第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 本章的目的是将区间对象族系统的鲁棒稳定性问题化为系数中有∞范数有界不确定性的多项式族的 鲁棒稳定性问题。证明在任意阶控制器下的32棱边定理,在一阶控制器下的16顶点定理 §9.1问题的提法 在图12中设P(s,6)为区间对象族 P(s,6)={P(s):P(s)= 0[67 bf]s3 (9.1) 控制器C(s)的传递函数为C(s)=NC(s)/Dc(s),其中控制器的分母和分子多项式分别为 +c1s+co,Nc(s)=d1cs"°+ωnc-1s"-1+…+d1s+do,(9.2) 则闭环系统的特征多项式为 F(,6)=Dc()∑吗吋+N()∑ (9.3 闭环系统的鲁棒稳定性等价于多项式族F(s,δ)的鲁棒稳定性。如果多项式族F(s,δ)中每个元素都稳 定,则称控制器C(s)鲁棒镇定P(s6)记a(6)=四a吋b(6)=]并用Nc(s)和Dc(s)的系数 d和c;定义矩阵(n+1+n)×(n+mc+1) Sylvester结式( Resultant) 0 S do d1 则闭环系统的特征多项式F(s,6)的各项系数acl(6),1=0,1,2,…,n+nc,可表示为 g(6)=a2(6)b2(6)·S (6) ac(6) a(6) b(6) 上式意味着特征多项式F(s,6)的系数ac1(6)是a(6)和b(6)的线性组合。虽然a(6)和b(6)为各自独 立的区间,aen(6)也不再相互独立。于是,F(s,6)不是区间多项式族。原有的分析区间多项式族鲁棒稳 定性的方法不适用。建立一套适用于区间对象族控制系统的鲁棒稳定性分析的方法,是本章的内容
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第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 892 Overbounding及其保守性 本节将以一个例子说明如何通过 Over bounding方法化F(s,b)的鲁棒稳定性问题为区间多项式族的 鲁棒稳定性问题,并指出这种方法的保守性 例91考查图1.g中的余统,其中 P(s,6)= 2] 82+[2488,17.512]s+[8488,24512] C(s)=(38+2)(s+5) 按照前面的定义,标称对象为 P0(s) 容易证明,标称闭环糸统的特征多项式为∫(s)=s3+18s2+73s+85.5,其根为-12.8294,-2.7245,-2.461 从而C(s)镇定P(s).闲环亲统的特征多项式为 (s,6)=fo(s)+(40.066D,0+14.0246N,)+(37.566,1+8.0126D,0+21.0366N,)8+7.5126D,1s2(9.5) 二ba 其中δ=[6D6D,16No],‖|6‖。≤1.由(9.5)得 40.0600 014.02406D0 6a1=8.012037.560021.03606D (9.6) 07.5120 ON 当δ;都取-1时,a;取最小值;而当6;都取+1时,δα;取最大值。然而,由于α;必须满足 (9.0),它们不能独立地在各自的最小值和最大值之问取值。所以,F(s,6)不是区间多项式族。在3维 空间[6D。6D,16x0]中,‖‖≤1是由6个平面6D,=±1,6D,=±1和6N0=±1所界定 正方体的内部。由于[aoam1a]'和 &ao Sa16a之间是线性变换的关亲,在3维空间中, 6N,d]位于平 0.0288-0.0192009606a 0.00000.00000.1331 0.01100.0549-0.2743 0.0288-0.01920.0960 0.00000.00000.1331 (9.8) 0.01100.0549-0.2743 所界定的平行多面体内,而该区域是8维长方体 54.0840 54.084 7.5120 上述分析表明,对于系数不是相互独立的多项式族,可以通过oeυ ounding的办法把它的糸数所在 的区域嵌入一个立方体内。这样儆势必带来保守性。为使保守性减至最小,应寻找最小的超立方体。对于 我们正在研究的例子来说,(9.9)式中的盒子就是包含以(9.7和(9.8)式中6个平面为表面的平行6面 体的最小立方体。相应地,可以考察区问多项式族 (s,8)=f0(s)+54.08460+660818+7127232,同」1
