第五章四块问题的解 85.1引言 如3.6节所述,通过谱分解可将两块问题和四块问题化为等价的一块问题。而一块问题,作为 Hankel 范数模型逼近问题的一个特例,已在前一章得到彻底解决。这样,四块问题也已解决。但是,由定理315 可以看出,与四块问题等价的一块问题,其形式相当复杂。这样,不易与最初的咒。控制问题联系起来 本章的目的是直接给出四块问题的解。如果把化四块问题为一块问题看作“压缩”的方法,则本章使用的 是一种“扩张( dilation)”的方法。将问题进行压缩,需要四次谱分解,四次求谱因子的逆,并需计算串 联系统的状态空间表达式。而对问题进行扩张时,则只需对原系统进行适当的增广 52矩阵扩张问题的解 考虑(35)定义的矩阵扩张问题。其次优问题为寻找Q,使 12 R21 R 式中R1∈CPxm,R12∈CP1xm2,B21∈CPxm1,R22∈Cxm2均为常矩阵。u→∞时的四块问题就是 一个矩阵扩张问题。记 R1 R1 R 则次优问题等价于‖R-川<y.这可以看做是一块问题,只不过对Q的结构做了限制而已。仿照一块问 题的解法,定义增广矩阵Ra R11R1 R21 R 0000 R 0 00 其(1,2)块为(p1+p2)×(p1+p2)零矩阵,(2,1)块为(m1+m2)×(m1+m2)零矩阵 (5.3) Qazi Q 其中 223Q Q31Q32 QQQ0 333 O 若能找到Qa,使误差系统 Ea= Ra-Qa (5.5) 满足 EREa=y-I
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第五章四块问题的解 且Ea的两个非对角线子矩阵Qa21和Qa12非奇异,则作为4×4分块矩阵Ea的子矩阵,必有 R R1 R21R22-Q 于是,Qa11是矩阵扩张问题的一个解 我们将按上述思路解四块矩阵扩张问题。我们需要两个引理 引理5.1设A,B,C满足条件 1. A'A+C"C=1-1,AA+BB 3.B和C非奇异 a B (5.7) C X 引理52设Qn如(5.,),其中Qa11如(5.4), Q Q31 Q 非奇异方阵,则Q具有(5.2)的形式,当且仅当Q=F1(Qa,Φ),其中 证明:先证充分性。设重具有(5.9)的结构,则 (Qa,)=Q211+Qa12(I-Q22)1Q 32 22 Q 0 Q (I-Q440)- 再证必要性。设Q具有(5.2)的结构。由于Q1和Q21都是非奇异方阵,可定义 W=Q12(Q-Q1)Q=1=4(-Q2)-1 并解出乎=(1+WQ22)-1W.这说明,Q可以表示为(Qa,Φ).容易证明 (Qp-Q22)Q 式中QD是Q的(2,2)块非零子矩阵。从而 ( +wQa22 上述分析说明,任何矩阵Q都可以表示为F1(Qa,重).要使Q具有(5.2)的结构,参数重需具有与Q同样 的结构 定理5.1( ParroT定理)
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§5.2矩阵扩张问题的解 矩阵扩张问题(5.1)可解,当且仅当 [fR1R12]‖l Rl (5.10) R g.若不等式(5.,10)成立,则矩阵扩张问題的通解为 0 o Q 其中‖U‖<1/y, Q [I+R21(2I-Ri1R1-R21R21)-1R2l +R R12)-R12] 证明:先证明(5.10)是四块问题可解的充要条件。由于[R1R12] 都是R-Q的子矩阵 R (5.10)的必要性是显而易见的。要证明其充分性,只要在这个条件下找到Q使(5.1)成立就行了 记E为E中的元素。则E1=R1,E12=R12,E21=R21,E2=R22-Q2.