第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 的根的个数总是相同的。记n,为多项式(-入)的根,则有 A五+,1<Ah+,2<Av,2<A-,2<Ah-,3<Ax,3<A+,3< (824) Ah+,4<Ax,4<Ah-,4< 同理有 0<g-,1<,1<A+,1<A+,2<,2<Ag-,2<A-,3<M,3<A+,3< (8.25) g+,4<A 这里AG,为多项式9(-入)的根。由(8.23),(8.24)和(8.25)可得 0<入x,1<Ac,1<Ax,2<Ag,2<Ax,3<,3< (826) (8.26)说明,无论a;在[a+1内如何取值,相应的多项式的实部和虚部都有相互交错的正根。图84 中的粗实线标出了(-)和9(-)的根的位置。于是(s,a)稳定。我们将上述分析得到的结果用定理 图8.:K1(s(sK3(和阻(84第/多,嘁喲,喲,槭鹚,檥稳特熃置 8.5元一总结 仅理讳化间硕式F(s,a)间矩阵时,当传向当K;(s),i=1,2,3,4,阵时 上述分析方法在控制文献中又被称为鲁棒性检验法。该方法的思想是从给定的多项式族F(sa)中寻找 个子集厂∵,使F(sa)的鲁棒稳定性与厂的鲁棒稳定性等价。如果∮是(s,a)的真子集,就可以简化
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§83值集和除零原理 147 原来的问题。 Kharitonov定理说明,对于区间多项式族F(s,a)而言 F={K1(s),K2(s),K3(s),K4(s) §83值集和除零原理 §831值集 给定一个多项式f(s)=∑n0a182,其系数a;都是已知常数,则对复平面内任意一点s,f(s)亦是复 平面内一点。如果系数a;是某一不确定性参数b的函数a;(6),而b属于参数空间中的一个子集26,则当 6在26中取值时,得到一族多项式,记为(s,6)=∑}≌。a;(6)s2.此时,对复平面内任意一点s,F(s",b) 是复平面内的一个子集,记为r(s,6).I(82,b)叫做F(s,6)在8“处的值集( Value set,).它的意义是多项 式族F(s,6)在s处取值的集合。显然 r(8,6)={z:z=f(s),f(s)∈(s,6)} (8.27) 88.32除零原理 如果an(6)≠0v6∈ss,则F(s,6)为n阶多项式族。在这种情况下,可借助于值集的概念分析F(s,6) 的鲁棒稳定性。具体做法如下 令8=jω,计算rij,6),v∈[0,∞)由于degF(s,b)=n,由推论82知,F(s,b)鲁棒稳定,当且 仅当从0增至∞时, arg rga,6)的增量为n丌/2.上述分析可归纳为除零原理 定理8.6设an(δ)≠06∈!s,且r(jω,6)为连通集。则F(sδ)鲁棒稳定,当且仅当 1.F(s,6)中至少有一个元素f0(s)稳定; 2.0 E r(w,b),vu∈[0,∞) 证明:必要性显而易见。这是因为,如果F(s,6)稳定,则对所有的s=j以及b∈2,F(8,6)≠0.于是 0 Er(w, 8) 现在用反证法证充分性。设0g(j,6),且有一点f(s)∈F(s,6)稳定,但仍存在f1(s)∈F(s,6)不 稳定。因为rj,6)为连通集,存在一条连续曲线c()cr(,b),这里l∈0,1为参数,c()将,1 映射为连接f(j)和f1(ja)的连续曲线,且c(0)=f(j),yc(1)=f1(ja).当l由0连续的变为1时, f(s)由稳定的多项式fo(s)连续的变为不稳定的多项式f1(s).由于多项式的根是其系数的连续函数,当 f(s)由稳定变为不稳定时,至少有一个根穿过虚轴。于是存在0<l≤1和a,使得f(j)=0,这意味着 0∈r(ju,6).这个结果与假设条件矛盾。于是F(s,6)稳定 88.33 Kharitonov定理与除零原理 现在我们来考虑区间多项式族(818)由(821)知区间多项式族的值集r(ja,6)是复平面内以f(ja) 为中心的一个矩形,其两条边与实轴平行,另两条边与虚轴平行,见图8.5.r(j,6)的四个顶点分别为 InKi(jw) (8.28) Reki(w) Rek,(w) 下面我们将用反证法证明,只要四个 Kharitonov多项式稳定,则F(s,6)稳定。设K(s),i=1,2,3,4均稳 定,但F(s,6)不稳定,则至少存在一个f(s)∈F(s,6)不稳定。由于K1(s)稳定,必然存在A∈(0,1)使得 (1-A)K1(j)+Mf(j)=0.由于(1-X)K1(ju) (j,6),0∈r(j,6).显然r(0,6)=[a 由K(s)的稳定性和(822)式,a与a;同号,0g(0,6).由值集随频率变化的连续性,必存在u°,使 得0位于r(j°,6)的边界上。不失一般性,设0位于r(j*,6)的南(按地理学上北下南的约定)边界上 即联结k4和k1的直线段上,见图86.显然,argK1(”)=0,argK4(ju)=由于K1(s)和K4(s)均 稳定,argK1(ju),argk4(j^)是ω的单调增函数。于是,对于u>u,argK1(ju)>0,argK4(ju)> 这意味着联结k4和k1的直线段不再与实轴平行。这是不可能的。所以,区间族不鲁棒稳定的假设不能 成立
