第四章 Hankel范数模型逼近理论 广义距离问题可以化为 Nehari问题,即用一个稳定的传递函数矩阵在C、范数的意义下最好地逼近 已知的反稳定传递函数矩阵。这个问题可以看做 Hankel范数模型降阶问题的一个特例。本章将介绍 模型降阶问题及其解 841信号与系统 到现在为止,我们只是用到了γ、范数的定义。其数学和物理意义并不明确。在模型降阶问题的研 究中,、范数的意义将起重要作用。本节将以信号与系统的概念为切入点,引出 Laurent算子,并证明 H∞范数即 Laurent算子的范数 §±11时域信号 所谓时域信号即从R→Rm的一种映射。在控制中常用的信号都是时间的函数,于是我们一般用t 表示信号的自变量,如前面章节中出现的输入u(t),输出y(t)等都是时间的函数。设f(t)和g(t)是两个 信号,若按下式定义信号的加法和标量乘法 (f+g)(t)=f(t)+g(t) (4.1) (af(t)=af(t) 则所有的信号便构成了一个线性空间。用S表示这个线性空间。于是 S={f:R→Rn} 在S上定义函数∫:f→咒+,这里R+为所有非负数的集合。若‖·‖满足下述三个条件 (i)f≥0,‖f=0当且仅当f=0 )llf=lal·‖f,va∈R il)f+g≤‖f+‖!‖ 则称‖·‖为S上的一个范数。定义了范数的线性空间叫做赋范空间( Normed Space) 设{∫}是S中的一个序列。若lim→sfk-「=0,则称{∫fx}收敛于∫.若f∈S,则称{∫2}是收 敛的。S中的一个序列{f}叫做 Cauchy序列,如果对任意的∈>0都存在一个正数N,使得‖f;-fl‖l<∈ v,k>N.如果S中每个 Cauchy序列都是收敛的,则称S是完备的。 定义4.1完备的赋范空间叫做 Banach空间。 S上的内积是S×S→R的一个映射:(f,g)→→(f,g),且具有下述三个性质: (i)f,∫)是正定的,即(f,∫)≥0且(f,f=0,当且仅当f=0 i)(f,g)是 Hermitian,即(f,g)=(g,f) i)i(f,g)关于第二变量g是线性的,即对任意的a1,a2∈R,g1,g2∈S,都有 f,a1g+a292)=a1(f,g1)+a2(f,g2 对于实空间S, Hermitian性等价于对称性。由(i)和(ii)可导出 Cauchy- Schwarz不等式,从而若定义 f|2=√f,f,则可以证明‖·‖2是一个范数,称为内积的导出范数 定义42在导出范数‖f2:=√f,∫的意义下完备的赋范空间叫做 Hilbert空间 定义4.3 hilbert空间S中的两个向量∫和g叫做相互垂直,如果(f,g=0 对于f(t,g(t),若定义 f”(t)g(t)
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第四章 Hankel范数模型逼近理论 则(f,g)是一个内积。此时导出范数 1/2 f|2 f(t)f(t)dt 表示信号∫(t)的总能量。用 Lebesgue空间C2(-x,∞)表示所有总能量有限的信号f(t),即 C2(-∞,∞)={f:‖f|2<∞} (4.3) 记C2(0,∞)为C2(-∞,∞)中的所有在负时间轴上取值为零的函数的集合,显然C2(0,∞)是C2(-∞, 上的一个闭子空间,其正交补C2(-∞,0)为{f(t):f(t)=0,t>0}.于是 c2(-∞,∞)=C2(0,∞)c(-∞,0) 相应地,任何一个f∈C2(-∞,∞)都可分解为 f=ff这里f。∈C2(0,∞),fa∈C2(-x,0 ∫。叫做∫的因果( causal)部分,∫a。叫做∫的反因果(anti- causal)部分。这种叫法的原因是我们的时空 在时间轴上是因果的 412频域信号 (43)式说明,C2(-∞,∞)中的信号f(t)都是平方可积的。根据积分变换理论可对f(t)∈C2(-∞,∞) 进行 Fourier变换 f(t)e dt (j)是f(t)在频域中的表达。f(j)也可看作是f(s)当s=ju时的取值,这里f(a)是f(t)的双边 Bilateral) Laplace变换。