对于其它的 E=-Q;,设(5.10)第一式 R11f1+R1212<2r 2I-(R1R1+R12R12)>0 于是存在 Cholesky因子E13∈四×p,满足 2I-(R1Ri1+R12R12)=E13B13台[R1R12E1l[R1R12E1]=?2I EEa=2I等价于EaEa=y2I.后者的(1,1)块为 R1R12E13E14fR11R12E13E14=?2I 比较最后两个式子,可知E14=-Q14为p1×p2零矩阵 同理,由(5.10)第二式,可取E31∈Cm×m为正定矩阵?2-(R1R1+R21f21)的 Cholesky因子, 为m2×m1零矩阵 现在来确定[E42E43]和[E24E34」两个矩阵。EaE=γ2I的(1,4)块为 [R1R12E130 0,[R12E13] (5.13) E43 E4 E4 后一个式子说明[E42E4]cker([R12E13]).因E13是p1×p1非奇异矩阵,ker([R12E13])的维数 且(5.13)的解为 R 若取E42为m2×m2非奇异方阵,则[E42E43]的列向量线性无关。进一步,若取[E42E43]为 ker(R12E13])的直交基,满足 Ea EalI Eia -rl.+ 0 E42 E4 o Eia =rr
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第五章四块问题的解 则有 E42[I+B12(2I-B11-R12R12)-R1 2 E12=y[+12(72T-R1B1-R12l12)-2]-12 (5.15) 与EaEa=y2I的(4,4)块 [0E42E43E4 EA E 相比较,知E4是m2Xp2零矩阵。 同理,由EEa=?2I的(1,4)块和(4,4)块 0 E34 可取 (5.16) E3 (-E31)-R 其中 E24=7[n+21(72T-R1R1-21E21)-1r21-12 (5.17) E 则 的列向量为ker[R21E31]的一组直交基,且E24是p2XP2非奇异方阵。 此,E周边上的12个子矩阵全部已知,未知的是位于中心位置的2×2分块矩阵 E2 E X E 32 E41E4 R,2E E E42E4 E31E3 000 0I00 X 容易验证 于是 EREa=?I a B a B C X
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§53次优四块问题的可解性条件 由A,B,C的定义,知道它们满足引理5.1的条件。于是可由⑤5.7)解出X的元素为 R21(2I-R1R1) E23=-R21(2I-R1R1)-1B1(2I-R1R1-B2l12)4/2 (72I-B1R1-R21R21)2/2(2I-R1l1)-1l1 (5.18) E3 E3=-(72I-R1R1-R21R21)2/2(72I-R1R1)-1R1(72I-R1R1-R12R12)/2 由 得 Q22=R22+R21(2I-R1R1)-2R1R12 显然Qa12和Qa21均为非奇异方阵,所以 是次优矩阵扩张问题(5.1)的一个特解。 现在我们以上述特解为基础,给出四块问题的通解。这包括: 找出所有形如(5.2)的Q 2.使‖R-‖< 由引理52,Q具有(5.2)的结构,当且仅当 0 Q22 Q24.U 由EEa=12I,R-Q=F1(Ea,和引理4.6,‖R 注51若定义 R1R12R130 R21R200 R31000 00 R24 R R42R43R4 其中 R1R1.+R12R2.+R13R13=72I R11R11+R21R 则对給定的Rn,寻找Q。使(5.6)成立,等价于给定Ra,寻找Ba,使误差杀统Eas=Ra-Bna满足 5.3次优四块问题的可解性亲件 原次优四块问题是,对给定的R。传递函数矩阵R= 找 R2R22 Q