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第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 A1 图85:区间多项式的值集 k 图8.6:原点穿过区间多项式值集的边界 §83.4区间多项式族的值集 为给以后的研究打下基础,我们将用泛函分析的方法证明区间多项式族的值集是以4个 Kharitonov 多项式为顶点的矩形 我们先把F(s,6)等价地表示为系数中有范数有界的不确定参数的多项式族的形式。定义 0,1 (8.29 则区间a可表示为 于是系数向量a(6)可表示为 ws 其中 lag [6o61 最后可把区间多项式F(s,6)表示为 F(,6)=6(s)+∑f(s)
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§83值集和除零原理 149 这里δ;是δ的第讠个元素,f(s)是 z(s)=[ 第i个元素第八是章(s奢)可项式族的系鲁是棒積定鲁性分的析/鲁6的仿k鲁的多1式2第棒稳 定鲁性分38·565区≤646=0多项到的多1式f(s)式 )的集称值第6原f(s)=章s4穿 6=1多,项到边界8多1式2第364区是间保多项+1 鹅值案 的给以(各后边的研究下)析3的础 值集为的们将第用鄣豸)泛可式族的 章(s)=(分析n6n)s"析(分-1析Dn-16n-1)s"析淞分析161)析(分析06)多(1书证 明族565区≤64间这间多里,项式族6=14八是,值八集3s是个a4值山 a(s,)=rioi=f(s是析vf(s,;多点点1矩 (1形 先 把 a(s题) f(s题,多点1矩多 (1坐万 区性 把 把 a(s,)=f(s是析a(s,).把 把 (11) 容(把,,a()是6八边)值称的等价地表第示项,系数中有a(2题)的边分a(题)4即可范界 (s题)4/先确 多 (149) 把 2(=) a 可等、9式族的把 确)=则确=6多踊。区 项式间 可 a(s)的极≤集式3式萧族于[癱‖量是砸 面g)的间个等 最 的夹角是, rank T≠mk[T于区集程6=B于系性穿(=0多才性解第八 是间孩这个集}上,Oa(s题)的0 于呕区集程 B()能性无穷多个解第 但间条件55区≤1的约束我,示性B(W都是性分第.取m(W是优化间题 =量则少 子移565区 (141) 的解,区析难理解,间于这 集 个}上 (s,)=m()于 先考虑s是0多的值h第此多 定60=B(形多55区≤1矩 原,优化问题(48)的限制条件是间个线性美程第该程性间个未知鲁64用性两个集程第由线性代鲁 胡知识,穿且仅穿0m 性相6多,即V=04nW=x多性解0=±14八是s是0多的值L 题)的边分的-040用a(0奢)=[ 间考虑s是 先 (144)
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150 第八章多项式族的鲁棒稳定性分析 这里θ=∠t,则 则由于U非奇异 6=(6) 6=B(6),u26=0 于是 46 =suD{u5:6=0 (846)是一个在约束条件v26=0和|6=1下的优化问题。为方便起见,先不考虑约束条件v26=0, 此时(8.46)退化为优化问题 (0)=sup i lu2 给定u,u∈Rn+1显然是已知向量。对于任意6∈Rn+1,都有唯一的u6∈R与之对应。于是u26定义 了R"+1到R的一个映射 f(6)实际上是一个线性多变量函数,也称为(有限维线性空间上的)线性泛函。f的范数,记做‖f,定义 为 f 这里的‖实际上是f(6)在∞范数意义下的增益。显然,优化问题(??)求的正是泛函f(6)的范数川f‖ u6|∑| mx{|611·∑|kl=|lul=lul (8.50) 得‖∫≤‖ul,即‖u‖l是‖f‖的一个上界。若取 这里sig()是符号函数 则‖6‖=1,且|u2b|=|ull.这说明‖ll是‖f的可达到的上确界。于是 If=u| 现在考虑约束条件υ6=0.不失一般性,设υ≠0.则y:=Span{v}是Rn+的一维子空间。v26=0等 价于6∈y,即6属于ν的正交子空间。记
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