显然,按通常意义下的加法和标量乘,所有的频域信号,即f(s)=C{f(t)},也 构成一个线性空间。由 Laplace变换的线性,可知 (f+g)(t) (f+g)(s) (af)(t) cf(s) 用S表示这个线性空间,于是 我们用C2表示所有在虚轴上平方可积的复变函数f(s)的集合,即 f(ju)f(j)du<∞ 在C2上定义内积 (f, g) f (wg(w)de 则导出范数|H|2=√(,分由Pae等式(f,9)=(f,g)可得|fl2=2 对于∫(t)∈C2(0,∞),相应的f(s)在右半平面内解析。所有在右半平面内解析且满足条件‖f|2< 的函数定义了C2的一个子空间,记为h2. Fourier变换建立了C2(0,∞)和2之间的同构关系。H2的 正交补空间记为H2,则2与C2(-∞,0)同构。于是 显然,2为所有在左半平面内解析且范数有界的函数的集合。由 Liouville定理,在某区域内解析的 函数的极大值只可能在g的边界上取得。于是对于f(s)∈ I l2 f (o+ ju)f(o+ jw)de
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84,1信号与系统 而对于f(s)∈%2 f (o+ ju f(o+ju)dw 通常还在C2,2或2前面冠以前缀R以表示实有理函数。于是 RC2:有理函数向量,每个分量都严格真(分子阶次低于分母阶次),且在j轴上没有极点 Rλ2:有理函数向量,每个分量都严格真,且 Hurwitz稳定 RH2:有理函数向量,每个分量都严格真,且反稳定(所有极点都在右半平面) 注4.1函数f()=-++工显然属于C2,但其拉氏反变换函数f(=d+C3C2(x,x)导致 这矛盾的原因在于,我们把所有的时间函数都看成是因果的。从前面的分析可以看出,f(s)中反稳定部 分 对应于某一f(t)∈C(-∞,0),即反因果时间函数。事实上,、1 e,t∈(-∞,0).于是 f(s)在时域中的表达应为 对∫(t)进行双边 Laplace变换,即可得到f(s).如果把e-t当作定义在整个时间轴上的函数,则当t 时,e-1→∞.从而c-t3C(-∞,∞).一般情况下,若f(t)=t·eat,m≥0,a>0,则任为它是因果 的;若α<0,则认为它是反因果的。同理,若∫(s)∈H,则认为它是反因果时问函数的 Laplace变换。反 因果信号的物理意义在于它赋于亲统某一初态m(0),这里a(t)为亲统的状态向量。以后将会看到,若亲统 可控,则对任意給定的向量:0,都可找到u(t)∈C2(-∞,0),使得余统在输入u(t)的作用下,m(0)= 定理4.1 Fourier变换是C2(-∞,∞)到C2的一个 Hilbert空间同构映射( Hilbert space isomorphism) 用符号 表示同构,则有 C2( ) L C2(0,∞)H (4.7) H- 84.13算子与系统 令l和y是丑 Filbert,空间。A是从l到y的一个映射.如果把l中的元素u(t)作为“输入”,并定 y(t)=(Au)(t) 为“输出”,则A就是一个系统。如果对任何a1,a2∈C,u1,u2∈l,都有 (A(a1u1+a2u2)(t)=a1(Au1)(t)+a2(Au2)(t) 则称A为线性映射。如果存在正实数a,使得 Au|≤ llull,Yu∈l (49) 则称Δ为有界。满足(49)式的a如果存在,将有无限个。因为如果(49)成立,则对任何a≥a,u∈l 都有‖Au2≤叫ll.使得(49)式成立的最小的a叫做映射A的范数,记做|A 4.4有界的线性映射叫做算子。 42)如果G∈C。则GC2CC2,且有 i)如果G∈,则Gh2c2,且有 IGloo=sup lGu 2:u H2, lu|2=11