↕ ➙ ➛ ➜✄➝✌➞✌➟✌➠✌➡✌➢✆➤✌➥✆➦✌➧✆➨✌➩ ➫ ➭ ➯❚➲✲➳❳➵❄➳✷➸✄➺✌➻✌➼✌➽☛➾✌➚✌➪✌➶✆➹✌➘✆➴✆➷ ➭ ➬ ➮ ➺✌➱✌✃✌❐☛❒✌❮✌❰✆➯❜Ï ➭ ➬ Ð Ñ✤Ò✌Ó❚Ô ➺✌Õ✌Ö✌× Ø✧Ù Ù➏ÚÜÛ✧Ý✪Ù Þ Ïß Ù à Û☛Ý✪áÞ Þ Ý✲Þ Þ Ñ â Þ Ý✪áÞ Þ Ý✲Þ Ù Ø✧Ù ã❢ÚÜÛ✧Ý✪Ù Þ Ïß Ù à Û☛Ý✪áÞ Þ Ý✲Þ Þ Ñ â Þ Ý✪áÞ Þ Ïß Ù à Û☛Ý✲Þ Þ Ý✪áÞ Þ Û☛Ý✲Þ Ù Ý✪áÞ Ù Ñ Þ ä Ù Ø✤ã Ù➏ÚÜÛ Ïß Ù à Û✁Ý✪áÞ Þ Ý✲Þ Þ✳Û✁Ý✪áÙ Þ Ý✪Ù Þ Ñ Þ ä Ù Ïß Ù à Û☛Ý✪áÞ Þ Ý✲Þ Þ Ñ â Þ Ý✪áÞ Þ Ý✲Þ Ù Ø✤ã ã❢ÚÜÛ Ïß Ù à Û✁Ý✪áÞ Þ Ý✲Þ Þ✳Û✁Ý✪áÙ Þ Ý✪Ù Þ Ñ Þ ä Ù Ïß Ù à Û☛Ý✪áÞ Þ Ý✲Þ Þ Ñ â Þ Ý✪áÞ Þ Ïß Ù à Û✁Ý✲Þ Þ Ý✪áÞ Þ Û☛Ý✲Þ Ù Ý✪áÞ Ù Ñ Þ ä Ù Ï ➭ ➬ ➮ å Ñ ➯ Ø✧Ù Ù❡Ú✆Ý✪Ù Ù❝Û☛æ✲Ù Ù ➳ ç æ✲Ù Ù✤Ú✌Ý✪Ù Ù✳è✬Ý✪Ù Þ Ïß Ù à Û✁Ýá Þ Þ Ý✲Þ Þ Ñ â Þ Ýá Þ Þ Ý✲Þ Ùêé ë✌ì æ✪í Þ Ù✤îïæ✪í Ù Þ❡ð×✌ñ✌ò✌ó✌ô✌õ✆➽☛ö✆÷ æ✪í Þ Þ❡Úùø❧úûú ú æ✲Ù Ù❯ü ❮✌ý✌þ✌ÿ✌õ✁✁✂☎✄✁✆➏Ï ➭ ➬ ➮ Ñ ➺✁✝✁✞✁✟Ò❐ ✠✁✡☎☛➶✌÷✁☞✁✌☎✟Ò×☎✍✁✎✆➽✑✏Ó✓✒✕✔✄☎✆✌➺☎✖Ò❐✕✗☎✘✁✙✓✚ ➮ ➬✜✛✬Ó ö✁✢✁✣✁✤❜Ï ➭ ➬ ✥ Ñ ➺ æ ➳ ✥ ➬✧✦✩★ Ý✬Û✁æ ★✜✪ ß ➬ ➯✌➴✌➷ ➭ ➬ ✥ ➳ æ✬✫✢❜Ï ➭ ➬ ✥ Ñ ➺✁✭✁✮✌➽✁✯✕✰✁✱✬✯ æ✆Ú✁✲✧✳ Ï æ✪í ✴ ✵ Ñ Ú ✶✷ ✷ ✸ ú ú ú ✲✧✳✺✹❄ø æ✲Ù Ù➏æ✲Ù ✻ æ✼✻ Ù ú ü ✴ ✽✜✾❀✿❁ ❁ ❂ Úùø ú ú ú æ✲Ù Ù✳è✬æ✲Ù ✻ ✽✪æ✼✻ Ù❧ü ➯ Ø✲áí Ø✤í✪Ú ß Ù à ➳ Ý✬Û☛æ✆Ú✁✲✧✳ Ï Ø✤í ✴ ✵ Ñ î➴✌➷❄❃ ➬ ❅ ➽ ★ Ý✬Û✁æ ★✜✪ ß❇❆❉❈ ★ ✵ ★ Ú ★ ✽ ★✜✪✆➮ ❊ß ➬ ❋✩●■❍ ❏✬❑✕▲☎▼ Ý✧í í Ú ✶✷ ✷ ✷ ✷ ✸ Ý✲Þ Þ❜Ý✲Þ Ù➏Ý✲Þ ã ú Ý✪Ù Þ❜Ý✪Ù Ù ú➍ú Ý✧ã Þ ú ú➍ú ú ú ú➍ú ✿❁ ❁ ❁ ❁ ❂ Ý✧í ◆ í Ú ✶✷ ✷ ✷ ✷ ✸ ú➍ú ú ú ú Ý✪Ù ◆ Ù Ý✪Ù ◆ ã Ý✪Ù ◆ ✻ ú Ý✧ã ◆ Ù Ý✧ã ◆ ã Ý✧ã ◆ ✻ ú Ý✜✻ ◆ Ù Ý✜✻ ◆ ã Ý✜✻ ◆ ✻ ✿❁ ❁ ❁ ❁ ❂ ❖✓P Ý✲Þ Þ Ý✲Þ Þ á è✬Ý✲Þ Ù Ý✲Þ Ù á è☛Ý✲Þ ã Ý✲Þ ã á Ú ß Ù à Ý✲Þ Þ á Ý✲Þ Þêè✬Ý✪Ù Þ á Ý✪Ù Þêè☛Ý✧ã Þ á Ý✧ã Þ❝Ú ß Ù à ◗✁❘☎❙▲❯❚ Ý✧í ❱❳❲✁❨ïæ✪í❉❩❭❬❪❫ ❴❵❜❛☎❝➽☎❞✕❡❯❢ ❙▲ Ý✧í í ❱❳❲✁❨ Ý✧í ◆ í ❱❣❩☎❤✬✐❦❥♠❧ïØ✤í í ♥ ♦❝Ú✄Ý✧í í✪Û Ý✧í ◆ íq♣✑r Ø✲áí í ♥ ♦ Ø✤í í ♥ ♦❡Ú ß Ù à ❫ s■t ✉ ✈①✇③②⑤④✬⑥❇⑦③⑧❀⑨③⑩❦❶❸❷❇❹❦❺ ❻✌ý✌þ✒❼✔✄✁✆✆❮✆➽✕❽☎✏✌➻✌➺❿❾q➀❼➁③➂✑➃✬➄✕➅✌ÿ✌õ➇➆ Ú ø ➆Þ Þ ➆Þ Ù ➆Ù Þ ➆Ù Ù❯ü ➳ ➈✛ ➊➉ Úùø❧ú✕ú ú ➊⑦ü♠➋ ❾❉➀➌➁ á Ï ➭ ➬ ➮ ➫ Ñ