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§93值集 的鲁棒稳定性。若(s,δ)稳定,则原多项式族(sδ)稳定。然而,厂(s,δ)的一个角是 2]=[54.084-66.608-7512] 相应的特征多项式是 f(s)=s3+10.4882+6.3928+139.584 其根为-11.0523和0.2822±j3.5426.从而(s,6)不稳定。我们以后将会证明,整个多项式族(s,6)是 稳定的。这个例子说明用συ abounding的办法可能得到保守的结论。这一方面说明κhaπioπoυ定理在实 际应用中的局限性,另一方面也要求人们建立新的理论,以克服这些局限性 般情况下,给定Ω。,闭环系统特征多项式的系数ac(6)的取值范围为 2A={a(6):b∈} 即使是∞范数有界的δ的集合,因为δ和a-(6)的维数可能不同,确定!5c也不像本例那样简单, 见本章问题 §93值集 稳定性检验的思路是先确定多项式族的值集,再检验产生值集边界的多项式的稳定性。为此,我们先 确定区间多项式族系统特征多项式族的值集。定义 UD (9.10) 则a(6)和b(6)可等价地表示为 a1a+] D,|≤ b(6)=[=b+x6x,x 于是P(s,6)的参数向量p(6)可表示为 p(6)=a(6) (9.12) b(6) 这里 an,bo=[bb1…bn-1]r 6=6b6N,|6|s≤1 P(s,6)又可表示为 P(6)={P():PsA()+∑=bmx6si6ls≤1 o(s)+∑0Un,s6D, 记B(s)=No(s)/Do(s)为标称对象。闭环系统的特征多项式又可表示为 r(,6)=De()Dn()+my]+Mc(0()+am;e6 (9.18) fo()+∑+f1(s)
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第九章区间对象族系统的鲁棒稳定性检验 这里 fo(s)=Dc(s) Do(s)+ Nc(s)No(s) (9.19) 标称闭环系统的特征多项式,6为6的第j个元素,f(s)是向量 WD, oDc(s)wD,1sDc(s)wD,282Dc(s).. WD, ns"Dc(s) c(s WNisN 的第j个元素。不失一般性,设标称对象P(s)=M(s)/D0(s)是可镇定的,C(s)镇定P(s).于是 f(s)=f(s,0)稳定 考虑(9.18)式定义的多项式族f(s,5).这种形式的多项式族又被称为多项式多面体(Poly tope).令 并定义 Re 这里 f; 1,2,,27+1 于是,F(j,5)的值集I(j,6)为 r(ju,6)={ fo+z16,‖{6|≤1} (9.21) 其中fo=[Im6()Re)2=[(-u2)ho(=u2)].为方便起见,仍考查值集 T(w, 6)=r(w, 6)-fo ll≤1} (jωδ)显然是一个单连通域。只要确定了边界就可以完全确定r(,δ).类似于区间多项式,r(j,6)的 边界or(ju,b)的极坐标表达式可用下述方法确定 给定R2中任一单位向量t=[ sin g cos a,6 2x),则t定义了R2中一个方向。在这个方向 上,ar(j,b)=m(θ)t,其中m(6)是优化问题 mn(6)=su{B:z16=t,‖|6|≤1} 的解。这与前一章中的优化问题(841)属于同一类型,差别仅在于z显然Z1=[zDzx],其中 wD,owgD WD, 1whD Wp,2w'gDc -WD,3whpc 这里gD。,A,9N。和hN分别为Dc(ja)和NC(ju)的虚部和实部,即: Dc(ju)=hp(-w2)+jwgD(-w2), Nc(w)=hN(-w2+jun(-w2) 于是 +ault 其中 UzI