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第四章 Hankel范数模型逼近理论 从定理42可以看到,G∈C。通过通常意义下的乘法 定义了C2到C2的一个算子Aa,称AG为 Laurent算子.如果G∈化a,则Ac定义了h2→→2的一 个算子。现在考虑G∈RC.因为G在虚轴上没有极点,可以将它分解为 这里G+,G-∈R%∞,且严格真。Go是常矩阵。于是存在一个包含虚轴在内的垂直条形区域,在这个 区域内G是解析的。如果取收敛域为这个条形区域,对G做双边 Laplace反变换,记作C-1{G}=G: 并定义卷积映射三G y(t)=(EG,u)(t): y(t) G(t-T)u(r) 则三c,是线性映射。由 Parseval等式可得 y(t)y(t)dt (4.11) ≤‖Gl/u'(ja)u(ja)d 于是三c;1是一个算子。注意在(411)式中我们用到下述关系 y(t)=(三a1u)(t)则y(s)=Gu(s) 于是三c:是C2(-∞,∞)到C2(-∞,∞)的一个算子。然而三G:并不一定是因果的,因为由(410)可得 G06 t>0 这里G-,G6(t)和G+分别为G-,G0和G+的 Laplace反变换,6(t)为Drac函数。Ec;不是因果 的,是指它将一个只有因果分量的输入u(t)∈C2(0,∞)映射为一个既有因果分量又有反因果分量的输出 信号y(t).后者相当于在通常意义下不稳定分量。于是三是因果的,当且仅当G∈RHa,即G是稳定 的;三a;是反因果的,当且仅当G.∈RHa,即G是反稳定的 842 Hankel算子和 Hankel范数 本节将引入 Hankel算子的概念。用 Hankel范数给出‖l-Q川s的一个下界。最后给出 Hankel范数 的计算公式 8421 Hankel算子 在内积空间C2中可定义投影算子Ⅱ.特别地,由于C2=2⊕H,可以定义投影算子 显然(mxu()和(mn2)()取的分别是u()的稳定和反稳定部分.设G∈R,()∈H,则 (Gu)(s)即有反稳定部分,又有稳定部分。与G相对应的 Hankel算子rc定义如下:
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84,2 Hankel算子和 Hankel范数 即(rGu)(s)是(Gu)(s)在%2上的投影,就是(Gu)(s)的稳定部分.显然,r将一个反稳定的频域信 号u(s)映射为一个稳定的频域信号认(s).(4.12)式是G定义的 Hankel算子在频域中的表达 由于C2(-∞,∞)=C2(-∞,0)④C2(0,∞),亦可定义投影算子 (-∞,∞)→C2(0,∞) )→C2(-∞,0) 记G∈RHa的 Laplace反变换为G:,则时域中的 Hankel算子定义为 TGt: C(00, 0)C(0, oo), (IG,u)(t)=I+(EG u)(t) (4.13) t<0 (TG2u)(t)= (4.14) 广G:(t-T)u(T)dr,t≥ 在时域中,TG:将一个反因果输入信号u(t)映射为一因果输出y(t),见图41 TG 图41: Hankel算子 为简便起见下面将用IG表示频域和时域的 Hankel算子.设(A,B,C,D)是G∈Rha的一个最小 实现.则对于u(t)∈C2(-∞,0) y(t)=(rGu)(t) CeA(t-T)Bu(r)dr, t>0 显然,D.矩阵的存在与否对y(t),从而对rG没有影响 下面我们研究rG的伴随( adjoint operator)算子 定义4.5设IG.是C(0,∞)到C2(-∞,0)的一个算子,且对任意的u(t)∈C2(-∞,0),y(t∈C2(0,∞) 都有 则称rG.是IG的伴随算子(或共轭算子) 注意,共轭算子是共轭转置矩阵概念的推广.引理41给出了IG.的表达式 引理41对于y(t)∈C2(0,∞) (rG.y)(t)= A(r-tC“y(r)dT t<0 证明:由IG.的定义可知它是C2(0,∞)到C(-∞,0)的一个算子.所以,只需证明对任意的u(t)∈ C2(-∞,0),y(t)∈C2(0,∞),都有(rGu,y)={u,rG.y)就行了.由于u(t)=0vt>0,y(t)=0t<0 (T)B (T)B
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