求GG的状态空间表达式。由G(s)=C(8I-A)-1B+D得 Gr(-8) B(sI-(A)")C*+D SR BD 于是 B cc当|cc A°CD I 0 引入线性变换m X a"CD+XB D"C+BX 由于(A,B)可控,故GG=DD,当且仅当(-A",CD+XB)完全不可控,(D"C+BX,A)完全不 可观测,即DC+BX=0
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第三章化模型匹配问题为广义距离问题 注3.1若G只满足条件1,则称￠为全通的(αl-ps).全通传递函数的幅频特性是一条直线,这意味着 G对所有正弦输入的放大作用蹭增益)都是一样的。传递函数矩阵的幅频特性可以定义为G(j)的奇异 各个奇异值可以理解为G对其输入u(t)=[u1(t),u2(t),,um(t)]的各个分量u;(t)= sinw t的 某个线性合的増益。于是,G∈咒η有π个幅频特性。全通传递函数矩阵的所有幅频特性都是直 线。这意味着口对任何频率的正弦信号的增益都是一样的。我们称这种幅频特性为全通的。注意全通的 概念也可以推广到不稳定传函矩阵。此时定义X为 Lyapunov"方程的解 定义3.2Gnr称为G的一个右递,如果G·GBr=I. 显然,G有右逆的充要条件是G的列数不少于它的行数,且G满行秩。设 满足这个条件,则 SSR_A-BD(DD)-CIBD(DD) DT(DDT)-C DT(DDT) 证明.由串联公式,得 A-BDT(DDT)-IC 0 BDT(DDT)-1 BD(DDI A BDT(DDT) DD(DD)-C C DDT(DD ) A-BD (DD )-C 0 BDT(DD) 0 定义3.3G∈咒HB"叫做 outer矩阵,如果G在右半平面Re(s)>0中满行秩,即G有一个在B(s)>0 內解析的右递矩阵 定义34(传递函数矩阵的 inner-outer分解 Inner- Outer- Factorization)设G∈(RHa)m,若存在 inner 阵G1和 outer矩阵G。,满足G=GG,则称￠=GC。为G一个 inner-outer分解。 类似地引入下述定义 定义3.5G∈咒HBm叫儆co-iner,如果GG=Ⅰ.G叫做co- outer,如果G在右半平面內满列秩或有 一个在右半平面内解析的左递。G=G。·Ga叫做咒H一传递函数矩阵G的一个c- inner- outer分 解,若 下述引理给出了G为co-imer的充要条件 引理3.2令(A,B,C,D)是G的一个最小状态空间实现,则G为co- inner当且仅当 1.CY+DB=0, 2. DD=I 这里Y=。cABe4“d是(A,B)的可控性 Gramian,满足 Lyapunov方程 AY+YA"+BB=0 322 inner-outer分解与代数 Riccati方程 本节的目的是将 inner-outer分解归结为求代数 Riccati方程的镇定解的问题。设(A,B,C,D)是G∈ Rhm的一个最小实现,且G(s)在整个虚轴上满列秩。定义 毳=DD>0 (3.9) D是DR-1/2的正交补,即 DD=1,[Dn-2D]D-2D]=
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(M,们有+Q传 R满足数 Ricc, i这里 s4窬RRs4慧骱R4等R俯砷问题 且:44是等理 己该解为p理则模型ˉP留鲋铺本主要研 究当T均传递显∈Rm,G粪个虛轴上满列秩研递义 4F4.等 耐F 愚等 价F价是等 F问是等 扩 其中R是 Riccati方程(3,1)的镇递解型则G回G是喲一个iner-outr分解型 证明:先证明Gn稳主研由逆系统公式和扩可得 G。何 是等F是等 显然型G。∈RH张 再证明G问GG引用逆系统串联公式影得 GG。向的 F4愚等是F4.等是等 价等是等F价等是等 价 即G1G问G张 最后证明G;是 inner矩阵研由 r|4愚等 价是等 (价愚等)价愚等间 和引理张G1是ier矩阵型当且仅当:r稳主型且 愚等价p愚等4R问题 式中R是扩r,:Fa可观测性 Gr, mi, n,即 y: punov这里 问题 要研由扩可要得F问嘉等R价钟扩将F入,mo这里扩得 RF4是等R价4是等R价B [m价是解R价l][m价是謎rˉ价4问题 R扩4等;a^扩4窬1Rm?R4等nm 搠感等Ra扩佛箫a拉f舒a价愚等R 拉佛審a拉价amR4等品1题m
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