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§93值集 而Uo是用θ=∠t定义的旋转矩阵,见(8.44) 设∫;是矩阵z工的一个列向量。显然Z2中所有向量仅由4个不共线的向量所产生。这4个向量是 f f f 若定义 WD.0+ WD, 2w-+WD4w+ ,g=D,1+uD,3u-+D,5u1+ (9.26) 6Nh=UN,0+N2u2+UN,44+ 以及 fNa,1①N,h,∫ 则有 (9.28) 这里 们 16 其中子:∈{±fD。,1,±fD=,2,±fN,1,±Na,2}.下面将会看到,我们可根据C()的相位和向量t的位 置确定∫;的编号顺序,使g;满足相位关系 (9.30) 然后可以确定函数r(a)的表达式,并由此确定m(6) 注意,6D,h=6D,(j),6D,=6D,(ja),这里 6 6D,(a)=UD,1-UD,3s2+n.s:4-UD,7s5+ (9.31) 于是Db(s)±6D,A(s)±s6D,(s)是P(6)的分母的4个 Kharitonov多项式: D1(s)=Db(s)+6D,()-s6D,(s),D2(s)=D(s)+6D,h(s)+s6D,g() D3(s)=Do(s)-dDh(s)+soD,g(s) D4(s)= Do(s)-dD, h(s)-soD, g(s) 同样,N0(s)±6xh(s2)±s6N(s2)是P(s,b)的分子的4个 Kharitonov多项式 N1(s)=N0(s)+6N,(s)-s6N,g(s),N2(s)=No(s)+x,h(s)+so6N,g(s), (9.33) N3(s)=N0(s) soN, g( s N4(s)=N0(s)-6N,h(s)-s6N(s) 由∫b。,fD=0,知fD2⊥fDa,1.再由 n(∠fne,2-∠fe,)= 知4fDe,2=∠fDe,+.同理可证,∠fN,2=2fNe,+进一步还有 n(4-n,)==1m=(gc(u) COS f ∠fDc, cos(arg C(jw)) 从而厶∫Na,1-厶∫De,=argC(ju).根据控制器的相位argC(jω)可以确定值集r(s,6)下面将分4种情 况进行讨论
Ð Ñ Ò Ó✒Ô✒Õ Ö × Ö Ø❨Ù✍ÚÜÛ✘Ý➋Þ❜ß✩à áãâ✴ä✘å❭æ✴ç✴è✩é✴ê✔ë➏ì í î ïï ð î ñ❨ò✍ó Û➋è✩é✔ô✝õ✴å✼ö✼÷✴ø✭ù✛ú✒û✔ü✴ý➏ô✝õ✭þ✛ÿ✁✭ù✛ú✁✂☎✄ ï→÷✝✆✟✞✝✠✘å✒ù✛ú✘ÿ✝✡✝☛✒û✌☞➵ï❆÷✭ù✛ú✴Û ò✎✍✑✏✓✒ ✔ ß✖✕✘✗✑✙✍✑✏ ✚✍✑✏✜✛✣✢ ò✤✍✑✏✓✒ ✥ ß✖✕✦✗ ✚✍✑✏ ✧✗ ✥ ✙✍✑✏★✛☎✢ ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ß✖✕✘✗✑✙✩✎✏ ✚✩✎✏✪✛☎✢ ò✤✩✎✏✓✒ ✥ ß✖✕✜✗ ✚✩✎✏ ✧✗ ✥ ✙✩✎✏★✛✬✫ ì × î ✭ ✮ ð ✯â✴ä✱✰✍✲✒ ✳ ß✁✴✍✲✒ Ú✑✵✬✴✍✲✒ ✥ ✗ ✥ ✵✬✴✍✲✒ ✶✗ ✶ ✵✟✷ ✷ ✷ ✢ ✰ ✍✲✒ ✸ ß✟✴✍✲✒ ✔ ✵✹✴✍✲✒ ✺ ✗ ✥ ✵✹✴✍✲✒ ✻ ✗ ✶ ✵✟✷ ✷ ✷ ✢ ✰ ✩✑✒ ✳ ß✁✴✩✑✒ Ú✲✵✹✴✩✑✒ ✥ ✗ ✥ ✵✬✴✩✑✒ ✶ ✗ ✶ ✵✟✷ ✷ ✷ ✢ ✰ ✩✑✒ ✸ ß✁✴✩✑✒ ✔ ✵✹✴✩✑✒ ✺ ✗ ✥ ✵✬✴✩✑✒ ✻ ✗ ✶ ✵✟✷ ✷ ✷ ✢ ì × î ✭ ✼ ð ✽✹✾ ✿ ò✎✍✑✏✓✒ ✔ ß ò✤✍✑✏✓✒ ✔ ✰ ✍✲✒ ✳ ✢ ✿ ò✤✍✑✏✓✒ ✥ ß ò✤✍✑✏✓✒ ✥ ✰ ✍✲✒ ✸ ✢ ✿ ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ß ò✤✩✎✏❀✒ ✔ ✰ ✩✑✒ ✳ ✢ ✿ ò✤✩✎✏✓✒ ✥ ß ò✤✩✎✏❀✒ ✥ ✰ ✩✑✒ ✸ ✢ ì × î ✭ ❁ ð ❂ ❃ ì ❄☞ð☞ß❆❅ ❇❈✵✹❄✎❉✑❅ ✔ ß ✶ ❊ ó ❋✤✔✲● ❄ ✿ ❍ ó ✵ ✿ ■ ó ● ✢ ì × î ✭ í ð ☞✁❏ ✿ ❑ ó✎▲ ß✖✕ ✿ ❍ ó ✿ ■ ó▼✛ ß✒Ù✍Ú ✿ ò✍ó ✢ ◆ ß Ö ✢ ✭ ✢ ❖ ✢ ï ✢ ì × î ✭ × ð Pþ ✿ ò ó✎◗✹❘✎❙ ✿ ò ✍✑✏✓✒ ✔ ✢ ❙ ✿ ò ✍✑✏❀✒ ✥ ✢ ❙ ✿ ò ✩✎✏✓✒ ✔ ✢ ❙ ✿ ò ✩✎✏✓✒ ✥✤❚ î✑❯✁❱✟❲✁❳✁❨✁❩✒ê❈❬✝❭✁❪✟❫✝❴✪❵✉ì ❛✗ ðÜå✬❜✁❝✁❞✭ù✛ú➋áPå✬❝ ❡✝❢â ✿ ò✍ó å✟❣✟❤✁✐✝❥✘ê✌❦ ✿ ❑ ó✎❧✝♠❜✁❝✁♥★♦ ♣▼q à ✿ ❑ ✔ q à ✿ ❑ ✥ q à ✿ ❑ ✺ q à ✿ ❑ ✶sr✟t ✫ ì × î ❖ ♣ ð ý✁✉✝❪★✽ ❢â✝✈✟✇ ❃ ì ❄☞ð❜å✬①✁②✁③✒ê✌④☎✄❈⑤❢â⑦⑥✛ì Þ ð î ⑧✟⑨ê ✰ ✍✲✒ ✳ ß ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❛✗ ð ⑩ ✰ ✍✲✒ ✸ ß ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❛✗ ✰ ð ⑩✓☞✁❏ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð❨ß❷✴✍✲✒ Ú ✧ ✴✍✲✒ ✥ ❶ ✥ ✵✬✴✍✲✒ ✶ ❶ ✶ ✧ ✴✍✲✒ ❸ ❶ ❸ ✵✁✷ ✷ ✷ ✢ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð❨ß❷✴✍✲✒ ✔ ✧ ✴✍✲✒ ✺ ❶ ✥ ✵✬✴✍✲✒ ✻ ❶ ✶ ✧ ✴✍✲✒ ❹ ❶ ❸ ✵✁✷ ✷ ✷ ✫ ì × î ❖ Ö ð ❺✼Û✜❻❜Ú ì ❶ ð ❙ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð ❙ ❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð✝Û✜❼Pì ❶ ✢ ❽ ð☎å✬❾✁❿✒å ïP÷✜➀➂➁➃➄ ➅ ➆ ➇➈➇➉➋➊✟➌✁③★➍ ❻✔ ì ❶ ð☞ß✝❻❜Ú ì ❶ ð✤✵ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð ✧ ❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ❻✥ ì ❶ ð✝ß✁❻❜Ú ì ❶ ð✤✵ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð✤✵✬❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ❻✺ ì ❶ ð☞ß✝❻❜Ú ì ❶ ð ✧ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð✤✵✟❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ❻✶ ì ❶ ð✝ß✁❻❜Ú ì ❶ ð ✧ ✰ ✍✲✒ ✳ ì ❶ ð ✧ ❶ ✰ ✍✲✒ ✸ ì ❶ ð ✫ ì × î ❖ ✭ ð ➎✹➏ê⑦➐ÜÚ ì ❶ ð ❙ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ✥ ð ❙ ❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ✥ ð☞Û✜❼Pì ❶ ✢ ❽ ð☎å✬❾✁➑✒å ïP÷✜➀➂➁➃➄ ➅ ➆ ➇➈➇➉➋➊✟➌✁③★➍ ➐✔ ì ❶ ð☞ß✝➐ÜÚ ì ❶ ð✤✵ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ð ✧ ❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ➐✥ ì ❶ ð✝ß✁➐ÜÚ ì ❶ ð✤✵ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ð✤✵✟❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ➐✺ ì ❶ ð☞ß✝➐ÜÚ ì ❶ ð ✧ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ð✤✵✬❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ð ✢ ➐✶ ì ❶ ð✝ß✁➐ÜÚ ì ❶ ð ✧ ✰ ✩✑✒ ✳ ì ❶ ð ✧ ❶ ✰ ✩✑✒ ✸ ì ❶ ð ✫ ì × î ❖ ❖ ð ✄ òõ✍✑✏✓✒ ✥ ò✤✍✑✏✓✒ ✔ ß ♣ ⑩ ➒ ò✤✍✑✏❀✒ ✥ ➓❜ò✤✍✑✏✓✒ ✔ î✎➔☎✄ → ➅➈➋➣ à ò✤✍✑✏✓✒ ✥ ✧ à ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ↔ ß ✗ ✚✍✑✏ ✚✍✑✏ ✵ ✗ ✥ ✙✍✑✏ ✗✑✙✍✑✏ ↕ ↕ ò✎✍✑✏✓✒ ✥ ↕ ↕ ✥ ↕ ↕ ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ß Ö ➒❨à ò✎✍✑✏✓✒ ✥ ß✩à ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ✵➛➙✥ î ➎✹➜❪✟➝✒ê➏à ò✤✩✎✏✓✒ ✥ ß✩à ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ✵➛➙✥ î✎➞✘ö✟➟✁➠✁ → ➅➈➋➣ à ò✤✩✎✏❀✒ ✔ ✧ à ò✎✍✑✏✓✒ ✔ ↔ ß ✗✑✙✩✎✏ ✚✍✑✏ ✧ ✚✩✎✏ ✗✑✙✍✑✏ ↕ ↕ ò✎✩✎✏✓✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ↕ ↕ ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ß → ➅➈Üì ➃➄ ➡✲❵✉ì ❛✗ ð ð ✢ ➢ ➇ → ➣ à ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ✧ à ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ↔ ß ✚✩✎✏ ✚✍✑✏ ✵ ✗ ✥ ✙✩✎✏ ✙✍✑✏ ↕ ↕ ò✩✎✏✓✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ↕ ↕ ò ✍✑✏✓✒ ✔ ↕ ↕ ✥ ß ➢➇ → ì ➃➄➡➤❵✉ì ❛✗ ð ð ✢ ➥Ø à ò✤✩✎✏✓✒ ✔ ✧ à ò✤✍✑✏❀✒ ✔ ß✝➃➄ ➡✲❵✉ì ❛✗ ð î➤❫✝❴✝➦✝➧✝➨✩å✟❜✝❝✜➃➄➡✎❵✉ì ❛✗ ð➂❪❆✽ ❢â✁➩★➫➯➭➲ ì ❶ ✢ ❽ ð î➤❯✝❱✁❲✝❾➏ï✘➳✝➵ ➸➞✁➺✁➻✁➼✒û